1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 12
Текст из файла (страница 12)
На У можно положить Ф (х) ф()+ "+ф,()' Пусть У: У-ь(О, 1( — произвольная функция класса С ') Символ !и! О означает внутренность ($п!ег!ог) множества сг. — Прил. лерга. Разбиение единицы 81 равная 1 на А и 0 вне некоторого замкнутого множества в У. Тогда Ф=)г ° фп ..., у ° ф„) будет искомым раз- биением единицы, Случай 2. А =А, 1) А,Ц А,..., где каждое А, ком- пактно и А, ~ ! и! А,~ !.
Пусть 6, для кзждого ! состоит из всех множеств вида СУП(!в!А,+, ~ А! г). где У пробегает 6. Тогда 6, будет открытым покрытием компактного множества В, =— = А! чч !и! А,, Согласно слУчаю 1, сУгцествУет Разбие- ние единицы Ф, для Во подчиненное 6Р Для всякого х~ А существует такое открь!тое множество У~х, что для любых у ~ С! все члены суммы а(у) = ~~ ф(у), ЧЕВ, ччч! кроме конечного их числа, равны нулю. Это выте- кает из того, что если у~АР то ф(у)=0 для всех фЕФ, с у)~!+2, Для каждой функции фц ЦФ! по- ! 1 ложим ф' (х) = !р (х)/а (х).
Семейство всех <р' будет искомым разбиением единицы. Случай 3. А — открытое множество. Полагая А! — — ~ х Е А: ( х) < ! и расстояние от х 1 ! до границы А ' ' —. 1, приходим к предыдущему случаю. Случай 4. А — произвольное множество. Пусть  — объединение всех Сг из 6. Согласно случаю 3. существует разбиение единицы для В; оно является также разбиением единицы для А, ° Следует отметить важное следствие условия (2) теоремы. Пусть множество С~А компактно. Для всякого хцС существует открытое множество 1г„, содержащее х и такое, что только конечное число функций !р Е Ф не равно тождественно нулю на $г„.
Так как С компактно, то конечное число таких )гв покрывает С. Таким абразом, только конечное число функций ф ц Ф не равно тождественно нулю на С. 82 В, Интегрирование Приведем важное приложение рззбнений единицы, иллюстрирующее их главную роль — склеивать результаты.
полученные локально. Мы уже видели, что ( у может не А существовать, даже если А — ограничезпое открытое множество и множество точек разрыва у' имеет меру О. Но любое открытое множество А во всяком случае обладает таким открытым покрытием 6, что все У из 6 солержатся в А и каждое (У~6 измеримо по Жордану (так. например, А есть объединение открытых параллелепипедов). Если 6 — такое покрытие и Ф вЂ” подчиненное ему разбиение единицы аля А, то ц(Г' ннтегрируемо лля каждого гр ~ Ф. Опрелеляем тогда ~ у' как «~ ~ гр у в предполо- А ЧЕЧ' А жепни, что эта сумма сходится (она может сходиться, лаже если А и у" неограниченны). Эта сумма эквивалентна сумме обычного бесконечного ряда.
Мы уже заметили (при рассмотрении случая 3 в доказательстве теоремы 3.11), что открытое множество А есть объединение последовательности компактных множеств. Так как на каждом из этих компактных множеств отлично от тождественного нуля только конечное число функций ф ~ Ф, то ненулевые интегралы ~ ц(У могут быть занумерованы в послелоза- А тельность.
Поскольку, однако, невозможно отлать предпочтение ни одному иа таких способов нумерзции, под сходимостью следует понимать сходимость при любом упорядочении, т. е. абсолютную. 3.12. Т е о р е и а. 1) Если А — ограниченное многкетнво, у: А -+ й— ограниченная функция и множество ее точек разрыва имеет меру О, то ряд сходится. вз Разбиение единицьч 2) Если Еб — другое покрытие указанного типа и чР— подчиненное ему разбиение единицы, то Феч'л 'е ч Ф 3) Если А измери.ко по Жердину и у: А — ьй интегрируема, то зто определение ~ у согласуется со ста- А ры н. Локазательство.
1) Пусть А содержится в аамкнутом параллелепипеде В и ) у 1х)! ( гг1 для всех х ~ А. Тогла ~ ! гру" !.( Лб ) ф. Поэтому для всякого коне шого семейства Е ~ Ф ~фу: ('~ м ~ р=м ~ '~'ф, чзн1л Фгн л л Фзн Заметим, что правая часть имеет смысл, поскольку Е конечно. Но на В иы имеем у ф.( ~ ф (1.
Поэтому гзп чей )г/!<н (Вр т бз чае А 1 ч чФ!л довательно, и ~„ ~ фг' сходятся, зги л 2) Если Ч' — еше одно разбиение единицы, то функции фф со всевозможными фцФ и фц Ч' образуют разбиение единицы. Но ф ° г'=О всюду, кроме некоторого компактного множества С, и сушествует только конечное число функций ф Е Ч', не равных тождественно нулю па С. Поэтому мы вправе написать, что Фе'в л Фбч' Феф л Фч Ч' и на том же основании последнее выражение равно ,'у ~ф.у а. Интегрирование 3) Для каждого с) О существует (задача 3.22) такое компактное измеримое по Жордану множество С <= А, что 1 < е.
Существует только конечное число функций Аче ф ~<1), не равных тождественно нулю на С, Для любого включающего их конечного семейства Е «= е) имеем <у —. ~;(еу!«! у — ~еу!«и) О ае)- А Ч<РА ! А Чтя ! А <е Е<«н =М1 Х ф<М 1 1<М' А осто Г. А,С Таким образом, р ~ фу = ) у. ° ЧОФ А А Задачи 3.37. Пусть У: (О, 1)-»й — неотрицательная вепрерывная функция. Показать, что ~ у" существует тогда и только тогда, <о,ц 1-е когда существует !!т ( у.
е-»о г е ЗЛО. Пусть Ае = (1 — 1<2", 1 — !/2" '!. Предположим, что У: (О, 1)-»й удовлетворяет условию ) У=( — 1)" Н (и=1, <1< '< л,) А„ 2, ...). Показать, что ) У ие существует, но <о, ц !!щ ~ У=!п2. е.» о <е, 1-е) ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ Если а" (а, Ь! -+ К вЂ” непрерывно дифференцнруемая функция и у: К-»К непрерывна, то, как хорошо известно, а<м ь (у о и) ° ст, а<а) а Замена переменкой Доказательство весьма несложно: если Р' =-у", то (Р о й)' = = (г" ° я) я', таким образом, слева стоит Р(ц (д))— — Р(ц(и)), а справа Р ° й'(д) — Рад(а) = Р(й(Ь))— — Р(К(и))'.
Предоставляем читателю показать, что если й взаимно однозначно, то рассмотренную формулу можно переписать в виде ) /'= ~ (ад'.(я' ), вка,м) (а,в~ (рассмотреть отдельно случаи, когда й возрастает и когда а убывает.) Обобщение этой формулы на высшие размерности отнюдь не тривиально. 3.13. Т е о р е м а, Пусть А с- Я" — открытое множество и й' А — ьК" — такая взаимно однозначная непрерывно диффервнцируемая функция, что бе1я'(х) чь О для всех х~ А.
Тогда ~ У = ~ (Г' а д.) ~ дЕ1 и' ( е~я> и для любой интегрируемой функции г': е (А) — ья, Д о к а з а т е л ь с т в о. Начнем с нескольких важных замечаний. (1) Предположим, что А обладает таким открытым покрытием 6, что ~ У = ) (1 ~ д)( бе1 й'~ е(гп и для каждого 0~6 и любой интегрируемой функции г'. Тогда теорема верна для всего А. (Так как д' автоматически взаимно однозначна на некоторой открытой окрестности каждой точки, то не удивительно, что это единственная часть доказательства, испольаующая взаимную однозначность д на всем А.) Доказательство (1).
Семейство всех д(У) образует открытое покрытие й(А). Пусть СР— разбиение единицы, подчиненное этому покрытию. Если ф = О вне д ((/), то, поскольку й взаимно однозначно, (гр~) о й=0 вне У. 3. Интегрирование Поэ)ому равенство ~ срг"= ~ 1(срУ)ед! ( 6е1у'~ можно переписать в виде ~ с)))'= ~ ((ср ° Г) од.]) 6е1у' (.
к сл) Следовательно, ~ рУ=,у,' ~ [(сФ К)(6е)д')= сгов чсе' вся) тс'о в ) (ср б')(У ио)~6е1д'~= ~ Цод)~бе1у'~. 3 а м е ч а н и е. Теорема следует также из предположения, что () г д ) ~ с)е1 ст' ~ Р в-1 бв для всех (т из некоторого покрытия и (А). Это вытекает из утверждения п. (1), примененного к д ', (2) Достаточно доказать теорему для функции ) = 1. Доказательство (2). Если теорема верна для )" = 1, то она верна и для постоянных функций. Пусть )т — параллелепипед в п(А) и Р— его разбиение. Для каждого параллелепипеда 3 этого разбиения обозначим через /а постоянную функцию со значением л)в()").
Тогда Су. ),у, а () — ,'у ~.у— 8 ан в (азад)! 6е1л'! ( в а с С)ас в) ~( лт ~ ()' г и) ( с(е1 ст' ) = ~ (у' г )г) ) 6е(д' ~. а а-'с)асв) а ' ск) Замена переменной 87 Так как ) ) — верхняя грань всех Ь(), Р), то этим локз- У вано, что ~ У~( ~ (Уед),'йе(д'~. Аналогичное рассуе '(о) ждение, в котором уз — — А)з(Т), показывает, что ~ у )~ ) ~ (Уед)!((е(д" /. Справедливость утверждения слез '((') дует теперь нз приведенного выше замечзния. (3) Если теорема верна для л' А-+Кп и й: В-ь)(п, гле а" (А) (= В, то она верна и для )) па' А — ьКп, Доказательство (3). ~ (Г'и Л)( бЕ1 Ь'~ = аег(А) л (а(л)) г (л) — 1 1(У )г) . Л ) ( 1 бе( й' !.
а ! бе( д'1= ~ у и ()) е сг) / ()е1 (й е й')' ~, А (4) Теорема верна для линейного отображения д'. Дока з а тельство (4). В силу (!) и (2) достаточно показать, что ) 1= ~: )бе1д'( е (о) для всякого открытого параллелепипеда У. Но это за- дача 3.35, Сопоставление п. (3) и (4) показывает, что для любого фиксированного а ~ А можно считать д'(а) единичной матрицей. В самом деле, если Т вЂ” линейное отображение Е)д (а), то (Т 'и й) (а) =1, Так как теорема верна для Т, то если она верна для Т егг, онз будет верна для д. Теперь уже все полготовлено лля доказательства теоремы. которое проводится ннлукцисй по л. Замечания, предшество- вавшие формулировке теоремы в соелинении с (1) и (2), доказывают справедливость теоремы для случая а = 1.
88 3. Интегрирование Г!редполагая, что теорема верна для размерности л — 1, докажем, что она справедлива и для размерности и. Нам нужно тольно найти для каждой точки а ~А содержащее ес открытое множество У ~ А, для которого теорема верна. При этом можно считать, что д'(А) =I, Определим Ь: А -+йа, положив Ь(х) =(д'(х), ... ..., Ьа-' (х), х"). Тогда Ь'(а) =!. Следовательно, в некотором отнрытом множестве У', таком, что а~ У е= А, функция Ь взаимно однозначна и де1Ь'(х) чь О. Определим теперь Ь: Ь (У') — » Ка, положив Ь (х) = (х', „х" Ь' (Ь (х))). Тогда и=Ь ° Ь и л представлено в виде композиции двух отображений, каждое из которых иаменяет меньше чем и координат (рис. З.З). Р н с. З.З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
