1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Поэтому, еслиU [Xj-1,Xj],х ЕjErтоIj(x)1 ~ С.D16.16. Без ограничения общности можно считать, что с Е (а, Ь).Предположим, что j(x) и ер(х) обе разрывны в точке с. Из задачи 16.15следует, чтоj(x)ограничена в некоторой окрестности точки с. Рассмотрим её колебание в этой точке:w(j; с) == limsupЬ---+О+ х,уЕ [c-Ь,с+Ь]Ij(x) - j(y)1 ==а> о.+Предположим вначале, что либо одного из значений ер( с - о) или ер( с+ о)не существует, либо ер( с - о)кое;3 >иЕ (с, Ь], чтоd2о, что для любогоd2-6>=={аер( с+ О).Тогда существует таО найдутся такие точкиd 1 < 6 и lep(d2 )возьмём такое разбиение Т-1-==ep(d 1)1 > ;3.ха<Х1d1Е [а, с)Для заданного< ...
<Х n -1<ХN6>==ОЬ}Гл.398отрезка [а, Ь] с л(Т)16.< д,Интеграл Рuмана-Стuлтьесачто X r -l== d1 И== d2 при некотором r. Затемнайдём такие два набора отмеченных точек и == {~k} ~= 1 И V == {Tk} ~= 1'что ~k == Tk Е [Xk-l, Xk] при k -1- r, ~r Е [X r-l, Xr ] == [d 1, d2] и Tr Е [d 1, d2]таковы, что Ij(~r) - j(Tr)1 ~ 2. Обозначим Т с отмеченными точкаXrами и через Т1 , а Т с отмеченными точкамиПоскольку д>V -О произвольно, то мы получаемчерез Т2 • Тогда~j(x)R<p([a, Ь]),чтопротиворечит условиям.- О) == ср(с + О) -1- ср(с).предыдущие рассуждения, взяв d 1 == с, если функция j(x)в точке с справа, либо d2 == с, если функция j(x) разрывнаПусть теперь существуют ср(сПовторимразрывнав точке сслева. Мы вновь придём К противоречию.
Это означает, что функцияj(Х) непрерывна в точке с.D16.17. Необходимость условия следует из задачи 16.16. Если j(x)непрерывна в точке с, то для заданного Е>ОIj(y) - j(z)1 < Е при У, z Е [с - д, с + д]. Возьмём== Ха < Хl < ... < Х n == Ь} с отмеченными точкамиНайдём такоеr,что X r -l<С~ X r . ТогдаIST(j; ср) - j(c)1 ==Поэтомуj(x)ЕR<p([a, Ь])> О, чторазбиение Т == {а =={~i} 7=1 И С л(Т) < д.найдётся такое дIj(~r)- j(c)1 <Е.иьf f(x) d<p(X)=f( с).аD16.18. Пусть Ij(x)1 ~ с на [а, Ь] и выбрано Е>о.
Найдём такое К, чтоОпределим функциикgl (Х) ==Lk=1~(akCPk(X) + bk1/Jk(X))иg2(X) ==L(akCPk(X) + bk1/Jk(X)).k=K+lДля любого разбиения Т отрезка [а, Ь] с отмеченными точками имеемГл.16.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса399Заметим, что00LIST(f;g2)1 ~ с(Iakl + Ibkl) < Еk=K+1и что существует (см.
задачи16.2и16.17)Утверждение задачи вытекает из этих равенств.D16.19. Пусть ф(х) == ер1 (х) - ер2(Х) Е V([a, Ь]) и А == {Xk}~=1. Тогдаиз предположений следует, что для чиселak ==ер1 (Xk)- ep2(Xk)имеетместо равенство00ф(х)==L00ak(X[Xk,b](x) - X(Xk,b](X)),гдеk=1Следовательно (см. задачу16.18),ь00f f(x) dф(х) L=f(xk)(ak - ak)=О,k=1аоткуда следует утверждение задачи.D16.20. Как доказано в задаче 14.70, существует разложение ер(х) ==== ер 1(х) - ер2 (х), где ер 1(х) и ер2 (х) - неотрицательные неубывающиеVaX (ер) == VaX (ер1) + VaX (ер2)функции на [а, Ь] ижем,для всех х Е [а; Ь].
Дока-что(i)для всех х Е [а, Ь]. Нетрудно видеть, чтовсюду на [а, Ь]. Предположим, что в некоторой точке с Е [а, Ь] неравенство строгое. Тогдаф (Ь) == Ф (с)+ Vcb ( ер) << ер1 (с) + ер2(С) - ер1 (а) - ер2(а) + ер1 (Ь) + ер2(Ь) - ер1 (с) - ер2(С) ==== ер 1(Ь) + ер2 (Ь) - ер 1(а) - ер2 (а) == v; (ер 1) + V; (ер2) == V; (ер) == ф (Ь ),имыпришликво. Пусть теперьпротиворечию.Поэтомутождество(i)справедлиf(x) Е R?jJ([a, Ь]). Тогда (см.
задачу 16.7) f(x) ЕЕ R<pl-<Pl(a)([a, Ь]) и f(x) Е R<p2-<P2(a) ([а, Ь]). Это означает, что f(x) ЕЕ R<Pl ([а, Ь]) и f(x) Е R<p2([a, Ь]). При меняя задачу 16.2, получим,что f(x) Е R<p([a, Ь]).Гл.40016.Интеграл Рuмана-СтuлтьесаДокажем обратное. Пустьзадачинайтиj(x)Е>16.15 существуют такие СST(j; ер)< 6,на [а, Ь].
Возьмём разложение ер( х)скачков, аg(x)6>о, что если мы хотимЕ С([а, Ь])то можно считать, что== g( х) + s( х),n V([a, Ь]).гдеIj(x)1s( х) -~ СфункцияЗаметим, что (см. задачу 14.67)+ V2 ( Х ) ,где V1 ( х) == Vax (g) И V2 ( х) == Vax (s) на [а, Ь]. Приэтом (см. задачу 16.16) j(x) непрерывна в каждой точке разрыва ер(х).==v 1 ( х)О иТогда в силу результатадля некоторого разбиения Т с отмеченными точками,удовлетворяющего условию л(Т)1jJ ( х)R<p([a, Ь]).Но функции скачковs(x)и V2(X) имеют разрывы в тех же точках, чтои ер(х).
Применяя задачу 16.18, получим, чтоЕR V2 ([a,Ь]). В частности, отсюда следует,Пусть теперь задано Е>О :( V;(g) -LЕr > о, что (см. зада== ха < хl < ... < х n == Ь}о. Найдём такоечу 14.64) для любого разбиения Тс л(Т) < r выполнено неравенствоnj(x) Е Rs([a, Ь]) и j(x)что j(x) Е Rg([a, Ь]).=={аIg(Xi) - g(Xi-l)1 < 4с + 1Еi=1и для любого выбора отмеченных точек выполнено неравенствоьвти; g) -Jf(x) dg(x)<~.аПусть 61 == min(6,r), а разбиение Т == {атаково, что л(Т) < 61. Пусть, как обычно,Mk ==j(x)supиXE[Xk-l,Хk]приk == 1,2, ... ,n,г== {imk====ха<хlinf< ...
<XE[Xk-l,Хk]j(x)аЕ [1,n]: g(x)непостоянна на[Xi-l, Xi]}.Определим числаеслиg(Xk) - g(Xk-l)~ о,kЕ Г,еслиkеслиg(Xk) - g(Xk-l) < о, kЕ Г,еслиg(Xk) - g(Xk-l)~ Г,и~ о,kЕ Г,еслиkеслиg(Xk) - g(Xk-l) < о, kЕ Г,~ Г,хn==Ь}Гл.k == 1,2, ... ,n.при16.Интеграл Рuмана-СтuлтьесаДалее, пустьnST,l ==401nLdk(g(Xk) - g(Xk-l))ВТ,2иL==k=lek(g(xk) - g(Xk-l)).k=lЗаметим, что можно выбрать отмеченные точки И=={Tk}~=l так, что если T 1 -а Т2 -при i{~k}~=l ИV ==разбиение Т с отмеченными точками И,разбиение Т с отмеченными точками1,2.
Отсюда следует, что ВТ,!===-то IST~(f;g)V,с- ST,il < 8ВТ,2 < ~. Тогда получимnST(f; Vl) - 5 T (f; Vl) ==Lk=l(Mk - mk)V:kk_ 1 (g) ==kErkEr- g(Xk-l)l) ++ ST,l -ВТ,2 ~ 2C(V;(g) -Ig(Xk) - 9(Xk-l)l) + ~ < Е.LkErТеперь из задачи 16.4 следует, чточтоf(x)ЕRv([a, Ь]).Еf(x)откуда вытекает,D16.21. Рассматривая функцию f(x)==R V1 ([а, Ь]),ер(а). Так как ер(Х) ЕV([a,1 на [а, Ь], найдём, что ер(Ь)==Ь]), то множество её точек разрыва на[а, Ь] не более чем счётно. Обозначим его через А и возьмём точкуУ Е (а, Ь)\А.
Выберем по1> -ь--уи для всехn~ по определим функцииfn(x). Пусть fn(x) == 1 на [а, у], fn(x) == О на [у + !, Ь] и fn(x) линейнаnна [у, у1+ -].nЯсно, чтоЬfn(x)Е С([а, Ь]) при всехn1Уу+nJfn(x) d<p(x) Jfn(x) d<p(x) + J fn(x) d<p(x)О==а~ по. Тогдаа=<р(у) - <р(а) + СП,у1где (см. задачи 16.6 и 14.37) Icn I ~ер(у)==ер(а).n(ер) -----+ О при n -----+ 00. ПоэтомуD16.22. Пусть ер(х)f(x)у+-VyО на [0,1] иЕ п<р([о, 1]). Так какf(x)f(x) ==ф(х)==x{~}(x). Тогда1и ф(х) обе разрывны в точке 2' тов силу результата задачи 16.16 получаем, чтоf(x)~R?jJ([O, 1]).DГл.40216.16.23. Пусть ер(х)Интеграл Рuмана-СтuлтьесаО на [0,1],1 на [0,1] и ф(х)j(x)==Х{I}(Х).Тогда11Jf (Х)d<p (х) =оJf(x) d~(x)и= 1.ооD16.24.Пусть задано Е> о.Тогда существует такое д>О, что длялюбых двух разбиений Т1 и Т2 отрезка [а, Ь] с отмеченными точками,<удовлетворяющих условиям л(Тi )венство I ВТ1(j;ер)-<ВТ2 (j; ер) Iд приi == 1,2, выполнено нераЕ.
Возьмём теперь два произвольныхразбиения Т1 (1) и Т2 (1) отрезка [а, с] с отмеченными точками, удовле<дтворяющие условиям Л(Тi (1))приi == 1,2, и добавим к каждому изних одно и то же разбиение Т(2) отрезка [с, Ь] с отмеченными точками,для которого л(Т(2))<д. Обозначим полученные разбиения через Т1и Т2 . Но тогдаОтсюдаj(x)Еследует,чтоR<p([c, Ь]).для отрезкаЕj(x)R<p([a, с]).Аналогичнополучаем,чтоЗаметим теперь, что если даны два разбиения: Т(l)[а, с]и Т(2)для-[с, Ь]с отмеченными точками, тоих можно объединить и получить такое разбиение Т отрезка [а, Ь]с отмеченными точками, что л(Т)==шах (л(Т(l)), Л(Т(2))).
При этомST(j; ер) == ВТ(1) (j; ер)+ ВТ(2) (j; ер)'откуда следует, чтоЬсЬасJЛХ) d<p(X) JЛХ) d<p(X) + Jf(x) d<p(X).=аD16.25. Пусть j(X)1 на [-1,1] и ер(х) == х[о,I](Х). Тогда j(x) ЕЕ С([-l, 1]) и ер(х) Е V([-l, 1]), но j(X)X[O,I](X) == ер(х) разрывна в точке о. Поэтому (см. задачу 16.16) функция j(X)X[O,I](X) не принадлежитклассу R<p ( [- 1, 1]). D16.26. Пусть j(x) == х(о,I](Х) И ер(х) == х[о,I](Х) Е V([-l, 1]).
Тогдасуществуют и равны нулю оба интеграла:оJ f (Х) d<p (Х )-11иJЛх) d<p(X)оГл.16.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса403(ДЛЯ каждого из них любая интегральная сумма равна нулю), но таккак обе функцииj(x)j (Х) ~ Rcp ( [- 1, 1]).и ер(х) разрывны в точке О, то (см. задачу16.16)D116.27. Пусть j(x) == ; х(о,I](Х) И ер(х) == ХХ[-I,О](Х) Е С([-l, 1])n V ([ -1, 1]).Ясно, что существуют и равны нулю оба интеграла:о1J Лх) d<p(X)JЛх) d<p(x).и-1втожеnвремясодержащегоодляточкулюбогоО,DразбиениясуммаST(j; ер)Тнеотрезка[-1, 1],существует.неПоэтомуj (Х) ~ Rcp ( [- 1, 1]).16.28. Пусть Ij(x)1 ~ к на [а, Ь],ьс11Jf(x) d<p(X),=12Jf(x) d<p(X),=аа Е>О-сзаданное число.
Тогда можно выбрать такое д> О,что:1) для любого такого разбиения Т(l) отрезка [а, с] с отмеченнымиточками, что Л(Т( 1))< д,выполнено неравенствоIST(I) (j; ер) - 111с< 4;2) для любого такого разбиения Т(2) отрезка [с, Ь] с отмеченнымиточками, что л(Т(2))3) если Iy - cl< д,выполнено неравенствод, то lep(y) - ер(с)<1<+ 1.{а====< хl < ... < х n ==что л(Т) < д. Если схоЬ} отрезка [а, Ь] с отмеченными точками {~i}7=1'принадлежит Т, то Т-объединение разбиений Т(l) отрезка [а, с]и Т(2) отрезка [с, Ь], и поэтомуслучае существует такоеТ(l)=={а==хос< 4;с8КРассмотрим теперь такое разбиение Т==IST(2)(j; ер) - 121kЕ [1,n], что Xk-l< хl < ... < Xk-l < x~ ==с} -<Св противном< xk.Определимразбиение отрезка [а,с]i == 1,2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
