1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть ср(х) Е V([O, 27Г]). Доказать, что21ГJ<р(х) cos nх dx:(~ vo27Г (<р)одля всехn Е N.16.36. Доказать, что существует функция ср(х) Е V([O, 27Г]), длякоторой21ГJ<р(х) cosnxdx=~ vo27Г (<р)одля бесконечного множества натуральных чиселn.16.37. Пусть ср(х) Е V([O, 27Г]). Доказать, что21ГJ<р(х) sin nх dx:(~ vo27Г (<р)одля всехn Е N.16.38. Доказать,ЕV([O, 27Г]),чтосуществуеттакаяфункцияср(х)Ечто21ГJ<р (х) sin nх dx=~ vo27Г ( <р )одля бесконечного множества натуральных чиселn.16.39.
Пусть ср(х) Е V([O, 27Г]) И ср(О) == ср(27Г). Доказать, что21ГJ<р(х) sin nх dx:(~ vo27Г (<р)одля всехn Е N.16.40. Построить такую функцию ср(х) Е V([O, 27Г]), что ср(О) ====ср(27Г) И21ГJ<р (х) sin nх dx=*vo27Г(<р )одля бесконечного множества натуральных чиселn.Гл.16.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса39116.41. Пусть f(x) Е С([а, Ь]) и ср(х) Е V([a, Ь]). Доказать, чтохF(x)Jf(t) d<p( t) Е V( [а, Ь])=аи что функция Р(х) непрерывна в каждой точке непрерывности ср(х).16.42.
Пусть f(x) Е С([О, 2]) и ср(х) Е V([O, 1]). Доказать, что1F(x)=Jлх + t) d<p( t) Е С([О, 1]).о16.43. Пусть ср(х) Е V([a, Ь]) и для любой функции f(x) Е С([а, Ь]),удовлетворяющей условиюf (х)~ О на [а, Ь], выполнено неравенствоЬJf(t) d<p( t) ~ О.аДоказать, что функцию ср( х) можно изменить на не более чем счётноммножестве так, чтобы она стала неубывающей на [а, Ь].16.44. Пусть f(x) и g(x) из С([а, Ь]) и ср(х) Е V([a, Ь]). Положимхф(х)=Jf( t) d<p( t).аДоказать, чтоЬЬааJ9(t) dФ (t) = Jf( t )9(t) d<p (t) .16.45. Пусть f(x) Е С([а, Ь]), а функция ср(х) такова, что ср'(х)существует всюду наf(x)ЕRcp([a, Ь])[а, Ь], причём ср'(х) ЕR([a, Ь]).Доказать, чтоиЬЬJf(t) d<p(t) JЛх)<р'(х) dx.=аа16.46. Пусть f(x) Е С([а, Ь]) и ср(х) Е АС([а, Ь]). Доказать, чтоЬJf(t) d<p(t)агде J-L -=(L)J Лх)<р'(х) d/J,(а,Ь)классическая мера Лебега на (а, Ь).Гл.392Интеграл Рuмана-Стuлтьеса16.16.47. Пусть f(x) Е V([a, Ь]) и ср(х) Е АС([а, Ь]).
Доказать, чтоЬf f(t) dcp(t)=агде J-L -f(L)ЛХ)СР'(Х) dfJ,(а,Ь)классическая мера Лебега на (а, Ь).16.48.Пустьср(х)==х,если х Е [О, ;),2,если х1г== "2или х==1Г,если х Е (;, 7Г).Найти1гf sin х dcp(x).о16.49.Найти1г1f (х + 2) d(eXsgn(sinx)).=-1Г16.50.Найти1г1=f(х -1) d( cos х sgn х).о16.51. Пусть g(x) - функция Кантора на [0,1] (см.
решение задачи4.19).Найти11=f xdg(x).о16.52. Пусть g(x) - функция Кантора на [0,1] (см. решение задачи4.19).Найти11=fх3dg(x).О16.53. Пусть g(x) - функция Кантора на [0,1] (см. решение задачи4.19).Найти1f1= g(1-x)dg(x).оГл.16.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса393РЕШЕНИЯ16.1. Для любого разбиения Т отрезка [а, Ь] с отмеченными точками имеемВт(а!+ (3g; ер) == aST(j; ер) + (3ST(g; ер)'откуда следует утверждение задачи.D16.2. Для любого разбиения Т отрезка [а, Ь] с отмеченными точками имеемST(j; аер + (3ф) == aST(j; ер) + (3ST(j; ф),откуда следует утверждение задачи.16.3. Пусть Т == {а == ХоD< Хl < ... < х n -l < Х n ==отрезка [а, Ь] с отмеченными точками ~i ЕЬ}при i[Xi-l, Xi]- разбиение== 1,2, ...
, n.ТогдаnВт(ер;j) ==Lep(~i)(j(Xi)- j(Xi-l)) ==i=ln-l== -Lj(Xi)(ep(~i+l)-ep(~i))+ ep(~n)j(xn) -ep(~l)j(XO)==i=l== j(b)ep(b) - j(a)ep(a) - j(b)(ep(b) - ep(~n)) - j(a)(ep(~l) - ер(а)) n-l- L j (Х i ) (ер (~i+ 1) - ер (~i)) == j (Ь )ер (Ь) - j (а ) ер (а) - ВТ1 (j; ер ) ,i=lгдеТ1i=={а ~ ~ 1 ~ ~2 ~ ... ~ ~n-l ~ ~n ~ Ь}разбиение отрезка [а, Ь] с отмеченными точкамиО, 1, ... ,n, и где формально ~o == а и ~n+l~ 2л(Т) ~ 4Л(Т1 ).
Следовательно, существует==limл(т)-+оВт(ер;j) == j(b)g(b) - j(a)g(a) -limЛ(Т1)-+0==ВТ1XiЕ [~i, ~i+l] приЬ. Ясно, что л(Т1 ) ~(j;ер)==ь=f (Ь )9 (Ь) - f( а )9 (а) - f f (х) d<p (х ).аD16.4.Необходимость условия и==О для интегрируемости функцииj(x) очевидна.
Предположим теперь, что ST(j; ер) и ST(j; ер) существуют для каждого разбиения Т отрезка [а, Ь] с л(Т)и==<ЛО и чтоо. Возьмём некоторое разбиение Т отрезка [а, Ь] с л(Т)<ло.Предположим, что мы добавили к Т новые точки и получили дру-гое разбиение Т/. ТогдаST(j;ep) ~ ST,(j;ep) и ST(j;ep) ~ ST,(j;ep).Гл.394Какследствие,если< Ла,с л(Т1 ), л(Т2 )Интеграл Рuмана-Стuлтьеса16.даныа ТздваТ1разбиенияиТ2отрезка[а, Ь]разбиение [а, Ь], содержащее все точки из Т1-И Т2 , тоСледовательно,а==Из условия и==supТ:л(Т)<ло5 т (!; ер) ~О вытекает, что аinfТ:л(Т)<ло== (3 == 1.ВТ(!; ер)== (3.Заметим, что для любоготакого разбиения Т отрезка [а, Ь] с отмеченными точками, что л(Т)< Ла,<выполнено условие5 т (!; ер) ~ ВТ(!; ер) ~ ВТ(!; ер).Отсюда следует, что11IST(!; ер) -~ ВТ(!; ер)- 5 т (!; ер).Так как правая часть этого неравенства стремится к нулю при л(Т) -----+! (Х)-----+ О, то16.5.ер(х)на==ЕR<p ( [а, Ь]).Посколькуерl(Х)[а, Ь],задачувсилурезультатазадачиутверждение в случае, когда ер(х)Заметим,что14.6)ер2(Х), где ерl(Х) и ер2(Х)-то(см.Dв-существует-представлениенеубывающие функции16.2 достаточно доказатьнеубывающая функция на [а, Ь].силу ограниченности!какнепрерывнойфункциичисла 5 т (!; ер) и ВТ(!; ер) существуют для всех Т.
Пусть дано Е>о.> о, что если Х, у Е [а, Ь]+ 1 . При этом для любогоТогда по теореме Кантора найдётся такое ди Ix - yl<д, то Ij(x) - f(y)1<разбиения Т отрезка [а, Ь] с л(Т)с<р(Ь) _ <р(а)<дполучимс:( <р(Ь) _ <р(а) + 1 . (<р(Ь) - <р(а)) < Е.Применяя задачу 16.4, получаем, что! Е16.6. Для любого разбиения Т == {а==R<p([a, Ь]). D== Ха < Хl < ... < х n -l < Х n ==Ь} отрезка [а, Ь] имеемnIST(!; ep)1 ~ с L lep(Xk) - ep(Xk-l)1 ~ CV;(ep),k=lоткуда мы получаем требуемое неравенство для интеграла РиманаСтилтьеса.DГл.16.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса16.7.
Если rф(х) == ерl(Х)ращение функцийepi+ ер2(Х),395то так как на любом отрезке прине больше приращения функции rф, то для любогоразбиения Т отрезка [а, Ь] такого, что значения5 T (f; rф)иST(f; rф)существуют, существуют и соответствующие значения для ерl(Х) и ер2(Х).При этомприi == 1,2.
При меняя задачу 16.4, получим, что==1,2. DfЕ Rcp~ ([а, Ь]), ~==16.8. Для любого разбиения Т отрезка [а, Ь] имеем: ST(f; ер) ~ О,откуда следует утверждение задачи.16.9.DУтверждение вытекает из задач16.10.и16.1.DСуществование интегралов вытекает из задачиществование предела и равенство16.11.16.8-из задачи16.6.16.12.
Пусть [21 --из задачи16.6.а суDмножество всех таких разбиений отрезкаIlfll ooпри всех i.== О, то множество[22 содержит[а, Ь] с отмеченными точками {~i}, что If(~i)1 ~If(x)1 >Ilfll oo })разбиения со сколь угодно малым Л(Т). ПосколькуНо если Т Е [22, то IST(f;ние задачи.16.5,множество всех разбиений отрезка [а, Ь] с отмеченными точками, а [22 -Так как М({Х Е [а,Ь]:а суDСуществование интегралов вытекает из задачиществование предела и равенство16.5,ep)1~Ilfll oo V;(ep),f(x)ЕRcp([a, Ь]),тооткуда следует утверждеD16.13.
Так как ер(х) Ф- с на [0,1], то существуют такие точки у и zиз [О, 1], что ер(у) -1- ер( z). Для заданного Ла > О возьмём такое разбиение т == {О == Ха < хl < ... < х n -l < Х N == 1} отрезка [0,1] с л(Т) < Ла,что Xi == У и Xj == z. Затем найдём такие два набора отмеченныхточек И == {~k}~=1 И V == {Tk}~=I' что ~k == Tk Е [Xk-l,Хk] при k ~ iи при k > j, ~k Е [Xk-l,Хk] рационально при i < k ~ j и Tk Е [Xk-l,Хk]иррационально при i < k ~ j. Обозначим разбиение Т с отмеченнымиточками И через Т1 , а Т с отмеченными точками V - через Т2 • ТогдаIST1 (D;Поскольку Ладоказано.D>ер)-ВТ2 (D; ер)О произвольно,1== lep(z) - ер(у) == с > о.1то утверждение задачи темсамымГл.396Интеграл Рuмана-Стuлтьеса16.116.14. Пусть j(x) ==11 при х Е [О, 3)'j(x) ==1О при х Е [з,1],х--3ер(х)О при х Е [О,==2 1 23]и ер(х)==- - 2 при х Е (з,1]. Тогдаj(x)х--и ер(х)3две конечные неограниченные функции на [О,-ST(j; ер) ==Но если раз-1[0,1] с отмеченными точками таково, что л(Т) < 3'биение Т отрезкато1].О, откуда следует, чтоj(x)ЕR<p([O, 1]).D16.15.
Поскольку j(x) Е R<p([a, Ь]), то существуют такие постоянные Кс л(Т)<>>О и лоО, что для любого разбиения Т отрезка [а, Ь]ЛО и для любого выбора отмеченных точекВозьмём некоторое разбиение То == {а ==отрезка [а, Ь] с л(То ) < ЛО и обозначимиJ o ==~ К.IST(j; ep)1Zo < Zl < ... < Zk-l < Zk == Ь}U [Zi-l,Zi].iEr oДокажем вначале, чтоep(Zi)#-ограничена на каждом ~i приj(x)ep(Zi-l)' то это верно, так как тогда имеет место неравенствоlf(x)1 :( 1ер (Zi)К-ер(Zi-l)1' Пусть <p(Zi) = <p(Zi-l). Тогда поскольку <р непостоянна на ~i, то существует такое и Еиep(Zi-l)разбиениена~i Е го. Если#-(Zi-l, Zi), что ep(Zi)#-ер(u)ер(u). Добавив точку и к разбиению ТО, получим новоеWс л(W)< ЛОи заметим, чтоj(x)должна быть ограничена[Zi-l, и] и на [U,Zi]. Поэтому существует такое СО > О, что Ij(x)1 ~СО при х Е J o.Теперь мы займёмся построением некоторой окрестности множества, на котором функция ер непостоянна.
Построим точки (Зi Иследующим образом. Пусть[Zi' Zi+ ~o] , то возьмёмПусть==j(x)2+ Zi 'Zi - 1i Е ГО и i{3i =Zi, ri = Zi(то ер х)постоянна наCi =ограничена наsuplf(x)l.хЕ [(J~ "~]Yi, Zi· П редположим,отрезка [а, Ь] с Л(Т) <Е#- о.+ ~o иj(x)[]==ер( tj)Еслинеограничена на этом отрезке. Докажем, что еслиТогда возьмём такое разбиение Т-< k.>'0,чтоtj{аYi ==что это не так.== to < tl < ... < tZ-l < tz ==[Yi, Zi], tj+l = Ziri+ ~o иЬ}<p(tj+l) -Но в этом случае можно найти такую отмеченную точку[t j , tj+l], что IST(j; ер) I > К, и мы приходим К противоречию.В рассмотренном случае мы возьмём (Зi == Yi, ri == Zi и C i == Со. Еслиk Е ГО, то возьмём (Зk == rk == Ь и Ck == Со·~j ЕГл.ТеперьопределимограниченаиD i ==16.[Zi-1наsup-Ij(x)l.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса397ai и 6i.
Если i Е ГО, i > 1 и j(x)ЛО]..~ЛО2'Zi-1 , то возьмем ai == Zi-1, Ui == Zi-1 - 2точкиЕсли женеограничена на этом отрезке,j(x)XE[b~,a~]( )тоер хИD i ==постояннаСо. Еслина[Zi-1ЛО]2'Yi ,-И..мы1 Е ГО, мы возьмём а1==ai ==возьмем61а и==D 1 ==~Yi, ui==Zi-1Со.Определим теперь множестваАu==В[ai,;3i],u [6i,==iEr o(здесь по построению А с В) и постоянную СПусть также р ==min-211~i~kri]iEro(Zi -~EГoИZi-1)(а, Ь) \ А== r,nax(Ci + D i + Со).== U(tz, sz).zЗаметим, чтокаждомIj(x)1(tz, sz)по построению. Пусть теперь Т< Х т -1 < х т ==Ь}ГЗафиксируемj~ С на множестве В и что ер(х) постоянна на-=={а==разбиение отрезка [а, Ь] с л(Т)== {j:ха<<риХ1<ер ( х) Ф Сj на [х j - 1 , Х j ] } .Е г. Тогда существует такоеiЕ ГО, что хотя бы однаиз точек Xj-1 или Xj принадлежит [ai,;3i]; ведь отрезок [Xj-1,Xj] неможет лежать целиком внекотором [tz, sz], на котором ер постоянна.Следовательно, [Xj-1, Xj] С [6i, ri] с В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
