1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Этим подсказывается следующее определение: и-тензор ю ~ Я ()е) называется антисимметричесним, если ю("! ° ° ° о! ° ° ° о! ° ° оя) = ю ('в!, ° °, ор ° ° °, ое °, ов) дла всех ти ..., ояЕ(е, (В этом Равенстве кй и о; меняются местами, все же остальные о остаются на своем месте.) Множество Л" ((е) всех антисимметрических й-тепзоров является, очевидно, подпространством в Я~(1г). Поскольку составление определителя требует значительной работы, нет ничего удивительного в том, что антисимметрические тензоры трудно выписывать.
Существует, однако, единообразный способ записи каждого из них. Напомним, что подстановке о приписывается знак +1, если она четная, и — 1, если она нечетная; знак этот обозначается символом здп о. Пусть Т~ЯЯ(У). Определим АИ(Т) равенством ') 1 Ъч А И (Т) (о!* ° ° ° ° ов) =,7~ Жп с' Т (ов 1п ° ° ° оа <в!) е а за где 8» — множество всевозиожных подстановок чисел 1,2,..., и. 4.3. Т е о р е м а. 1) Если ТЕЯ~(У), то АИ(Т) ЕЛ ((е). 2) Если ю~Л ((е), то АИ(ю)=ю. 3) АИ(АИ(Т)) =АИ(Т). а) АП вЂ” сокращение от а!!егпаиоп (чередование). — Прим, ежрев. Е.
Иягегрираелние ла целях )» о к а з а т е л ь с т з о. (1) Пусть (г', у) — подстановка, меняющая местами числа г' и у и оставляющая все осталь- ные на месте. Пусть о~5». Положим и' =и ° (Е )). Тогда А11(У)(оп ..., ор .., оп .., о»)= 1 чст = — д Зйн ПТ(пан! ° ° ° 'Па ОП ° ° ° Пан> ° ° ° Оа Ю) = аьз» 1 кч т Зьн ОТ (О ' Ш Па' Н>, Оа' О>, Оа' ~»1) »! »гЗ а 65» — ~ — ЗИП О Т(па ПЬ ..., Оа,»1)= а' с- 3» — — АМ(Т) (он ..., о ). (2) Если в ЕЛ" ()г) и о=(А У), то в(пайп ..., о„ю)= = — здпо в(пп ..., е»), Так как всякая подстановка есть произведение подстановок вила (д у), то это равенство верно для всех о.
Поэтому 1 %т АИ(в)(о,, о») = —, г здпо ° в(о,пь ..., о„»1)= аал» 1 жч = — лт зип и зяп и ° в(оп ..., о») = в (оо ..., о»). а'3» (3) Непосредственно следует из (1) и (2). ° Для нахождения размерности Л»(1г) была бы жела- тельна теорема, аналогичная теореме 4.1. Конечно, если в~Л" (У) и Ч~ Л'((г), то в Я> Ч обычно не принадлежит Л~~~((г). Мы определим поэтому новую операцию, внеш- нее произведение в Л т1~ Л»+'(Ъ'), полагая ьт Л Ч = ' А!1(в З т0. а! и (Причина введения такого странного коэффициента выяс- нится позже.) Оставим в качестве упражнения читателю проверку следующих свойств внешнего произведения: (в, + ва) Л Ч=в, Л Ч+в»ЛЧ.
вЛ(ч,+ч»)=вЛЧ,+ вЛЧ (ив) Л ч = в Л (ич) = и (в Л ч), в Л ч =( — 1)"' ч Л в, У*(в Л ч) = У*(в) Л У*(ч). Предварнтегьные сведения нз алгебры Справедливо также равенство (ю Л г)) Л О = св Л (Ч Л О), но доказательство его требует больших усилий. 4 4.
Теорема. !) Если Ю~Яе()г), Т~ф((г) и АИф)=О, лго АИ ф ф Т) = АИ (Т 8 8) = О. АИ (АИ (ю З )) З О) =' ЛИСе Э ) 8 О) = = АИ(се(я) АИ(т) ф О)). 3) Если сей Л ()г), ПЕЛ~()г') и О ЕЛ ~Ъ'), гло (се Л !)) Л 0 Л (т) Л О) р АИ (са 3 т1 3 О) 1(оказательство. (1) АИ(5бгг Т) (о,, ое,,) = зала 8(о„!и, ..., аь!я~).
Т(ав!я.п ., он<я+в). всяя Пусть Ос=Ее!! состоит из всех подстановок а, оставляющих на месте числа !с+1, ..., 1+1. Тогда ~ Зина ° 5(ае!П, . ° Овсы) Т(ае!Н+П °... Ое<аеп)= еЕо = ~ ~д здп а' . 8 (ов !и, ..., ае сн!)~ . 1в еае Т(ояеп ..., Оя+!)=О. Пусть теперь ае ~ О. Положим Оае = [аае! а ~ 0) и ов,!и ° ° пн,се+о = и! ..., твн ел Тогда Х Жп а о(ов!и ° ° ов <а!) Т(ее!я+и. ° ° ° ав!а+с!) = ееае. = [вдвое ° ~ зппп' ° 8(игв !и, ..., тв„!е!)~ ° ь'Ео ° Т(вяьг, ..., шяь!) =О.
Заметим теперь, что 0 Д Оае= Я. В самом деле, если а~О ПОае, то а=а' а, для некоторого а'~0 и потому ае — — а(а') ~ О вопреки предположению. Продолжая так дальше, мы разобьем Еа„! на попарно непересекаюгниеся подмножества, сумма по каждому из которых равна нулю, так что и суммой по всему Ея„! будет О. Равенство АИ(Т ® 8) =О доказывается аналогично. В.
Интегрирование по цепям (2) Имеем АИ (АИ (т1 З О) — т1 З О) = АИ (т1 З 0) — АИ (т1 З О) = О. Следовательно, в силу (1) 0 = АИ (ы З (АИ (т1 3 0) — т1 З О! ) = =АИ( З АИ(т)ЗО)) — АИ( Зт1ЗО). Второе равенство доказывается аналогично. р~ < деде-~',ффф~дпи дя)ва>= + + )1 ( + АИ(ыЗ ЗО), (Л+ 1)1 т1 Л1 11 Второе равенство доказывается аналогично. ° Естественно обозначить оба произведения ы Л (т1 Л 0) и (ыЛ я)) Л 0 просто ыЛ т1Л 0 и определить произведения высших порядков ы, Л ыз Л ... Л иб аналогичным образом. Взяв теперь какой-либо базис оп ..., о„пространства (е, можно весьма просто построить по дузльному базису ерп ..., ер„ базис для Л"((е), 4,5.
Теорема. Множество всех В,Л- Лере (1<1,<1<, . <1 <п) является базисом пространства Л" (ее), ноторое в салу зтозо имеет размерность ~)=.— и 1 л1 л / л1 (и — л)! Д о к а з а т е л ь с т в о. Если ы ~ Л» ((е) ~Я~ ()г), то можно написать ы= ~~'„ае ... е ере З ... К ере еи",ея Поэтому ы=АИ(ы)= Х аее...,ев АИ(В, З З ере„). Так как каждое АИ(~р; К ... З ере„) отличается от соответствующего внешнего произведения ере Л Л грея ! лишь постоянным иножителем, то эти произведения по- Предвидится»ные сведения из а»зебры 09 рождают Л~(1л).
Их линейная независимость доказывается как в теореме 4.1 (см. задачу 4.1)'), а Из теоремы 4.5 следует, что если (л имеет размерность п, то Л" ((л) имеет размерность 1. Таким образом, все антисимметрические п-тензоры на )г являются кратными любого ненулевого из них. Так как примером такого тензора служит определитель, то неудивительно появление его в следующей теореме. 4,6.
Теорема. Пусть оп ..., о„— базис пространства (л и в ~ Л'(('). Дгп .гюбых и векторов юг= = У, а, о. иэ 1У имеем !/ / со(в и ..., вя)=бе1(а»1) в(оп ..., о,). )То к аз атель ств о, Пусть »1~ 0" (К") определено равенством »1((а,д, ..., а„), ..., (а„п ..., а„„)) = =--в(~~агго1, ..., ~»а„го1) Очевидно, г)ЕЛ" (К"), так что т)=Х де1 для некоторого Л~ К и Х == »)(еп ..., е„) =в(оп ..., и„). ° Теорема 4.6 показывает, что ненулевой тензор в Е Л" ()л) разбивает базисы пространства )л на две группы: тех базисов о,,..., тт для которых в(оп ..
и„) ) О, и тех. для которых в(оп ..., о„) < О. Если оп ..., ол и огг, ..., в»в я двз базиса и А = (а„) — матрица перехода гег = ~ агуо, ') Как показывает условие 1 < 1, < г, « ... г» < л, в теореме 4.5 предполагаетса, что Д < л. Однако из дохаззтельства теоремы видно также, что если а > и, то л»(ь') = (О). В самом деле, при перестановке множителей ф и ф, произведение Р Ч фг Л ... Лфг УмножаетсЯ на — 1. Но если а > п, то, посколькУ » ги..., 㻠— натуральные числа. не превосходящие я, найдутся неРавные индексы Р н 4, длв котоРых!л=г'. ПоэтомУ ф, Л ... ... Л фг всегда равно О.
— Ирим, ряд. 4. Интегрирование но иена.н то он ..., ти и еин ..., свн принадлежат одной и той же группе тогда и только тогда, когда де1 А ) О. Этот критерий, не зависящий от го, всегда можно использовать для разбиения баззсов пространства 1: на две группы. Каждая из этих двух групп называется ориентапиед пространства Ъ'.
Ориентация, содержащая базис оо ..., о„, будет обозначаться символом [о,, о„), а вторая ориентация — символом — [о,... пи). Сглондарлгнои' аригнглаииед пространства К" будет называться [ен ..,, е„). Тот факт, что д(ю Л"(К") =1, вероятно, не покажется новым, поскольку дег часто определяется как единственный элемент ыц Л" (К"), для которого ы(ео ..., е„) = 1. В случае общего векторного пространства (г нет никакого критерия полобпого рода лля выделения особого ы ~ Л"()г). Предположим, однако, что на )г задано внутреннее произвеление Т. Если пн ..., о„ н щн ..., то„— два базиса, ортонормальные относительно Т, и А = (а, )— и матРиЦа пеРехода Пг, = ~~.", лгггцд то 1-1 Ь;) — — Т(сво ы)) =- ~ аыа,Т(оа, ог) = ~ аыа а. Ф,г-! а 1 Другими словами, обозначая через Аг матрицу, транспонированную к Л, имеем А Л' =У, тзк что де(А =+1 Из теоремы 4.6 следует, что если ыцЛ"()г) таково, что ы(пн ..., и„)=+1, то и го(пгн ..., то„)=+1.
Если на Ъ' задана еще ориентация р, то отсюда следует. что существует единственное го~ Л" (И) такое, что то(п, ..., о„) =1 для всякого ортонормального базиса е,, ... ..., о„, у которого [он ..., пи[ = р, Это единственное со называется элементом обаяла пространства )г, определяемым внутренним произведением Т и оряентацией р. Заметим, что де1 есть элемент объема пространства К", определяемый станлартным внутренним произведением Т и стандартной ориентацией р, и что [ де[(пн ..., о„),' есть объем параллелепипеда, натянутого на прямолинейные отрезки, соединяющие О с каждой из точек по ..
па. Мы заключим этот параграф рассмотрением одной конструкции, которое мы провелем лишь для )г = К". Предеарительные сведения из алгебры 101 Пусть оп ом ..., о„г~К" и ф определено равенством ф(тв) = бе1 оа-! Так как ф ~ Л! (?с"), то существует единственное е ~ й", такое, что (тв, л) = <р (тв) = !1е1 Это л обозначается символом о, Х ... Хо„, и называется векторным произведением векторов о„..., оа,. Из этого определения непосредственно вытекают следующие свойства векторного произведения: оа !и Х ° ° ° Х оа!л-!) = зап о ' оа и) Х ° ° Х оа !л-!ь Х Х Х ..Хо.,= (о,Х..Хо„,), о, Х ° ° Х (оь+ о;') Х Х о„, =о! Х ° Х о, Х Хо„,+,Х Х,'Х...
Х „,. В мзтематике редко имеют дело с „произведениями'", зависящими более чем от двух „сомножителей". В случае двух векторов о, я ~ ьса получаем более привычно выглядящее обычное произведение о Х тв ~ Кз. По этой причине часто утверждают, что векторное произведение может быть определено только в 1?з. Задачи 4.1ь. Пусть еь ..., е„— стандартный базис в Йа н ф!, ..., ф„— дуальный базис. а) Показать, что !р! д ... Г! ф, /е!...„е! 1=1.
Какой была бы правая часть, если бы в определение гт не входил (а 4-1)1 множитель ь — ? а111 4. Ингегрироеакле ло нелли б) Показать, что 4з! Л ... Л ср! (оз,..., о») есть минор » получающийся при оставлении столбцон с ин- матрицы о» дексами з' ... ! с». 4.т. Пусть у! 1г-ь,1' — линейное отобрзжение н бсю У= а. Тогда У'! Л" (У) — ь Л" ((г) должно быть умножением иа некото- рую константу с. Показать, что с= бе!т.
4.3. Показать, что если в СЛ" (У) — влеиент объема, опре- деляемый Т и р, и ио ..., и„е У, то [ы(ит.,., в„) [= 1сгбе!(а ), где д . = Т(м, н .). (У к аз а н и е: показать, что если о„..., о„— су г !' з л ар!анормальный базис н в = ~ЧР, а, о, то е = ~ЧР~ а а с/ г»»Т 1 1 сз-! 4.4, Пусть ю — влемент объема в )г, определяемый Т и р, и у! й" ь 1' — изоморфизм, для которого у'Т= (,) и [у(ес),... ..., У (е„)] = р. Показать. ч со Узы = де!. 48. Показать, что если с: [О, Ц -ь(йл)" непрерывзю и каждое (с!(1), ..., с" (!)) есть базис в й", то [с (О),..., с" (О)] = = [с'(1)... „с" (1)]. (У к аз а ни е: рассмотреть бе! с.) 4.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
