1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 60
Текст из файла (страница 60)
, k - 1 и r]k == с. Аналогично Т(2) == {с == x~ < Xk+l < ... < Х n == Ь} - разбиение отрезка [с, Ь]с отмеченными точками r]i == ~i при i == k + 2, k + 3, ... ,n и r]k+ 1 == с.Заметим, что Л(Т( i)) < д при i == 1,2. Получаем, чтос отмеченными точками r]iIST(j; ер) - (11+ 12)1+ Ij(~k)llep(Xk+l) -==с+ 12)1 < "2.IST(j; ер) - (11~i при~ IST(I)(j; ер)ep(xk)1- 111 + IST(2)(j; ер) - 121 ++ Ij(c)I(lep(Xk+l) ~ сс" 4+ 4+откуда следует утверждение задачи.Dер(с)К12с+ lep(c) -8К + 1 +2Кep(xk)l) ~с8К + 1 < Е,Гл.40416.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса16.29.
Из задачи 16.6 следует, что L ~ V: (ер). Пусть заданоЕ > о. Выберем такое разбиение Т == {а == Ха < Xl < ... < Х n == Ь}отрезка [а, Ь], что IVd>(ep) - VT(ep) I < ~. Обозначим qk = sgn(ep(Xk) - ep(Xk-l)) при k == 1,2, ... , n. Пусть натуральное то таково, что<_1_тоl:::;;k:::;;n1циюfm(x) == qk на [Xk-l, Xk - -], где k == 1,2, ... , n - 1, fm(x) ==т[xn-l, Х n ]на== qnХ Е1такоеИ продолжимдля[Xk - -, Xk]IlfmllcиДля каждого т ~ то определим функ--21 min IXk - xk-ll.тk == 1,2, ... , n - 1VXk1 (Xk- mи т ~ffil.n-l- ep(Xn-l))ер)-<о)k=lер(х) на (а, Ь), то существуетс1с-4 и lep(xk - -) - ep(Xk) < -4 при1nТогда при т ~ffilполучаем, чтоL Qk(ep(Xk) -ep(Xk-l)) -k=l1- n-lL VXk_~ (ер)k=l1т>Оnтfm(x) dep(x) ~lep(Xk - -) - ep(Xk)Поскольку ЕЕ С([а, Ь])fm(x)n+Ln-lЯсно, что==k=l-Lпо линейности на отрезкиk == 1,2, ...
, n - 1.~ 1. Поскольку ер(хffil > то, чтоf m (Х)Xk;?: VT(ep) -~;?: Vd>(ep) -Е.mпроизвольно, то мы получаем утверждение задачи.D16.30. Из задачи 16.6 следует, что J ~ Ilfll c. Пусть У Е [а, Ь]таково, что Ilfll c == If(y)l. Если У < Ь, то мы рассмотрим функциюер(х) == sgnf(y)X(y,b] (Х). Ясно, что ер(х) Е А и V:(ep) ~ 1. В то же времяьJ ;?:JЛх) dep(x)=lf(y)l,аоткуда следует утверждение задачи. Если Узывается, чтоJ~If(b -r)1r > о.при любомто отсюда следует утверждение задачи.. ..==Ь, то аналогично докаТак какf(x) Е С([а, Ь]),D16.31. Заметим, что для любого разбиения Т == {а == Ха< Х n == Ь} выполнено условиеnLk= 1< Xl < ...n1ер (Х k) - ер (Х k- 1)1== .1im~---+(X)Lk= 11ер i ( Х k) - ер i ( Х k- 1 ) ~ С,1Гл.откудаЕf(x)следует,чтоR<p([a, Ь]).ср(х) ЕЬ]),V([a,иТеперь для заданного ЕIx - yl < д,если х, У Е [а, Ь] ичто разбиение ТИнтеграл Рuмана-Стuлтьеса16.{а====хапоэтому>О405(см.задачувыберем такое д16.5)> О,чтосIf(x) - f(y)1 < зс + 1.
Предположим,< хl < ... < х n == Ь} с отмеченными точтоками {~k}~=l таково, что л(Т)задачи 16.6 имеем<д. Для каждого i в силу результатаXkьJЛх) dcpi(X) -1;1 J и(Х) - f(~k)) dcpi(X)вти; CPi)а~Xk-l"~сзс + 1. v b( . )са cp~ < З·Аналогично,ьJЛх) dcp(x) -вти; ср) <~.аНоясно,чтоеслиТфиксировано,тодлядостаточнобольших~выполнена оценкаСледовательно, cYLЦecTByeTьlimk-HX)ьJf (х ) dcp k(х) == Jf (х) dcp (х ).ааD16.32. Так как ср(х) - строго возрастаЮLЦая функция на [0,1], тосогласно задаче 16.15 любая функцияf(x)f(x)ЕR<p([O, 1]) ограничена на~ R<p([O, 1]).
Если (З ~ О,[0,1]. Следовательно, если (З < О, тото f(x) Е V([O, 1]). Так как ср(х) Е С([О, 1]), то (см. задачу 16.5)ср(х) Е Rf([O, 1]). При меняя задачу 16.3, получим нужное нам утверDждение.16.33. Если а ~ О, то обе функции f(x) и ср(х) разрывны в точке о.R<p([O, 1]). Пусть а > о. Для заданногоЕ > О найдём такое б > О, что ба < ~.
Затем найдём такое n, чтоТогда (см. задачу 16.16)2w == 41Гn+ 1г<д-2· Пусть gl(X) == cp(X)X[wl](X) и g2(X) == ср(х) -gl(Х).'Ясно, чтоgl(X)дует,чтоcYLЦecTByeTенийТ1РЯЮLЦихиТ2~f(x)Е С([О,отрезкаусловиюл(Тi )1]),поэтомуgl(X)r >чтотакое[О,1]< rсприО,ЕRf([O, 1]).дляотмеченнымилюбыхОтсюда следвухточками,разбиудовлетвоi == 1,2, выполнено неравенствоГл.40616.ISTI(gl;f) - ST2 (gl;f)1Интеграл Рuмана-Стuлтьеса< ~. Пусть теперь 'уl=min(ry,J). Для любыхдвух разбиений Тl и Т2 отрезка [О, 1] с отмеченными точками таких,что л(Тi )< {lIST1 (ер; f) -приВт2 (ер;i == 1,2, имеемIST1 (gl; f) - ST2 (gl; f)1 + IST1 (g2; f)1~f)1+ IST (g2; f)12:( ~sup Icp(x)l' Vaб(f) :( ~+2++ 2б" < Е.XE[O,w]Как следствие, ер(х) Еf(x)ЕR<p([a, Ь]).а> о.Rf([O, 1]).Итак,f(x)ЕПрименяя задачу 16.3, получаем, чтоR<p([a, Ь])тогда и только тогда, когдаD16.34.Так как обе оценки устанавливаются одинаковыми рассуждениями, то мы докажем только первую.
Заметим, что по критерию Лебега (см. задачу 11.3)такое д> О,R([a, Ь]). Пусть задано с > о. Выберемразбиения Т == {а == ХО < хl < ... < х n == Ь}Еf(x)g(x)что для любогос отмеченными точками {~k}~=1 и с л(Т)разности сумм Дарбу:<5(f; Т) - S(f; Т) < с.д выполнена оценка дляТогда для любого с Е [а, Ь]и любого такого разбиения Те отрезка [а, с] с отмеченными точками,что л(Те )< д,имеем:5(f; Те) - S(f; Те) < с.Следовательно,еf f(x) dx -S(f; Те) < Е.аПусть теперь Т-разбиение отрезка [а, Ь] с отмеченными точками{~k}~=1 и с л(Т)< д.Применяя преобразование Абеля, получаемnIS(fg; T)I ==Lf(~k)g(~k)(Xk- Xk-l) ==k=1n-l=kL ((9(~k) - g(~k+l)) L f(~r)(xr -k=1+ g(~n)Так как с>r=1fr=1f(~r)(xr -Xr-l) <О произвольно И g(~I) ~самым доказано.(с +g(a),x r- 1))+еsup Jf(x) dx ) .
g(~I).еЕ[а,Ь]ато утверждение задачи темD16.35. Пусть вначале ер(х) -неубывающая функция на [О, 27Г].Так как21Гf cosnxdxО=ОГл.16.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса407n ~ 1, то можно считать, что ер(О) == О и vo21Г (ер) == ер(27Г).при всехИспользуя задачу16.34,получаем, что21Г21Гер(х) cos nх dx ~ ер(27Г)JОsupсЕ [О,21Г]Jcos nх dxnсВ общем случае существует (см. задачу== ер 1(х) -~ ~ уо21Г (ер).14.69)разложение ер(х)==ер2 (х), где ер 1(х) и ер2 (х)- неубывающие неотрицательныефу н к ци и н а [О, 2 7г ], пр ич ё м vo ( ер) == V02Jr ( ер 1) + vo21Г ( ер2 ) . То гда21Г21Г21ГJ<p(x)cosnxdx :(о21ГJJ+<P!(x)cosnxdx<P2(x)cosnxdx :(ооD16.36. Пусть ер(х) == Х[о, ~] (х). Тогда vo21Г (ер) == 1 и21ГJ<р (х) cos nх dx= Iодля нечётныхn.~ sin 1Г2n I = ~D16.37.
Пусть вначале ер(х) Так какнеубывающая функция на [О, 27Г].21ГJ sin nxdxО=оn, то можно считать, что ер(О) == О и vo21Г (ер) ==для всех натуральных==ер(27Г). в силу результата задачи21Г21Гер(х) sin nх dx ~ ер(27Г)JОsupсЕ [О,21Г]В общем случае согласно задаче== ер 1(х) -фу н к ци и н а [О, 2 7Г] И vo21ГJ<р(х) sin nх( ер)21Г== voJsin nх dxсdx :(J<Р! (х) sin nх~ ~ уо21Г (ер).nсуществует разложение ер(х)( ер 1)21Г+ vo( ер2 ) .То гД а21Гdx==неотрицательные неубывающие-21ГоD14.69ер2 (х), где ер 1(х) и ер2 (х)21Гополучаем, что16.34+J<Р2(Х) sin nхоdx :(Гл.40816.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса16.38. П ус ть ер (Х) == Х [О, 7Г] ( Х ) .
То гда vo27Г ( ер) == 1 и27ГJep(x)sinnxdx1 1 -: S7Гn l==~Опри нечётныхn.DСогласно задачам16.39.27Г16.3и16.6имеем27ГJep(x)sinnxdx=*Jep(x)dcosnxОО27ГJcos nх dep(x)nср(21Г) - ср(О) - ~n27ГJ~cosОnх dep(x)::;:;*vo27Г(ер).ОD16.40. Пусть ер(х) == X[~,7Г] (Х). Тогда vo27Г ( ер) == 2 и, если n == 2(2k+ 1),гдеk+Е N, то27Г1ГnJер(х) sin nх dxCOS1Гn- cos -2n-_ -2 -_ -1тУОт27Г ( ер.)<< ...
<nnОD16.41. Рассмотрим разбиение Т == {а == ХОТогда (см. задачу 16.6)nLnIF(xk) - F(xk-l)1 ==k=lLk=lXlХn==Ь}.XkJ f (t) dep( t)::;:;Xk-l~ 11111 c ·nLk=lV:kk_ 1 (ер) == 11111 c · V;(ep).Предположим, что ер(х) непрерывна справа в точке ХО. Тогда (см. задачи16.6и14.37)xo+hIF(xo + h) - F(xo)l::;:;J f(t) dep(t)::;:;Ilfll c . V~o+h(ep)---7ОХоприh-----++0.Аналогично доказывается непрерывность слева.DГл.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса16.40916.42. Из задачи 16.6 следует, что для любых х, У Е [О, 1] выполненыоценкиIF(x) - F(y)1~1Jl е (! (х+ t) - f (у + t) ) dep (t ) ~ОшахU,VE[O,2]:If(и) - f (v ) I .
V01(ер ) ,lu-vl=lx-ylоткуда (с учётом теоремы Кантора) следует утверждение задачи.16.43.Пусть Емножество всех точек непрерывности функции-ер(х) на (а, Ь), и х, У Е Е. Пусть х1/nо< min (х -<У, а натуральное ПО таково, чтоn ~ ПО определим функцию fn(z) ==== 1 при z Е [х, У], fn(z) == О на [а, х - 1/n] u [У + 1/n, Ь] и продолжим fnпо линейности на отрезки [х - 1/n, х] и [У, У + 1/n]. Ясно, что каждаяfn(z) -а, ЬDУ).
Тогда при-неотрицательная непрерывная функция на [а, Ь]. Поэтомуьy+l/nХJО ~ fn( t) d<p( t)J=f(t) d<p( t) +x-l/nаТак как (см. задачуJf(t) d<p( t) + <р(у) - <р(х).У14.37)хJ f(t) d<p(t)~ V:-1/n(<p) ----t оx-l/nприn -----+00,и,аналогично,y+l/nJ f (t) d<p (t)----tОУпри n -----+ 00,множество Ато мы получаем,==[а, Ь]йu\что ер(у)-ер(х) ~ о.Заметим, чтоЕ не более чем счётно. Если и Е А, то пусть== infХЕЕ:ер(х)и~u== supх>uХЕЕ:ер(х)х<u(при х == а формально положим ~a == й а , а при х == Ь пусть йьЯсно, что й u ~ ~u при всех и Е А.
Определим функциюф(х) == {ер(х),~x,Тогда ф(х)-если х Е Е,если х Е А.неубывающая функция на [а, Ь], а множество{х Е [а, Ь]: ф(х)не более чем счётно.D-# ер(х)}с А==~ь.)Гл.41016.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса16.44. Так как (см. задачу 16.41) ф(х) Е V([a, Ь]), то оба интеграласуществуют. Для заданного ЕЕ [а, Ь] иIx - yl < д,что л(Т)< д.>О> О,выберем такое дчто если х, У ЕIj(x) - j(y)1 < Е.
Возьмём такое разбиение Т ==== {а == ха < Xl < ... < Xn-l < Х n == Ь} С отмеченными точками {~k}~=l'тоТогдаIST(g; ф) - ST(jg; ep)1 ==t g(~k)Х!(k-lf(t) d<p( t) -f(~k) (<p(Xk) -<P(Xk-l))) :(Xk-lnXkf (f(t) -:( Ilgll c Lk=lf(~k)) d<p(t) :( EllgllcV;(<p),Xk-lоткуда следует утверждение задачи.D16.45. Заметим, что (см. задачу 11.1) ер'(х) Е L((a,b)), поэтому(см. задачу 15.33) функция ер(х) принадлежит АС([а, Ь]), и тем болеепринадлежитЬ]). Как следствие,V([a,Лебега (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
