1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В силу равностепеннойJ-L(Fn(fn))абсолютной непрерывности существует такоеизмеримое и М(В)сходимости6>О, что если В С АтоJIfn(x)1 dfL < 1Апри всехАn сn.Мы можем считать, чтоFn(fn)получим,с м(А n )== 66<со. Тогда выберем измеримое(здесь мы используем, что А с JRk), И мычтоJ Ifn(x)1 dfL ~ пО > 1Аппри достаточно большихn.Полученное противоречие доказывает, чтоМ(Рn (f)) -----+ о при n -----+ 00 равномерно наv.Гл.240Пусть теперь {дn } ~= 1 -10.Интеграл Лебегатакая убывающая последовательность положительных чисел, что если В С А измеримое и М(В)f lf(x)1 dfL < 2-< дn ,тоnАдля всехf (х)ЕV, где n Е N.
Пусть также {n r } ~ 1-такая строго возрастающая последовательность натуральных чисел, что М(Рnт (f))при всехf (х)ЕV,гдеrЕ N.Определим теперь функцию Ф ( и).== 1rи Ф(u) линейна на каждом отрезке [n т , n т + ~], где r Е N.2,3, ... ,Ясно, что Ф( и)ция на [О,(0).-n2, Ф(u) == r при n r+ "21Пусть Ф(u)=при О ~ и ~< дrАf=А\Рп200+Ln r +l, гденепрерывная положительная и неубывающая функДалее, для любой функцииf lf(х)IФ(If(х)l) dfL~ и ~f(x)ЕVмы получаем, чтоlf(х)IФ(If(х)l) dfL +(f)flf(х)IФ(If(х)l) dfL:(n2м(А) +r=2 РпТ (f)\Fnr +1 (f)00+L rr=2f00Ij(x)1 dfL :( n2м(А) + L ;тРпТ (f)r=2D10.75.При мер тот же, что в решении задачи10.69.D=С<00.Глава11СРАВНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ЛЕБЕГА И РИМАНАПустьn ~ 1, 1 == [а, Ь] С IRn - промежуток, а f(x) - вещественнозначная функция на 1. Пусть Т == {Ii == [a(i), b(i)]}7=1 - разбиениепромежутка [а, Ь] с отмеченными точками {~i}7=1' т.
е.kUIi,1 ==i=ln (a(j), b(j)) ==i -1- j и ~i Е I i для i == 1,2, ... , k.Диаметром разбиения Т назовём величину л(Т) == m~x diam(Ii ), а ин-(a(i), b(i))е; при1:::;;~:::;;kтегральной суммой Римана-величинуkL5(f; Т) ==nf(~i) Пi= 1Будем говорить, чтоЕf(x)[=R([a, Ь])(bz(i) - az(i)).1(чтоинтегрируемая поf(x) -Риману функция на [а, Ь]), если существуетьlim 5(f; Т) == (R)л(Т)--*ОьJf(x) dx == Jf(x) dx.аНижемыбудемсчитатьаизвестнымиосновныесвойстваинтегралаРимана такие, как линейность интеграла Римана относительнои1,f(x)а также следующий критерий Дарбу.Теорема.
Пусть Тi == 1,2, ... ,k.LxE~xE~Назовём верхней и нижней суммами Дарбу величиныk5(f; Т) ==- разбиение, M i == sup f(x) и mi == inf f(x) приknM i П (bz(i) - az(i)),i= 1[=Li= 11соответственно. Функцияи только тогда,5(f; Т) ==f(x)mi П (bz(i) - az(i))[=1интегрируема по Риману на [а; Ь] тогдакогдаlim (5(f;T) - 5(f;T)) == о.л(Т)--*ОnГл.24211. Сравнение интегралов Лебега и Риманав одномерном случае мы будем также рассматривать несобственныйинтеграл Римана.
Пусть (а, Ь) сIR(здесь а и Ь могут быть конечнымиили бесконечными) иf(x) - такая вещественнозначная функция на(а, Ь), что f(x) Е R([c, d]) для любого отрезка [с, d] с (а, Ь). Скажем,что f(x) Е R((a+, Ь_)) (что f(x) интегрируема по Риману в несобственном смысле на (а, Ь)), если существует конечный пределdlimс----+а+d----+b_Jf(x) dx.сЗначение этого предела называется несобственным интегралом Риманаотf (х)по (а, Ь) и обозначаетсяЬ-(п)Ь-J ЛХ) dx J ЛХ) dx.=Аналогично определяются множества функцийНиже мы будем обозначать черезL([a, Ь]),R([a, Ь_))где n ~ 1иR((a+, Ь]).и [а, Ь] СIRn,множество функций, интегрируемых по Лебегу относительно классической меры Лебега J-L на [а, Ь].ЗАДАЧИ11.1.ЕПустьL([a, Ь])[а, Ь] СIRиf(x)ЕR([a, Ь]).ЕПусть nL([a, Ь])>J ЛХ) dfL=J(п) ЛХ) dx.а1, [а, Ь] С IRn и f(x) Е R([a, Ь]).
Доказать, чтои(L)J ЛХ) dfLь=J(п) ЛХ) dx.[a,~11.3.аКритерий Лебега. Пусть n ~1, 1==[а, Ь] СIRn,конечная вещественнозначная функция на [а, Ь]. Доказать,ЕЕь[a,~f(x)f(x)и(L)11.2.Доказать, чтоR([a, Ь])тогда и только тогда, когдарывна п.в. на1f(x)ограничена наотносительно классической меры Лебега М.аf(x) что f(x) Е1 и непреГл.11.
Сравнение интегралов Лебега и Римана24311.4. Пусть f(x) Е R((a+, Ь]) и f(x) ~ О на (а, Ь]. Доказать, чтоf(x)ЕL((a, Ь))иJ ЛХ) dfJ(L)Ь=(п)(а,Ь)J f(x) dx.а+11.5. Построить функцию f(x) Е R((O+, 1]) такую, что f(x) ~~L((O, 1)).11.6. Пусть f(x) Е R([a', Ь]) дЛЯ любого а' Е (а, Ь). Доказать, чтоIflЕR((a+, Ь])fтогда и только тогда, когдагрируемость имеет место,ЕL((a, Ь)),и если интетоЬJ ЛХ) dfJ = (п) JЛХ) dx.(L)(а,Ь)11.7.Пусть о; Еа+и задана функцияIRf(x) ==Найти все такиеа)f(x)Е0;,{хапри х ЕО(0,1],==о.f(x) Е R((O+, 1]);IR и f(x) == ха при Хв)f(x)Е[1,(0).при хчто:б)R([O, 1]);11.8. Пусть о; ЕЕL([O, 1]).Найти все такие0;, что:а)f(x)11.9.ЕR([l,oo));Пусть о; ЕIR, (3ЛХ)Найти все парыЕR((O+, 1]);11.10.В)Пусть о; ЕЕR((O+, 1]);В)ЕЕL([l,oo)).~ О, а{а.~ sшх(3при х Епри хдля которых: а)==(0,1],о.f(x)ЕR([O, 1]);б)f(x)Еб)f(x)ЕL([O, 1]).=(0;,(3),f(x)f(x)IR, (3 <f(x)Е=(0;,(3),f(x)Найти все парыб){О, аа.~ sшх(3при х Епри хдля которых: а)==(0,1],о.f(x)ЕR([O, 1]);L([O, 1]).11.11.
Пусть 0;, (3 Е IR, а f (х) == ха sin х(3 при х Е [1, 00 ). Найти всепары (о;, (3), для которых: а) f(x) Е R([l, (0)); б) f(x) Е L([l, (0)).Гл.24411.12.11.Сравнение интегралов Лебега и РиманаНайтиJlim (L)n----+оо1-(1хn(0,00)dp,Х)n.+-n11.13. Пусть Q[O;l] == {rn}~=l и задано с> о.Доказать, что рядсходится п.в. на [О, 1].11.14. Пусть х Е [О; 1] \ Q[O;l]. Доказать, что найдётся нумерация{rn}~=l множества Q[O;l], при которой рядразойдётся в точке х для любого с<> о.11.15.
Пусть (Х, м, м) - пространство с мерой, А Е М, О <м(А) == а < 00, дана функция f(x) Е L(A), f(x) > О на А, и число(З Е (О, а). Доказать, чтоinfBEM,B~A:M(B)~(3Jf(x) dM > о.В11.16. Построить при мер такой положительной функцииL( (1, (0)), что дляВ == В Е С (1,00), дляЕлюбого с>f (х)ЕО существует измеримое множествокоторого м(В)== 00,ноJЛХ) dp, < Е.В11.17.Построитьf (х),{!n (х) } ~= 1ИЛебега М на(0,1),чтотакиеконечныеизмеримыенеотрицательныеотносительноf(x) == lim fn(x)нафункцииклассическоймеры(0,1),n----+ооJ fn(x) dp, ~ С(0,1)для некоторого С при всех11.18. Пусть D(x) -n,ноf(x)~L((O, 1)).функция Дирихле на[0,1] (см. решениезадачи 4.24). Доказать, что D(x) Е L((O, 1)) \ R([O, 1]).11.19.
Построить функцию f(x) Е R([O, 1]), множество точек разрыва которой всюду плотно на [О, 1].Гл.11. Сравнение интегралов Лебега и Римана24511.20. Пусть А - замкнутое нигде не плотное множество в [О, 1]и м(А) == О (м - классическая мера Лебега). Доказать, что ХА(Х) ЕЕR([O, 1]).11.21. Построить такое замкнутоена [0,1], что ХА(Х) ~ R([O, 1]).нигде не плотное множество А11.22. Построить такое нигде не плотное множество А на [О, 1],что м(А)==О, но ХА(Х) ~11.23. Пусть РОR([O, 1]).замкнутое канторово множество на [О,-если х Е Ро ,1,f(x) ==1], аХ,если х Е [~, ~] \ Ро ,х2 ,если х ЕНайтиf(L)(-2' 1\Ро ·ЛХ) dfL·(0,1)11.24. Пусть РОканторово замкнутое множество на [О,-1],00U (а n , Ь n ).G == [0,1] \ РО ==n=1Определимфункцииfn:fn(x) ==Оприх Е [0,1] \ (а n , Ь n ),(а п ; Ь п ) = 1 и fn(x) непрерывна и линейна на отрезкахnn~T П оложим[а n , аn +2 Ь ] и [а +2Ь N' Ьn ] при n Е 1~.fn00f(x) ==Lfn(x).n=1Найтиf(L)ЛХ) dfL·(0,1)11.25.
Пусть РОканторово замкнутое множество на [О,-1],00G == [0,1] \ РО ==U (а n , Ьn ).n=1Определимfn(а п ; Ь п )функцииьn -2аnfn:иfn(x) == Оf n (х)прих Е [0,1] \ (аn,Ь n ),непрерывна и линейна на отрезкахГл.24611. Сравнение интегралов Лебега и Римана[а n , а п ; Ьп ] И [а п ; Ь п , Ьn ] приnЕ N. Положим00f(x) ==Lfn(x).n=1Найтиf(L)ЛХ) dfL·(0,1)Пусть11.26.если (х, у) Е (0,1)2 И ху Е Q,если (х, у) Е (0,1)2 И ху ~ Q.Лх,у)={~:Найтиf(L)ЛХ) dfL,(0,1)2гдеклассическая мера Лебега на (О, 1)2.11.27. ПустьJ-L -00х ==LXi 2 -ii=1-двоичное разложение числа х Е [О, 1), где xi Е {О, 1} и.1im xi~----+ooПоложим fk(X)==2Xk -#-1.Xi#-1 при k Е N и Х Е (0,1).
Доказать, что(L)ffk(X)fj(X) dfL=f1О(0,1)приk#- jи(L)f'k(x) dfL=(0,1)при каждом11.28.k,где J-L -классическая мера Лебега на (0,1).Пусть00Х==LXi 2 -ii=1- двоичное разложение числа Х Е [0,1), где всеXi Е {О,1}и.1im~----+oo#-1. Пустьgk(X)==Xk дляk(L)Е N и Х Е (0,1). Найтиf(0,1)при всехkиj.gk(X)gj(x) dfLГл.11. Сравнение интегралов Лебега и Римана24711.29. Построить последовательность {fn (х)} ~=1 конечных функций изнаи конечную измеримую по Лебегу функциюL((O, 1))(0,1),для которыхfn(x)-----+приf(x)J fn(x) dfLn-----+ 00 для любого х Еf(x)(0,1),О,=(0,1)n , но f (х) ~ L ( (О, 1)).11.30. Построить такие функции f(x),g(x) Е R((O+, 1]), чтопр И всехh(x) == тах (f(x), g(x)) ~ R((O+, 1]).11.31.
Построить такую функцию f(x) на [0,1], что f'(x) существует всюду напроизводные),[О, 1]f'(x)(в точках О иограничена на1 существуют односторонниено[0,1],f'(x)~R([O, 1]).РЕШЕНИЯ11.1. Для каждого r Е N мы определим точки x(k) == агдеk ==О,1, ... ,2 r .при r ~(Ь-а),Обозначим!1(k) == [x(k - 1), x(k))mr,k ==+ 2kТinfXEfj.(k)k == 1, 2, ... , 2rприf(x)-1Mr,k == sup f(x)XEfj.(k)и1 и 1 ~ k ~ 2r .
Теперь при r Е N рассмотрим функции2fr(x) ==ТLMr,kXfj.(k)(X)k=lи2fr(x) ==ТLmr,kXfj.(k) (х).k=lЗаметим, что функциииfr(x)простые на [а, Ь] при каждомfr(x) -rи, согласно определению интеграла Римана,lim (L)r----+ooJ[а,Ь]fr(x) dJ-L ==2limr----+ooТЬ-аLM r , kT- == J ==2k=l2=ТНт Lr----+ook=lmr,k b2~ а == lim (L)J fr(x) dJ-L.r----+oo-[а,Ь]Гл.24811.Сравнение интегралов Лебега и РиманаДалее, для любого х Е [а, Ь] выполнены неравенства~fr(x),последовательность{fr(X)}~lfr(x)~f(x)~невозрастающая,апоследовательность {fr(X)}~l неубывающая.
Следовательно, для любогох Е [а, Ь] существуют их пределы:lim f r (х) ==r----+oo1(х)~ f (х) ~ f (х)Применяя теорему Леви (см. задачуf(L)== r----+oolim f r (Х ) .--пх) dfJ=10.33) получаем, чтоJ = (L)[a,~f [(х) dfJ·[a,~Отсюда следует, чтоfI](x) -l(x)1 dfJf (](х) -l(x)) dfJ=[а,Ь]=О.[а,Ь]Поэтому (см. задачу 10.52) l(x)==[(х) п.в. на [а, Ь]. Это означает, чтоl(x) == f(x) == [(х) п.в. на [а, Ь] - измеримые функции иf(L)f(x) dfJ=J.[а,Ь]D11.2.чаДоказательствоаналогичноодномерномуслучаю(зада11.1). Приведём его.Пусть[а, Ь]==[аl, Ь 1 ] х [а2, Ь 2 ] х ... х [а n , Ь n ].== 1,2, ... и s == 1,2, ... , n определимk == О, 1, ... ,2 r . Обозначимточки== [x s (2 r - 1), Xs (2 r )].каждого rkxs(k) == a s + 2 Т (b Sk == 1,2, ... ,2 rприи ~s (2 r )Для--as )==при1ПустьE k == ~l(kl) х ~2(k2) х ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
