1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Пусть f(x) == s(x)ков,g(x)Е АС([а, Ь]) иh(x) -+ g(x) + h(x),гдеs(x) -функция скачсингулярная функция на [а, Ь] или нуль.Тогда (см. задачи 15.58 и 14.67)V;(f - fn) == V;(s)Отсюда следует, что V:(s)задачи.D+ V;(h) + V;(fn - g).== V:(h) ==О, что эквивалентно утверждениюГл.15.Абсолютно непрерывные функции38315.60. Доказательство аналогично решению задачи 15.59.
D15.61. Пусть задано с > о. Найдём такое д > о, что для любойсистемы 5 Е П([а; Ь]) с 8(5) < д выполнено неравенство Y(f; 5) < с.Рассмотрим конечную систему 5 == {(ai, bi )}7=1 Е П([а; Ь]) с 8(5) < д.Пусть g(b i ) < g(ai) для некоторого i. Рассмотрим множество A i == {х ЕЕ [а, Ь]: g(b i ) < f(x) < g(ai)}. Так как функция f непрерывна, то A iоткрыто,поэтому00A i ==00U (Ci,j, di,j),гдеj=1"'(d·· ~~,]с··)~,]==Ь·~-а·.~j=1Заметим, что для любогоj значения f(Ci,j) и f(di,j) совпадает либосg(b i ), либо с g(ai). Докажем, что существует j == j(i), для которогоIf(Ci,j) - f(di,j)1 == Ig(b i ) - g(ai)l· Предположим, что это не так.
ТогдаположимиПо предположению Г l U Г 2f(x) > g(b i )либо== Nf(x) < g(ai)и оба множества не пусты (иначедля всех х Е [а, Ь],но). Предположим для определённости, чтоCi,1 < di ,1 < Ci,2 < di ,2.Обозначимt == di ,1И Sчто невозмож1 Е Г l И 2 Е Г 2 , И что== Ci,2.Пустьr == inf {Ci,j Е [t, s] : j Е Г 2}.Тогдаf(r) == g(ai)по определению множества Г 2 . Пусть(jJ == sup {di,j Е [t, {] : j Е Г l }.f( (jJ) == g(b i ) по определению множества Г l , поэтому равенство r == (jJ невозможно.
Следовательно, (jJ < {, f( (jJ) == g(b i ),f(r) == g(ai), и если х Е ((jJ,r), то f(x) ~ (g(bi),g(ai)). Так какf(x) Е С([а, Ь]), то это невозможно, и мы пришли к противоречию.Следовательно, существует такое j(i), что If(Ci,j(i)) - f(di,j(i))1 ==== Ig(b i ) - g( ai) 1· Заметим, что система 51 == {( Ci,j(i) , di,j(i))} ~=1 состоитиз непересекающихся интервалов и 8(51) < д. Поэтому Y(g; 5) ==== Y(f; 51) < с. DЯсно, чтоГлава16ИНТЕГРАЛ РИМАНА-СТИЛТЬЕСАв этой главе мы будем рассматривать конечные вещественнозначные функции на отрезке [а, Ь] С IR.
Напомним, что разбиение Т==Ходля< Xl < ... < Xn-l < Х n ==k == 1, 2, ... , nобычно, Л(Т)==Ь} отрезка [а, Ь] с точками ~k Е==тахl:::;;k:::;;n{а{а==[Xk-l, Xk]называется разбиением с отмеченными точками. КакIXk - Xk-ll.Пусть на отрезке [а, Ь] даны две функцииразбиения Т==и СР(Х). ДЛЯ каждогоf(x)== Хо < Xl < ...
< Xn-l < Х n ==Ь} отрезка [а, Ь] с отмеченными точками определим интегральную сумму Римана-Стилтьеса:nST(f; ср) ==Lf(~k)(cp(Xk)- cp(Xk-l)).k=lЕсли существует конечныйlimл(т)--*оST(f;ср), то мы скажем, что функцияf(x) интегрируема по Риману-Стилтьесу на [а, Ь] по ср(Х) (f(x)Е Rcp ([а, Ь])). в этом случае мы будем использовать обозначениеьlimл(т)--*оьST(f;cp) == (R-S)]f(x)dcp(x) == ]f(x)dcp(x).аЕсли ср(Х)-Еанеубывающая функция на [а, Ь], аf(x) -конечнаяфункция на [а, Ь], то мы будем использовать следующие обозначения.Для любого разбиения Т == {а[а, Ь] определим значенияmk ==приinfXE[Xk-l,Хk]k == 1,2, ... , n.f(x) ограничена нано cp(Xk-l) == cp(Xk)==f(x)Хо< Xl < ...
< Xn-l < Х n ==иM k ==[а, Ь]), либо некоторые изmkmkиMk конечны (т. е.или Mk бесконечны,k), положимn5 T (f; ср) ==f(x)XE[Xk-l,Хk]В случае, когда либо вседля этихsupЬ} отрезкаLk=lmk(cp(Xk) - cp(Xk-l))Гл.16.Интеграл Рuмана-Стuлтьесаи385nST(j; ер) ==LMk(ep(Xk) - ep(Xk-l)),k=lсчитая, что00 .о==о. в противном случае5 T (j; ер)иST(j; ер)не определены.ЗАДАЧИ16.1. Пусть j(x) Е R<p([a, Ь]), g(x) Е R<p([a, Ь]) и а, (З Е IR. Доказать,чтоaj(x) + (Зg(х)ЕR<p([a, Ь])иьJ(af(x) + (Зg(х)) d<p(x)ь=ьJJааа ЛХ) d<p(x) + (З g(x) d<p(x).а16.2. Пусть j(X) Е R<p([a, Ь]), j(X) Е RW([a, Ь]) и а, (З Е IR.
Доказать, чтоj(x)ЕR a <p+f3w([a, Ь])и чтоьJf(x) d(a<p(x) + (Зф(х))ь=ьJJааа ЛХ) d<p(x) + (З ЛХ) dф(х).а16.3. Пусть j(X) Е R<p([a, Ь]). Доказать, что ер(х) Е Rf([a, Ь]) и чтоьJf(x) d<p(x)ь=ЛЬ)<р(Ь) - Ла)<р(а) -J<р(х) df(x).аа16.4. Пусть ер(х) - неубывающая функция на [а, Ь].
Доказать, чтоконечная функцияпринадлежитj(x)когда существует такое д[а, Ь] с л(Т)<>д существуютитогда и только тогда,о, что для любого разбиения Т отрезка5 T (j; ер)== lim (ST(j;л(Т)--*ОR<p([a, Ь])ер)иST(j; ер)' и- 5 T (j;ер))==о.16.5. Пусть j(x) Е С([а, Ь]) и ер(х) Е V([a, Ь]). Доказать, что j(x) ЕЕR<p ( [а, Ь]).16.6. Пусть ер(х) Е V([a, Ь]), j(x) Е R<p([a, Ь]) и Ij(x)1 ~ С при х ЕЕ [а,Ь].
Доказать, чтоьJf(x) d<p(X)а13п. л. Ульянов и др.:( CVd'( <р).Гл.38616.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса16.7. Пусть ерl(Х) и ер2(Х) иЕf(x) Е R<Pl+<p2([a, Ь]).R<p2([a, Ь]).16.8. Пустьf(x)ЕДоказать,ер(х)R<p([a, Ь])иf(x)неубывающиечтоf(x)ЕнеубывающаяфункцииR<Pl ([а, Ь])функциянаи[а,Ь]f(x)наЕ[а, Ь],~ О на [а, Ь]. Доказать, чтоьf f (Х) d<p (Х) ;?: О.а16.9. Пусть ер(х) ЕR<p([a, Ь])иf(x)~неубывающая функция на [а, Ь],g(x)f(x), g(x)Ена [а, Ь]. Доказать, чтоььf Лх) d<p(X) ;?: f g(x) d<p(X).аа16.10.
Пусть {!n (х) } ~= 1[а, Ь] функций,nf(x)-последовательность непрерывных наЕ С([а, Ь]), ер(х) ЕV([a,Ь]) иfn(x)----+f(x)при----+ 00 равномерно на [а, Ь]. Доказать, чтоььnl~~ f fn(x) d<p(x)=аf Лх) d<p(x).а16.11. Пусть{ ерn (х) }~= 1 последовательность функций изV([a, Ь]) и ер(х) Е V([a, Ь]), f(x) Е С([а, Ь]) и Vi(epn - ер) ----+ О приn----+ 00. Доказать, чтоььnl~~f f(x)d<pn(x)=аf f(x)d<p(x).а16.12. Пусть функция f(x) ограничена на [а, Ь], со == Ilfll oo (см.
задачу 13.5), ер(х) Е V([a, Ь]) и f(x) Е R<p([a, Ь]). Доказать, чтоьJf (Х) d<p( Х):(со vi (<р).а16.13. Пусть D(x) - функция Дирихле на [0,1] (см. решениезадачи 4.24) и ер(х) Ф С на [0,1]. Доказать, что D(x) ~ R<p([O, 1]).16.14. Построить такие функции f(x) и ер(х) на [0,1], что f(x) ЕЕR<p([O, 1]),но обе функцииf(x)и ер(х) неограничены на[0,1].Гл.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса16.38716.15. Пусть ср(х) - конечная функция на [а, Ь] и j(x) Е R<p([a, Ь]).Доказать, что существуют такие С< хl < ...
< х n -l < Х N ==г== {i:Ь}>Оир> О, что если Тразбиение [а, Ь] с л(Т)-=={а==ха<< р,ср(х) непостоянна на [Xi-l,Хi]}иU[Xi-l,Хi],J==iErтоIj(x)1~ С при х Е J.16.16. Пусть j(x) Е R<p([a, Ь]), с Е [а, Ь] и ср(х) разрывна в точке с.Доказать, чтонепрерывна в точке с.j(x)<с<16.17. Пусть ана [а, Ь] функцияjЬ и ср(х)== Х[с,Ь] (х). Доказать, что конечнаяj(x) принадлежит R<p(X) тогда и только тогда, когда(х) непрерывна в точке с и в случае интегрируемостиьf f(x) d<p(X)=f( с).а16.18. Пусть {Xk}~=1 - последовательность точек из [а, Ь],00определены функции00CPk(X) == X(Xk,b](X)и Фk(Х)== X[Xk,b](X)для k Е Nи задана функция скачков00ср(Х)==L(akCPk(X) + ЬkФk(Х)).k=1Пустьj(x) -приЕ N.
Доказать, чтоkограниченная функция на [а, Ь], непрерывная в точкахj(x)ЕьR<p([a, Ь])Xkи что00f f(x) d<p(x) L=f(Xk)(ak + bk)'k=1а16.19. Пусть j(X) Е С([а, Ь]), СРl (Х) и СР2(Х) - функции ограниченной вариации на [а, Ь], множество А == {Х Е [а, Ь]: СРl(Х)более чем счётно и А с (а, Ь). Доказать, чтоььf f(x) d<p! (Х) f Лх) d<P2(X)'=а13*а-1-СР2(Х)} неГл.38816.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса16.20. Пусть ер(х) Е V([a, Ь]) и ф(х) == Vax (ер) на [а, Ь]. Доказать, чтоконечная на [а, Ь] функциятогда, когдаf(x)R?jJ([a, Ь]).ер(х) Е V([a,принадлежитR<p([a, Ь])тогда и толькоЕf(x)16.21.
ПустьЬ]) иьJЛХ) dcp(x)=Оадля любой функцииf(x)Е С([а, Ь]). Доказать, что ер(х)==ер(а) всюдуна [а, Ь], кроме, быть может, не более чем счётного множества.16.22. Построить три функции f(x), ер(х) и ф(х) на [0,1], длякоторых ер(х)ноf (х)Е==ф(х) при хR<p ( [О, 1]) \ R?jJ ( [О,-1- Уа,1]).где Уа Е [О,1] -некоторая точка,16.23. Построить такие функции f(x) Е С([О, 1]) и ер(х), ф(х) изV([O, 1]) на [0,1], что ер(х) == ф(х) при х -1- 1, но11ааJЛХ) dcp(x) -1- JЛХ) dф(х).16.24.
Пусть f(x) Е R<p([a, Ь]) и аЕR<p([a, с]), f(x)ЕR<p([c, Ь])ь<с<Ь. Доказать, чтоf(x)ЕисЬасJf(x) dcp(x) JЛХ) dcp(x) + Jf(x) dcp(x).=а16.25. Построить такие функцииЕV([-l, 1]),чтоf(X)X[a,l](X) ~f(x)R<p([-l, 1]).Е С([-l,1])иер(х) Е16.26. Построить ограниченную функцию f(x) на [-1,1] и функциюЕер(х) ЕR<p ( [О,V([-l, 1]), для которых f(x)1]), н о f (х) ~ R<p ( [- 1, 1])ЕR<p([-l,O])иf(x)Е16.27.
Построить конечную функцию f(x) на [-1,1] и непрерывную функцию ер(х) ЕV([-l, 1]), для которых f(x) Е R<p([-l,O])и f (х) Е R<p ( [О, 1]), н о f (х) ~ R<p ( [- 1, 1])16.28. Пусть f(x) - ограниченная функция на [а, Ь], а < с < Ь,функция ер(х) непрерывна в точке с, функция f(x) из R<p([a, с]) и в тоже время из R<p([c, Ь]). Доказать, что f(x) Е R<p([a, Ь]).16.29.Пустьер(х) Е А== {g(x)ЕV([a,b]): g(x -О)== g(x)на (а,Ь)}Гл.и В== {f(x)16.Интеграл Рuмана-СтuлтьесаЕ С([а, Ь]):Ilfll c389~ 1}.
Доказать, чтоЬJf(x) dep(x) == V;( ер).L == supf(X)EB16.30.ПустьаЕ С([а, Ь]). Доказать, что (см. задачу 16.29)f(x)ЬJ =sup<р(Х)ЕА: V:(<p)~l16.31.Jf(x) d<p(x)Ilfll c ·аПервая теорема Хелли. Пустьпоследовательность функций из=V([a,f(x)Ь]),Е С([а, Ь]), а {ерn(х)}==lim epk(X)-ер(х) для всехk-HX)х Е [а, Ь] и существует такая постоянная Свсехk.Ьа16.32.Пусть а> О,аер(х)f (х) ==Доказать, что16.33.f(x)ЕПусть а Е==ха на [О, 1], (з Е IR и{хО, ,fЗеСЛИХЕ(О,l],если х==о.R<p([O, 1]) тогда и только тогда, когда (З ~ о.IR,{Хо,а, если х Е (0,1], и <р(х) = {соО, s~,если хНайти все такие а, что16.34.==f(x)если хЕВторая теорема о среднем.Jf(x)ПустьЕ~ g(a)R([a, Ь]).sup Jf(X)dX,аневозрастающая функция на [а, Ь];Ь2)Jаg(x) -f(X)9(X)dXо.~ g(b)Ьsup Jf(X)dX,СЕ[а,Ь]Снеубывающая функция на [а, Ь].монотоннаяДоказать, что:СЕ[а,Ь]аg(x) -g(x) -Сf(X)9(X)dX==R<p([O, 1]).Ь1)еСЛИХЕ(О,l],О,неотрицательная функция на [а, Ь] иеслиvi(epk) ~ С приJf (х ) dep k(х) == Jf (х) dep (х ).limk-HX)еслиО, чтоДоказать, что существуетЬf(x) ==>Гл.39016.Интеграл Рuмана-Стuлтьеса16.35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
