1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Теорема. Пусть й'!, ..., я„: К' — эРс непрерывно дифферениируемы в а и Т': К вЂ” «Рс непрерывно дифференцируема в (г.'г(а),.... й', (а)). Определим с: гс" — «К равенспгвом Р(х)=У(дг(х), ..., д (х)). Тогда Рг! (а) = „~', РтУ(рг(а), ..., й',„(а))Рга (а). / ! доказательство. Функция р есть просто композиция г'од, где д=(дг, ..., д,„), Так как функции я'! непрерывно дифференцируемы в а, то из теоремы 2.8 следует, что е' дифференцируема в а, Аналогично Т дифференцируема в (йс(а), ..., ц (а)). Следовательно, в силу теоремы 2.2 Тл(а)=~'(д(а)) я'(а)= 2. дифференцирование Тогда В,Ь(х, у)=Ь'(х). ВзЬ(х, у)=0, В,Ь (х, у) = О, Втй (х у) = Ь (у) и Р(х, у) =У(х (х, у), Ь(х, у), Ь(х, у)).
Положив а=(д'(х, у), Ь(х), Ь(у)), получаем В,Г(х. у)=0тД(а) 0,2(х, у)+Вз((а) ° Ь'(х), Втт-(х, у) =ВД(а) ° Вд(х, у)+Взт'(а) Ь'(у). Разумеется, нет необходимости действительно выписынать функции Ь н Ь. Задачи 2.28, Найти выражения для частных производных следующих функций: а) е (Х, у) =У(2(Х) Л(у), Л(Х)+ Ь(у) ), б) Р(х, у, «) = У(л(х-(-у), Ь (х+«) ), в) р (», у, «) = у(»т, т, «), г) г(х,у) =У(х, л(х), Ь(х, у)). 2.29.
Пусть В йи-ай. Предел 1 (а + тх) — у (а) е-ье если ои существует, обозначается В У(а) и называется ароиз- водной функции У в точке а ио иаараелеиию х. а) Показать, что Ве,.У (а) = В!у (а) б) Показать, что Ве у(а) = !В»У (а) в) Показать, что если У днфференцируема а а, то В»У (а) = ВУ (а) (х) и потому В», тУ (а) = В»У (а) + ВтУ (а). 2,30, Пусть У определена, как в задаче 2.4. Показать, что В У (О, 0) существует для всех х, однако если л + О, то В»чтУ(0 О) чь В»У(0.
О)+Вел(0, 0) для некоторых х и у 23!. Пусть В йе -ь й овределена, как в задаче !.26. Показать, что В /(О, 0) существует для всех х, хотя удаже не непрерывна в (О, 0). 2.32. а) Пусть У: й ь й определена условиями ! х' з)п — при х чь О, у(х) = х 0 при х= О. Показать, что У дифференцируема в О, но /' разрывна в О. 4Ч Обратные ' функции б) Пусть У: йг-ай определена условиями (х'+ у') з1п при (х, ») фО, у(х, у)= р хе+уе 0 пря (х, у) =О. Показать, что У дифференцируема з (О, О), но В1/ разрывны в (О, 0).
233. Показать, что непрерывность В1Ут в а можно исключить из условий теоремы 2.3. 2.34. Функция У: йк-ай называется однородной степени т, если У(тх) =(т У(х) для всех х. Показать, что если при этом У днфференцпруема, то е кг,' х1О11 (х) тУ (х). 1-1 (Указание: найти у'(1), где у(т) У(тх).) 2.35. Доказать, что если У; й" -э й дифференцируеиа н У(0) =О, то существуют такие у11 йк-ай, что у'(х) = ~ х131 (х). 1-1 ОБРАТНЫЕ ФУНКНИИ Предположим, что функция г; й — »й непрерывно дифференцируема на открытом множестве, содержащем а. н г" (а) Ф О.
Если г" (а) > О, то существует такой открытый интервал )~, содержащий а, что У'(х) ь О для всех х Е Ъ", и аналогичное верно, когда у'(а) < О. Таким образом, У' возрастает (или убывает) на )г, а потому взаимно однозначна и имеет обратную функцию 1 *, определенную на некотором открытом интервале В', содержащем у (а). Кроме того, нетрудно показать, что г" дифференцируема и 1 (г' ) (У) = у (у 1 ) для всех у Е )с'. Аналогичные рассмотрения для высших размерностей значительно сложнее, но результат (теорема 2.11) весьма важен. Мы начнем с простой леммы. 48 2. Дифференцирование 2.(О.
Л е им а. Пусть А~Кч — параллелепипед и )' ! А — «К" непрерывно дифференцируема. Если существует такое число М, что ( 0;Тг(х) ! ( М для всех х внутри А, то ~ г (х) — /(у) ~ ( пгМ ~ х — у ) для всех х, у Е А. Доказательство. Имеем л ег(у) р (х) ~~ ! гг(у! уУ ха«! хл) ) 1 гг(у! у)-! х/ хе)! Применяя теорему о среднем, получаем уг(у! ! х!е! .и) у!(у! уг-! ! .е) = / У~ — х~ ! ° Е);Г (ею) с некоторым е, . Выражение в правой части не прево- сходит М/ у~ — хг/, Следовательно, и ! у!(у) — ~'(х) ! ( „гг ! у~ — х~ ! М -( пМ ! у — х ), ! ! поскольку )у~ — х~! ((у — х( для каждого Г'.
Наконец, л ( Т (у) — )г (х) ) ( ~ ) ~ (у) — у'(х) ! ( пгМ ° ) у — х (. ° г-! 2.(!. Теорема об обратной функции. Предположим, что г": К" — «К" непрерывно дифференцируемо в некотором открытом множестве, содержащем а, и де(/'(а) чь О. Тогда существуют открытое множество )г, содержащее а, и открытое множество )ьт, содержащее г(а), такие, что отображение г": (г-«Ф' имеет непрерывное обратное отображение г" '. ))т — «(г, дифференлируемое и для всех у~'йг удовлетворяющее соотношению (Т-')'(у) = ~уЪ '(у))Г' Доказательство. Пусть ). — линейное отображение Ег~'(а).
Оно невырожденно. поскольку бе!.г'(а) + О, Обратные 4ункции . Но )т (Л ' 0 у) (а) = с)(Л ) ()' (а) ) е Ву (а) = Л о 1) г (а) есть тождественное линейное отображение. Если теорема верна для Л е г", то она очевидно верна и для г'. Поэтому мы можем считать с самого начала, что л — тождественное отображение.
Если тогда У(а+тт)= т'(а), то / У (а+ Л) — У (а) — Л (Ь) ~ ~ Л ! ~л~ Но Ищ ~=0 л.+а ~л~ Это означает, что равенство у(х) =у(а) не может выполняться для значений х, произвольно блиакнх к а, не равных а, Поэтому существует замкнутый параллелепипед У, содержащий а в качестве внутренней точки и такой, что у"(х) чь т'(а), если х ~У н х + а (1) Поскольку у непрерывно дифференцируема в открытом множестве, содержащем а, можно также считать, что бе1У'(х)чьО для всех хЕУ (2) и ~ 1))у'(х) — 0;у'(а) ! < —, для всех 1, у' и х~ у. (3) Заметим, что из (3) н леммы 2.10, примененной к К(х)=т'(х) — х, вытекает, что 1 ~у'(х~) — х| — у(хя) — х,) (~( — ~ х,— х, ~ лля любых х,, ля~У.
Так как / х,— хя/ — / у(х,) — у(хя) /«( 1 .4 ! / (х,) — х, — (~ (хя) — хя) ~ ~( — ~ х, — хя ~, то получаем )х,— ха~~(2~/(х,) — т(х,)( для всех х,, ха~У. (4) Далее, т отображает границу параллелепипеда У в компактное множество, не содержащее, согласно (1), Г (а) (рис. 2.3). Поэтому существует такое число й ) О, что 2. 22иффереицироаание )ге(а) -- Г(х)!.г-г( лля всех х, принадлежацгил границе Р Пусть Ю=-!у:(у — -у'(а)(<г(/2). Если у~'яг и х приналлежит границе (г', то ~ у —.г (и) ~ (! у †.г (х) ~ (5) Покажем, что лля всякого у ~ 1У суп~ествует единственное х внутри (l, для которого у(х) =у.
Лля этого рассмотрим функцию м: (/ — ь)с. определенную равенством К(х)=~у — у(х)р= ег(у — Х (х))т. 1-1 Эта функция непрерывна и потому имеет минимум на (Г. Если х принадлежит границе С7, то и (а) < и (х) в силу (5), Гррен Р н с. 2.3.
Следовательно, минимум д не достигается на границе (г'. Согласно теореме 2.б, иногда существует закая зочка х внутри (г', что Ртн(х) =:0 для всех ~, т. е. а ~, 2(у' — 2'(х))Рт~'(х).=О для зсек Р ь 1 Но в силу (2) матрица (Рт„р'(х) ) ииеет ненулевой опрелелитель. Поэтому мы должны иметь у~ — г~(х)==О для всех е, т.
е, у=-у(х). Теы самым доказано существование х. Единственность непосредственно следует из (4). Обозначим через 1г пересечение вн)трепности (I с у '(В'). Мы показали, что функция у; У -» Ф' имеет Обратные функции обратную г' ': 'йт — ь ('. Теперь (4) можно переписать в виде У '(у,) — )' '(уа)!~(2!у,— уэ! для всех ун у,~(г'.
(б) Это показывает, что / ~ непрерывна. Осталось только доказать, что 1 ~ дифференцируема. Пусть (с=йг'(х). Покажем, что г дифференцируема в точке у=Г'(х) и имеет в качестве производной р-', Как и в доказательстве теоремы 2.2, для всех х, ~(" имеем ( (х,) =)'(х)+)ь(х, — х)+<р(х, — х), где Г 1р( 3 х)1 — О 1'пп = О. Поэтому 1а '(((х,) — г'(х)) =х,— х+и '(ф(х, — х)). Так как каждое у,~Ю' имеет вид у(х,), где х,~К. то последнее равенство можно переписать так: У (У,)=У (У)+1 (У,— У) — 1 (ф(У (У) — У Ы)) и потому достаточно показать, что !»-'Ь(у '(у) — у-'(у)))! 1у — у1 Следовательно (задача 1.10), достаточно убедиться в том, что !'пп (~ ~ (У') ~ (У) ! =О. „',г 1у~ — у! Но ц(У '(у ) —.У '(у)) ! !ц(р '(у) — у '(у))! !у '(у) — у '(у)! ! Х ' (у ) — У ' (у) ! ! у — у1 Поскольку У ' непрерывна, У (у~) — «У (У) прн У~ 'у.
Поэтому первый множитель стремится к нулю. А так как Я. Дифферениироеание в силу (6) второй множитель не превосходит 2, то произ. ведение также стремится к О. $ Следует заметить, что обратная функция г ' может существовать даже если бе1 ~' (а) = О. Например, если ./". й-»й определяется равенством г (х)= — хз, то у'(0) =О, 3,— но / имеет обратную функцию у (х) = )' х. Все же одно можно сказать определенно; если де1)'(а) =О, то У не может быть дифференцируеиа в у'(а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
