1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Ясно, что Ign(x) - gn(y)1 ~ nlx - yl при всех х, У Е [а, Ь]. В силурезультата задачи 15.13 функция gn(x) принадлежит АС([а, Ь]). ПустьГл.А с [а, Ь]15.Абсолютно непрерывные функцииизмеримое множество и м(А)-==369о. Обозначим А n==Аn рnпри n ~ ПО. Тогда0000n=nоn=nоТак как м(А n )== О при n ~ по и gn(x) Е АС([а, Ь]), то мы получаем,что M(gn(A n)) == О при n ~ ПО. Поэтому M(f(A)) == о.
D15.37. Если f(x) Е Lip(l; [а, Ь]), то f(x) Е АС([а, Ь]), откуда следует (см. задачуf(x)15.26),чтоfЛа) +=для всех х Е [а, Ь].f'(t) dfJ[а,х]Заметим также, что поскольку If(x) - f(y)1 ~ Clx - yl при всех х,у ЕЕ [а, Ь], то If'(x)1 ~ С в каждой точке, где производная существует.Поэтому If'(x)1 ~ С п.в. на [а, Ь].
Предположим теперь, чтоf(x)+G=fg(t) dfJ[а,х]на [а, Ь], гдеизмеримая функция иg(t) -любых а ~ х<УIg(x)1~ С на [а, Ь]. Тогда для~ Ь получаемJ g(t) dfJIf(x) - f(y)l:(:( Glx - yl·[х,у]D15.38.Достаточно доказать утверждение для неубывающих функцийf(x). Заметимкоторого If(x)1 ~ Сf(см.задачу14.1), что существует Сна [а, Ь]. Тогда для любогоIf(x + h) - f(x)1 dfJf=[a,b-h]h>о, дляполучаеми(х + h) - ЛХ)) dfJ =[a,b-h]fff(t) dfJ -f(t) dfJ[a,b-h][a+h,b]=f[b-h,b]ff(t) dfJ -f(t) dfJ :( 2Gh.[a,a+h]Отсюда следует, чтоши; 15)\=supfO~h~b [a,b-h]If(x + h) - f(x)1 dfJ=0(15)Гл.37015.Абсолютно непрерывные функции>15.39.
Предположим, что w(f; t)l ~ Kt при tнекоторое 6 > О и рассмотрим функцииfn(x)=о. ЗафиксируемJ f(x + h) dfL(h)n(o,~)при Х Е [а, Ь1- 6] и n > б. Посколькуfn(x)J= nJ f(t) dfL(t),f(t) dfL(t) - n(а,х)(a,x+l)nто в силу результата задачи15.12 функции fn абсолютно непрерывнына [а, Ь - 6]. Для указанных n при О < t ~ 6 получаемfIfn(x + t) - fn(x) I dfL(X)=[a,b-2Ь]J J (f(x+t+h) -f(х+h))dfL(h) dfL(X) ~=n[a,b-2Ь](o,~)J J If(x + t + h) - f(x + h)1 dfL(h) dfL(X)~n=[a,b-2Ь] (о, ~)J J= nIf(x+ t + h) - ЛХ + h)1 dfL(X) dfL(h) ~(о, ~) [a,b-2Ь]~nJ J If(x + t) - f(x)1 dfL(X) dfL(h) ~ Kt.( о, ~) [a,b-t]Так какдачу1fn(x) Е АС([а, Ь - 6]) для n > б' то по теореме Фату (см.
за-10.35)JIf~(x) I dfL ~ kl~~[a,b-2Ь]Jk Ifn(х + ~)~ К.[a,b-2Ь]Как следствие, для любого разбиения Т... < Х т == Ь -- fn(x) I dfL==26} отрезка [а, Ь - 26] с л(Т){а<6==< хl < Х2 < ...1n > б получаемхоприГл.Абсолютно непрерывные функции15.%:1 Ifn (X r ) - fn (X r -1) If%:1=371f~ (t) dfJ ~(Xr-l,Х r )m~fLIf~(t)1 dfJr-l[]Xr-l,ХrЗаметим, чтоfn(x)-----+f=при n -----+ 00 п.в. на [а, Ьf(x)If~(t)1 dfJ ~ К.[]a,b-2Ь- 6].Обозначимсоответствующее множество через Е. Тогда м([а, Ьлюбой системы непересекающихся интервалов- 26] \ Е) == О, и для{( az, bz)}[= 1 С концамииз Е выполнена оценкаqL[=Пусть теперь х Е [а, ЬIf(bz) - f(az)1~ К.1- 26) \Е.
Если предположить, что не существуетlimt---+х+О,tЕЕf(t),то мы придём К противоречию с предыдущим неравенством. Аналогично, если х Е (а, Ь- 26] \Е, то существуетlimt---+х-О,tЕЕf(t).Тогда можно определить функцию==limt---+х+О,tЕЕf(t)для х Е [а, Ьg(x): g(x) == f(x) на Е и g(x) ==- 36] \ Е. Ясно, что g(x) эквивалентнаf(x) на [а, Ь - 36] и vi-ЗЬ(g) ~ К. Но К - фиксированное, а 6 > О произвольно.D15.40.
В силу результата задачи 15.3 функция F(x)G(x) абсолютнонепрерывна на [а, Ь]. Тогда, при меняя задачу 15.26, получаемF(b)G(b) - F(a)G(a)=f(FG)'(x) dfJ·[а,Ь]Наконец, заметим, что(F(x)G(x))' == F(x)G'(x)п.в. на [а, Ь].15.41.+ F'(x)G(x)DОбозначимF(x)=f[а,х]f(t) dfJ Е АС([а, Ь]).Гл.37215.Абсолютно непрерывные функцииТогда в силу результата задачи 15.18 функция Н(у)солютно непрерывна на [с,Н' (у) ЕL ( [с, d])d].иН(с) =[а,Ь]Аf Н'(у) dfL·[c,d]множество-точек х Е [а, Ь],где Р'(х)несуществуетили Р'(х) -1- f(x). Поскольку G-1(x) Е АС([а, Ь]) и м(А)м( G- 1 (А)) == о. ПоэтомуН'(у)при почти всех у Е [с,15.42. Пусть S и Еf==абПри меняя задачу 15.26, получим, чтоf f(x) dfL = Р(Ь) - Р(а) = H(d) Пусть== F(G(y))[а', Ь']XE(x)dfL==о, то== F'(G(y))G'(y) == f(G(y))G'(y)d],откуда следует утверждение задачи.Dполукольцо всех промежутков из отрезка [а, Ь]== [G(a), G(J3)]Е В.
Тогдаf= м(Е) = С(fЗ) - С(а) =[а,Ь]G'(y)dfL =[а,(3]=f ХЕ(С(У))С'(У) dfL[c,d]ианалогичныевалов,неравенстваоткуда следует,утверждениезадачивыполненычто дляверно.дляфункцийТаккакинтерваловивида ХЕ(Х),интегралЛебегаполуинтергде Е Е В,линеен,тоутверждение выполнено и для характеристических функций множествЕ ЕR( В).Пусть дана последовательность измеримых подмножествотрезка [а, Ь]:E 1 С Е2 С ...
,00ЕU Ei==i=lи для функций XE~(X), гдеi Е N, утверждение задачи справедливо.То гда, та к ка к XE~ (G) (у) G' (у) Х Е ( G (у) )G' (у) при i ----+ 00 п. в. на [с, d] ,то функциячуXE(G(y))G'(y)rизмерима и по теореме Б. Леви (см. зада10.32) равенствоf[а,Ь]ХЕ(Х) dfL = м(Е)f ХЕ(С(У))С'(У) dfL=[c,d]выполнено для ХЕ (х). Аналогично, если00(i)Гл.гдеEi15.Абсолютно непрерывные функции373такие измеримые подмножества [а, Ь], что Е 1 ~ Е2 ~ ... ,-и утверждение задачи выполнено для каждой XE~ (х), то оно вернои для функции ХЕ(Х).
Если Е с [а, Ь]дачу-измеримо по Лебегу, то (см. за7.45)где Ei,j ЕR(S),дЛЯ каждого i E i ,1 С E i ,2 С ... ; если00Ei==U Ei,jj=1то Е 1 ~ Е 2 ~ ... и м(Ео )==о. Можно считать, что Ео с Р(Е). Если Е измеримо, то, как мы показали, утверждение задачи верно дляхарактеристической функции Р(Е). Предположим, что измеримое Еудовлетворяет условию м(Е)==о. Тогда м(Р(Е))==о. При каждом уфункция ХР(Е) (G(y) )G' (у) неотрицательна иJ ХР(Е)(С(У))С'(У) dfJ=О,[c,d]поэтомуXF(E)(G(y))G'(y) ==XE(G(y))G'(y) == О для почтиО для почти всех у Евсех у Е[c,d]и, поскольку классическаямера Лебега полна, то эта функция измерима на [с,равенство(i).Но тогда[c,d].d]и выполненоПоэтому для любого измеримого Е с [а, Ь] утверждениеверно для функций ХР(Е)(Х) И ХЕо(Х), а значит,J ХЕ(Х) dfJ J ХР(Е)(Х) dfJ J ХР(Е)(С(У))С'(У) dfJ=[а,Ь]=[а,Ь]==[c,d]J ХР (Е) (G (у) )с' (у) dfJ + J ХЕО (G (у) )с' (у) dfJ[c,d]=[c,d]=J ХЕ(С(У))С'(У) dfJ·[c,d]Это означает, что утверждение верно для характеристической функции произвольного измеримого множества Е с [а, Ь].
Тогда в силулинейности интеграла Лебега оно верно для любой простой функции.Пустьf(x) -(см. задачунеотрицательная измеримая функция на [а, Ь]. Тогда9.29)можно построить последовательность простых неотfn(x) r f(x)r f( G(y) )G' (у) при nрицательных функцийпри n -----+ 00 на [а, Ь]. Заметим, чтоfn (G(y) )G' (у)-----+ 00 п.в. на [с,d].Поэтому функ-Гл.374цияj(G(y))G'(y)15.Абсолютно непрерывные функцииизмерима, и по теореме Б.
Леви (см. задачу 10.32)получаемJ j(x) dJ-L ==limn----+оо[а,Ь]J jn(x) dJ-L ==[а,Ь]J fn(G(y))G'(y) dfJ J ЛС(у))С'(у) dfJ·nl~~==[c,d][c,d]Наконец, произвольную функциюL([a, Ь]) можнофункций из L([a, Ь]),j(x)как разность двух неотрицательныхЕиз которых утверждение уже доказано.представитьдЛЯ каждойD15.43. Достаточно рассмотреть случай Е с [а, Ь]. ПоложимF(x)=J XE(t) dfJдля х Е [а, Ь].[а,х]Тогда в силу результата задачи 15.26 п.в. на [а, Ь] выполнено равенство р' (х)==ХЕ (х).
Как следствие, р' (х)Но в каждой точке х, где р' (х)== 1,== 1для почти всех х Е Е.получим1 == lim F(x+h)-F(x-h) == lim m([x-h,х+h]ПЕ).h----++O2hh----++O2hD15.44. Пусть для краткости ХО ==h == hE; > О, что если О < t < h, тоm([-t,t]ПЕ)2tОтсюда следует, что м([О,о. Возьмём Е1>ОИ найдём такоес> -"2.t] n Е) > J-L([-t, t] n Е) - t > t - Et,и, следовательно,_м(_[О_,t_]П_Е_)> 1-Еи,tаналогично,m([-t,О]ПЕ)>1-Е.tbk - ak < h при k ~ ko, то при таких k получим:м([О, bk] n Е) ~ (1 - E)bk и J-L([ak, О] n Е) ~ -( 1 - E)ak. Тогда J-L(Ik nn Е) ~ (b k - ak)(l - Е).
D15.45. Пусть r - рациональное число. Тогда Ij(x) - rl Е L((a, Ь)).ЕслиkOтаково, чтоПоэтому п.в. на (а, Ь) существует (см. задачу 15.25)· -111тh----+ohJ[x,x+h]Ij(u) -rl dJ-L(u) == Ij(x) - rl·Гл.ПустьАбсолютно непрерывные функции15.375множество, где предыдущее равенство нарушено, и пустьE(r) -Q == {rn}~=l. Если00ЕU E(r n ),==n=1то м(Е)такое==о. Пусть теперьчтоn,rnl <Ij(t) -*Jj (и),Е [а, Ь]rnl -[t,t+h]Так какtЕ и выбрано с>о. НайдёмIf(u) - f(t)11 < ~поэтому для достаточно малыхrnl dfL(U) -Ij(u) -\з. По неравенству треугольникаIIf(u) для всех конечныхtс*JIj(и)h#- о получаемс- j (t) I dJ-L( и) < з·[t,t+h]~ Е, то существует такое д> о,что при О< Ihl < двыполненонеравенство*JIj(u) -rnl dfL(U) -rnl <~,If(t) -[t,t+h]откуда следует,что1J Ij(u) - j(t)1 dJ-L(u)h< с.[t,t+h]D15.46.УтверждениезадачинепосредственновытекаетизнеравенстваI F(t+ h~ - F(t) - f(t)1=* J и(и)~- f(t)) dfL(U)[t,t+h]~ I~IJIf(u) - j(t)1 dfL(U).[t,t+h]D15.47.
Мы построим функцию j(x) на (0,1), а затем продолжимеё на (-1, 1) до чётной функции. Пусть Е(n) ==ЛХ) =(-1-1 'n+~) при n Еn2n - 1002n + 1ffп XE(2n-l)(Х) ffп ХЕ(2n) (х).n=12nn=12n00LLNиГл.37615.Абсолютно непрерывные функцииТак как множество f((O,чу1))счётно И м(Е(n))n(n 1+ 1)'=то (см. зада10.30)f (lf(u)1 dfJ =J(0,1)n-l-+2n - 12n(2n - l)ffn2n + 1)2n(2n + l)ffnЕсли х Е (О, 1], то мы найдём такое натуральноечтоn,< 00.2n ~ 1< х :(1~ 2n _ 1 .
Ясно, чтоJ f(t) dfJIF(x) - F(O)I =J[О,х]f(t) dfJ :(1[2n+l'Х][;:;2 у n dJ-L==4Vn24n - 1•ПоэтомуIприnF(x)-F(О)I:( 4vn~2n+l)х4n - 1-----+ 00, т. е. при х -----+= 4Vn2n - 10+. Таким образом, существует р' (О) == о.в то же время если n Е N и х Е(2n ~ 1 ' 2n ~ 1] ,J If(t)1 dfJ ~ ~ J vп dfJ[О,х]откуда следует,---+0тоxf '=[О,х]что~J If(t) I dfJ---+ос[О,х]при х -----+0+.D15.48. Пусть ЕприIhl < д.>о. Найдём такое д>О, чтоIj(t+ h) - j(t)1 < ЕТогда1hJchIj(u) - j(t)1 dJ-L ~ h == Е,[t,t+h]если О< Ihl < д.D15.49. Пусть вначале функция j(x) неотрицательна на (а, Ь).
Заметим,чтодлялюбыхчиселО ~ а ~ Ь<00выполненонеравен-Гл.15.ство ЬРАбсолютно непрерывные функции- аР ~ (Ь - а)Рg(t) == ptp - 1 возрастаетJ1h(это следует, например, из того, что функцияна [О,+(0)). Как следствие (см. задачу 15.45),~kIj(u) - f(t)I P dfL(U)(t,t+h)приh377JIfP(u) - fP(t)1 dJ-L(u)~ О(t,t+h)t Е (а, Ь). в общем случае пусть f (х) ==f+(x) == max(f(x), О). Тогда f+(x), f-(x) Е~ О для почти всех== f+(x) - f-(x), гдеЕ Lp((a, Ь)). При этомIf(u) - f(t)I P ~ 2P(lf+(u) - f+(t)I P + If-(u) -f-(t)I Р )для всех t, и Е (а, Ь). Следовательно, утверждение задачи справедливои в этом случае.D15.50.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
