1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Чтобы доказать это, заметим, что (г»)' )(х)=х. Если бы )' была дифференцируема в у (а), то правило дифференцирования сложных функций дало бы у' (а) ° ()' ) (у"(а))=г' и, следовательно, бе1У' (а) ° бе((У ') (у(а))=1, в противоречии с теи, что бе1У'(а) =О. Задачи 2.36 ч.
Пусть А ~: й" — открытое множество и У; А-ьй"— такая взаимно однозначгмя функция, что бегу'(х) чьо для всех х. Показать, что у(А) — открытое множество и г' ', у(А)ьА дифференцнруема. Показать также, что У(В) открыло для всякого открытого множества В г: А.
2.37. а) Пусть У: й'-»й — непрерывно дифференцируемая функция. Показать, что У не взаимно однозначна. (У к а ванне; если, например, 1»,У (х, у) + О для всех (х, у) нз некоторого открытого множества А, рассмотреть функцию р: А -» й', определяемую равенством л (х, у) = (у(х, у), у).) б) Обобщить этот результат на случай непрерывно дифференцнруемых у; й" — ьйн» с нг ( л. 2.38.
а) Пусть У: й » й такова, что У' (а)+О для всех а ~й, Показать, что / взаимно однозначна (на всем й). б) Определим у: й'-»й', положив у(х, у) = (е соку, ехмпу). Показать, что у не взаимно однозначна, хотя йе1у'(х, у) чьО для всех (х, у), 2.39, Используя функцию У: й-»й, определенную условнямн 1 х 1 — + хг51п — при х +О, у(х)= 2 х О прн х=о, показать, что непрерывность производной нельзя исключить из предположений теореиы 2.11. ба Неявные функции НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ Рассмотрим функцию у: Нз — ьй, определенную равенством у(х, у)=ха+уз — 1.
Если точка (а, Ь) выбрана так, что г(а, Ь)=О, причем а+1, — 1, то (рис. 2.4) Р и с. 2.4. существуют такие открытые интервалы.А и В, содержа. шие соответственно а н Ь, что для всякого х~А сушествует единственное у~В, для которого у(х, у)=0. Поэтому можно определить функцию л: А — ьН условиями Н(х)~В и /(х, Н(х))=0 (если Ь) О, как изображено на рис. 2.4, то л'(х)= у'1 — хт). Для рассматриваемой нами функции у имеется еще одно число Ь,, прн котором у(а, Ь,)=0. И адесь существует такой интервал Во содержащий Ь,, что если х ~ А, то 2 (х, д',(х)) = 0 для однозначно определенного н,(х) ~ В, (здесь н,(х)= — у'! — хз), Обе функции а" и ае, дифференцируемы, Их называют неявными функциями, определеннымн уравнением у (х, у) = О.
При а = ! или — 1 невозможно найти ни одной такой функции и, определенной в открытом интервале, содер- 2. Дифференцирование жашем а. Было бы желательно иметь простой критерий, позволяющий решать, когда вообще можно найти такую функцию. Более общим образом можно поставить вопрос так: пусть /: К' Х К-ьК, причем г'(а', ..., а", Ь)=0; когда для каждого (х', ..., х") вблизи (а', ..., а") можно найти единственное у вблизи Ь.
для которого бы Т'(х', ..., х", у)= О? Еше более общим образом можно задаться вопросом об условиях разрешимости системы урзвнений, зависящих ог параметров х', ..., х', относительно т неизвестных: пусть Л: К" ХК -+К 1=1 т. причем Т,(а', ..., а", Ьг, ..., Ь")=О, 1=1, ... т; когда для каждого (х', ..., х") вблизи (а', ..., а") можно найти единственное (у', ..., у ) вблизи (Ь', ... Ь ), удовлетворяющее уравнениям Л(х', ..., х", у'...
„у~)=0, 1=1, ..., т? Ответ дает следующан теорема. 2.12. Т е о р е и а о н е я в н о й фу н к ц и и. Предположим, что Т: К" Х К~-+К" непрерывно дифференцируема в некотором отнрытом множестве, содержащем (а, Ь), и Т" (а, Ь) = О, Пусть И есть (т Х т)-матрица (П„+Гуг(а)), 1 (1, ( (т. Тогда если йе1 ~И+ О, то существуют отнрытое множество Аг=К", содержащее а, и открытое множество В~К"', содержащее Ь, со следующии свойством: для всякого х~ А имеется единственное й(х)~В, для которого Т(х, д (х)) = О.
При зтом функция д: А- В дифференцируема. Доказательство. Определим Р: К"ХК~-+К'ХК~ равенством Р(х, у)=(х, Т(х, у)). Тогда ое1Р'(а, Ь)= =бе1М~О. В силу теоремы 2.11, существуют открытое множество В'~К" Х К~, содержащее точку Р (а, Ь) = =(а, 0), и содержащее точку (а, Ь) откргатое множество в К'ХК, которое можно считать имеющим вид АХВ, так что функция Р: А Х В вЂ” ь В' имеет дифференцируемую обратную Ь: %'-ь А Х В. Очевидно, Л имеет вид Ь (х, у)= Неявные функции = (х, )г(х, у)), где й — некоторая дифференцируемая функция (поскольку Р— функция такого вида).
Пусть н: К" )С К~ -ь К~ — функция, определенная равенством н(х, у)=у, Тогда поР=/. Поэтому /(х, й(х, у))= /ьд(х, у)= =(пь р) о/г(х, у)=по(ра/г)(х, у)=и(х, у)=у. Таким образом, /(х, /г(х, 0))=0, т. е, можно положить и(х)= й(х, 0). ° Зная, что функция я'дифференцируема, легко найти ее производную. Действительно, так как /~(е, е (х) ) = О, то, применяя О/ к обеим частям этого равенства, получаем О = О//'(х, и (х))+ ~ 0н„е/'(х, Д'(х)) 01Д'(х), а-! 0 /=1...,, т, Поскольку де1 М+О, эта система уравнений относительно 0гди(х) разрешима.
Ответ будет зависеть от значений О//'(х, и(х)), а поэтому и от и'(х). Но это неизбежно, ибо функция д, вообще говоря, не единственна. Рассматривая функцию /ь Ка — ь К определяемую равенством /(х, у) = ха+ у — 1, мы уже заметили, что уравне. нию у'(х, д(х)) = 0 удовлетворяют две функции: я(х)= = 1/1 — хг и я (х) = — 1/1 — хг.
Дифференцирование уравнения / (х, д (х)) = 0 дает здесь 0ь1 (х, й(х))+О/(х, д(х)) ° д'(х)=0, или 2х+ 2д'(х) р'(х) =. О, т. е. у'(х) = — х(у(х), а этому условию удовлетворяет и д (х) =. 1/1 — хг и и(х) = — 1/1 — хг. Несколько обобщив метод доказательства теоремы 2.12, мы получим результат, который будет иметь важное значение в гл. 5. 2.13. Теорема, Пусть /: К' — >Кв, р~(и„неирерывно дифференцируема на открытом множестве, содержащем точку а. Если /(а) 0 и (и )< р)-матрица (0ф(а)) имеет ранг р, то существуют открытое множество А<=К' и дифференцируемая функция 2.
Лифференцироеиние й: А -+ К", имеюи(ан дифференцируемую обратную, такие. нто У Ь(х', ..., х")=(х"-"+'... „х"), Докавательство. Мы можем рассматривать у как функцию нз К" Р К К» в КР. Пусть М есть (р Х р)-матрица (1), р+ьУ~(а)), 1 (П 1' 4 р. Если бе1 М+О, то мы находимся точно в ситуации, рассмотренной прн доказательстве теоремы 2.12, а там было показано, что сушествует такая функция и, что уьй(х'...,, Х")=(Хн рь'.....
х"), В общем же случае, поскольку (О,У)(а)) имеет ранг р, найдутся такие индексы 1, ( .. С )р, что матрица (ОьУ1(а) ), 1 ~(/ ~( р, 1= (п ..., (р, имеет ненулевой определитель. Пусть д' й" -ь К" — функция, переставляющая переменные х' так, что К(х,..., х)=(..., х1,..., хе). Тогда Г' ° д есть функция рассмотренного уже типа, так что ((/ ~ а) о й)(х', ..., х") =(х" р+', ..., х") при некоторой й. Искомой функцией будет а= д о й. ° Задачи 2АО.
Решить задачу (2.15), используя теорему о неявной функции. 2А1. Пусть У. й Кй -эй. Определим дла каждого х~й. функцию и„: й-ьй равенством ие(у)=у(х, у). Пусть пря любом х существует единственное у = е (х), для которого л„'(у) =О. а) Показать, что если 1)ь.У(х, у)ФО для всех (х, у), то с днффереицируема и 1ую, У (х, е (х) ) )Уь еУ (х, е (х) ) ' (Указание: равенство и„(у)=0 можно переписать в форме ,О,у(х, у) =О.) По заводу обозначений б) Показать, что если с' (х) = О, то существует у, для которого Оь,~(х, у)=0, О,у(х, у) =О. в) Пусть у(х, у) =х(у (ну — у) — у (их, Найти щах ( щ!и у(х, ууь нзжх<з ыгажуж1 ПО ПОВОДУ ОБОЗНАЧЕНИЙ Этот параграф содержит краткое и не вполне беспристрастное обсуждение классических обозначений, связанных с частными производными.
Приверженцы классических обозначений записывают частную производную 0 г (х, у, г) в виде дх дх — (х, у, г) или — г(х. у, г) дУ д дх дх или при помощи каких-либо других подходящих аналогичных символов, Такой способ записи ведет к тому, чта вместо г),Д(и, о, тв) пишут — (и, о, тв), дУ ди хотя могут (а для выражений типа )2,у'(7, 3, 2) должны) использоваться символы вроде ~Ы у Ю гн т ао Аналогичные обозначения используются для Эту и Вз~.
Производные высших порядков обозначаются символами типа .() Вьг" (х, у, «)= д2У(х, у, х) ду дх Для у: К-ьК символ д автоматически заме;жется первоампх дм начальным д, так что пиш)т дх а не —. Уже дх формулировка теоремы 2.2 потребовала бы в классической записи введения лишних букв. 2. Дифференцирование Обычная запись вычисления /), (/ о (у, й) ) такова; если у (и, о) — некоторая функция и и = й'(х, у), и=Ь(х, у), то ду(Л(х, у), Л(х, у)) ду(и, о) ди ду(и, о) дп дх ди дх до дх ' [Символ ди/дх означает (д/дх) д'(х, у), а (д/ди)у'(и, о) означает О,/ (и,о)=й,у (й'(х, у), й (х, у)),] Это равенство часто записывают просто в виде дУ дУ ди дУ дп дх ди дх ' до дх ' хотя / имеет в разных частях равенства неодинаковый смысл! Обовначение пу/дх, всегда представлявшееся преувеличенно соблазнительным, породило многие (обычно бессмысленные) определения для йг и Фх самих по себе, единственной целью которых бьио придать смысл равенству Для г: Кз-эК, например, гг,г определлеглся в классических курсах формулой г(у = — ггх+ — ду дУ дУ дх ду (что бы ни означали Ых и ггу).
Глава 4 содержит строгге определения, лающие возможность доказать вышеприведенные равенства. Действительно ли зти новые определения лучше классических— вопрос деликатный: пусть читатель судит о нем сам. Интегрирование ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Определение интеграла функции г: А-эй, где А~[["— замкнутый параллелепипед в К", столь похоже на определение интеграла функций одной переменной, что мы ограничимся лишь беглыми замечаниями. Напомним, что разбиением Р замкнутого интервала ]а, Ь] называется последовательность ге, ..., га, где а=1е (е,-(....(ге=Ь. Разбиение Р делит интервал [а, Ь] на Й интервалов [(,, ~„]. Разбиение параллелепипеда [ан Ь,] Х ...
Х [а„, Ь„] определяется как семейство Р=(Рн ..., Р„), где каждое Р, есть разбиение интервала [ан Ь,.]. Предположим, например, что Р=ее, ..., (ь — разбиение [а„Ь,] и Р,=за, ..., з,— разбиение [ам Ь,]. Тогда разбиение Р=(Рн Рт) замкнутого прямоугольника [ан Ь,] Х [ам Ьа] делит его на Ь прямоугольников [г,, г;]Х[е~ и з)]. -Вообше, если Р,. делит [ао Ь,] на Дг, интервалов, то Р=(Рп ..., Р„) делит [а,, Ь,]Х ... Х [а„, Ь„] на Х = М, ° ... ° М„ параллелепипедов. Мы будем называть их параллелепипедами разбиения Р.
Предположим теперь, что А †параллелепип, Р†е разбиение н /: А -з.[[ — ограняченная функция. Для каждого параллелепипеда 8 разбиения Р положим лгз(г) = 3п[ [,г" (х): х ~ 5], Мз(у) = зпр [у(х): хая. п пусть о (Б) — объем 5 [за объем параллелепипеда [ап Ь,] Х ... Х [аьл Ь„] равно как и параллелепипеда (а1 Ь,) Х... Х (а„,' Ьл), по определению принимается 60 8. Интегрирование произведение (д, — а,) Х ... )с', (да — а„)). Нижняя и верх- ння суммы у" для Р определяются формулами') й ( У, Р) = ~ т Ц) о (5) и () ( Т, Р) = ~ч'"„М (У) о (5).
Очевидно, что г'.(), Р)((г'(г", Р); верно даже более сильное утверждение (3.2). 3.1, Лемы а. Предположим, что разбиение Р' есть продолжение разбиения Р (т. е. каждый параллелепипед разбиения Р' содержится в некотором параллелепипеде разбиения Р). Тогда (.()', Р) ( (.(у, Р') и 0 (у, Р') ( ()(/, Р). Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждый параллелепипед 5 разбиения Р распадается на несколько параллелепипедов 5,...,, 5, разбиения Р', так что о(5) = о(5,)+ ... ... +о(5„). Но тз(г) <тз,(у), поскольку среди значений у(х) для х~5 содержатся все значения Т(х) для хЕ5, (и, возможно, также меньшие значения). Поэтому тз Ч) о(5) = тз(У) о(5,)+ + тз(Ио(5.) -~ --.т (Т)о(5,)+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
