1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 15
Текст из файла (страница 15)
а) Что означает о Х если о~йз? б) Показать, что если о,, ..., о„, ~й" линейно независимы, то [о,,..., о„ „ о, Х ... Х о„ ,] есть стандартная ориента- ция в й". 47. Показать, что всякое ненулевое с»ЕЛз (У) является зле- ментом объема, определяемым некоторым внутренним произ- ведением Т и ориентацией и. 4.8. Пусть ы~Ле(У) — влемент объема. Выразить векторное произведение о, Х ... Хо„, через в. 4.9э. Вывести следующие свойствз векторного произведе. ния в йз: а) е,Хе,=О, е,Хе,= — е,, е,Хе,=-ез, е,Хе,=ез, е,Хе,=О, езХе,= — е„ е! Х ез = ез ез Х ез = е! ез Х еэ = О. б) о Хв = (отсе» вЂ” озвз) е, +(ози! — о!вз) ез+ + (о'вз — о'и') е,.
в) [о Х и[ = [ о [ [ в [ зсп О, где О =- ~ (о, в), (оХц, о) = (т Хи, в) -О. Поля и Фотки > <, Х >=<в,.Х >=<, Х >, оХ(в'х',е) = (о, е) в — (о, и > е, ( х >м.=<,.> — <, > . д) ~о.'х,'в< =)' <н е> (в, в> — <о вР. 4.!О. Пусть вь ..., ге„, ~Ил. Показать, что ~в,)( "Х .,|=Ф'б (я„) где е (в., в.). (У к а з а н и е; применить задачу 4Л к над- лежаще выбранному (и — 1)-мерному надпространству в Яя.) 4.!!. Пусть Т вЂ” внутреннее произведение на <г.
Линейное отображение У: <'-» <г называется гамосолряженным (относи- тельно Т>, если Т(х, у<у)).= Т(у(х), у) для всех х, у~ И. Показать, что если А = (лм) — матрица Т относительно орто- иормальмого базиса еь .. „ о„, го аы =-а>ь 4.!Х Пусть Гь ..., /„,: Йяг-»Я». Определим Л )(... )(Тл Я" Я" Форм>' й Л Х ХУ (р> =Л (р>Х ° ХУ вЂ” <р). Используя задачу 2.14, вывести Формулу для 0 (Л Х "° Хуз-~> ПОЛЯ И ФОРМЫ Пусть р~)<'. Множество всех пар (р, о), где о про! бегает К", будет обозначаться Кр и называться насаглельным прослгранстзом к К" в точке р.
Это множество можно очевидным образом превратить в векторное пространство, положив (р о)+(р )=(р о+ е) а(р, о) =(р, ао). Вектор о ~ )сл часто изображают в виде стрелки с началом О и концом о; вектор (р, о) ~ )ср можно изображать (рис. 4.1) в виде стрелки с теми же направлением и длиной, но с начальной точкой р. Эта стрелка идет от р до р+о, н мы позтому будем называть точку р.+ о концом вектора (р, о). Вместо (р, о) мы будем обычно писать о (читается: вектор о, приложенный в р). Векторное пространство Кр находится в столь близком родстве с К", что многие структуры в )сл имеют аналоги в Ке. В частности, стандартное внутреннее произведение (, ), на Кр определяется равенствои (ор, вр)р — — (о, аг), Е.
Интегрирование ио ценим и аа стандартную ориентацию на Кр принимается [(е,)р, ..., (е„)р]. Любая операция, возможная в векторном пространстве, может быть произведена в каждом К", и ббльшая часть этого параграфа представляет собой просто разработку Р и и. 4.1. этой темы. Пожалуй, простейшей операцией в векторном пространстве является выбор в нем вектора, Если такой выбор произведен в каждом Кр, то получаем векторное поле (рис. 4.2). Говоря более точно, векторное поле †э функция Р, относящая каждому р ~ К вектор Р(р) ~ Кр. Для каждого р существуют тогда такие числа Р'(р), ...
..., Р" (р), что Р(р) = Р'(р) ° (е,) + ... + Ри(р) ° (е„) . Таким обрааом мы получаем и координатнььх функций Р'. Кн-эК, Векторное поле Р называется непрерывным, дифференцируемым и т. д., если таковы функции Р'. Аналогичные определения могут быть даны для векторных Полл и формы полей, определенных на открытых подмножествах из а(", Операции над векторами порождают соответствующие оперзпии над векторными полями, производимые Р н с. 4.2.
поточечно. Например, если Р и Π— векторные поля и у — функция, то полагаем по определению (Р+ О) (р) = Р(р)+ О(р), ( ) ( ) (г ' Р)(Р) =У(р) Р(Р). Если Рп ..., Р„, — векторные поля на К', то можно зналогичным образом положить по определению Приведем еще несколько полезных стандартных опрел делений. гХиаергенцией б(тР поля Р называют ~ 0,Р'. з ! Введя формальный символ 7 = ~~З~ 0 ео з-з !06 4. Интегрирование по цепям можно написать символически й!т Р =(Ч, Р), 1!ри и =3 пишем в соответствии с этой символикой (Ч )С Р) (Р) (Рарз Озра) (е,)р+ + (Р! Рг —,г) Рз)(е ) + +(Огра — ~ар1нез)р Векторное поле Ч )с', Р называется вихрем (илн ротором) поля Р и обозначается спг! Р. Названия „дивергенция" и „вихрь" получены из физических соображений.
которые будут указаны в конце книги. Многие аналогичные рассмотрения могут быть применены к функции ьз, относящей каждой точке р ц К" тензор гв(р) ~ Л (Кр); такая функция называется формой й-й степени на К" или просто дифференкиольнои формой. Обозначая через <в, (р),..., ф, (р) базис, дуальный к (е,), ..., (е„)р, имеем га(Р) = гн ы~ (Р) ~ф (Р) Л ° ° ° Л гр~ (Р)] 'я где гвг „,г — некоторые функции. Формз ы называется я непрерывной, дифференцнруемой и т.
д., если таковы все функции ыг г . Формы и векторные поля обычно будут 1"- я' неявно предполагаться дифференцируемыми, а под дифференцируемостью с этого момента будет подразумеваться принадлежность классу С; зто упрощающее предположение избавит нас от необходимости подсчитывать, сколько раз в процессе доказатеяьства продифференцирована та или иная функция. Определения суммы ы+г), произведения /гв н внешнего произведения ыЛт) очевидны. Скалярная функция ! рассматривается как форма пулевой степени, н Уы записывается также в виде г Л еь Если г': К" ь К днфференцируема, то ЕЧ(р) ц Л'(К"). Небольшая модификация приводит тогда к форме первой степени йр", определяемой равенством Ч(р)( )=1Ч(Р)(о).
Рассмотрим, в частности, формы первой степени йлг. Вошло в обычай пользоваться для функции л' обозначением хг (в случае Кз вместо х', ха и хз часто пишут х, у н з). Эта стандартная запись имеет очевидные недостатки, 107 Поля и дюлмм но она позволяет выражать многие классические результаты формулами столь же классического вида. Так как «(х'(р)(ор) =а«п'(р)(ол) = 0л'(р)(о) =«т'(о) = и, то мы видим, что с(х«(р), ..., «(х" (р) есть не что иное, как базис, дуальный к (е>)р, ..., (е„) . Таким образом, всякую форму и-и степени ь> можно записать в виде ы= Х ь>«,...,«с(х«Л ° ° ° Лс«хя. ! «.„«!'"" Ф А Особый интерес представляет выражение для с(г. 4.У. Теорема.
Если )': К" — ~К дифференцируема, то а«> =0,У ° с(х«+ ... +0лГ ах". В классической записи: дг др доказательство. Йу(р)(ор)=0у(р)(о)= я я = ~ 0«((р)о'= ~ 0,У(р)а«х'(р)(о ). ° >-! ! ! Пусть теперь задано дифференцируемое отображение /': К" — эК . Для всякого р~К' оно порождает линейное отображение 0У(р): К" — ьКЯ', Вновь несколько модифицируя его, получаем линейное отображение >„: Кр-ьК««р>, определяемое равенством Это линейное отображение индуцирует линейное отображение У: Л (Кг~«р>)-эЛ (Кр). Поэтому каждой форме Ф-й степени ь> на К" можно отнести форму к-й степени у*е> на К", полагая (угю)(р) =/*(ьь(р)), т. е.
Х (р)( ° ° " 'е)=е>(>'(р))(л.(о!) " Х.(оа)) для всякого набора о«, ..., ояц Кя ). ') Если и — форма нулевой степени. то под у'(я>), естественно, понимается ияУ.— Прим. ред. 108 4. Интегрирование ло целям В качестве протнвоядия к абстрактности этих определений приведем теорему, резюмируюшую важные свойства Отображения /" и позволяющую в явном виде вычислять /" (а). 4.8. Теорема. Если/: К"-ьК дифференцируемо, то (1) / (дх')= ~~В//т ° огх/= р — ох/, дл/ г / 1 (2) У'(те, + а,) =/" (а,)+У'(а,), (3) / (й ° ог) =(й'е/) ° /'*(а), (4) /*(а /г т() =/*(а) /г /'(г]) г). Д о к а з а т е л ь с т в о.
(1) У*Фх'Н )(о,) =дх'У(р))(/,(о,))= =дх'(/(р))(В/(р)( ])/ р = а и =-с(хт(/(р))[ ~~л~ Вф' (р)от, ..., Ъ~ В / '(р)о/ /-! /1 '/ оа п и =- ~~Р~ В /ч(р) о/ = ~ В /~ (р) т/х/(р) (о ). /-1 /-г (2), (3) и (4) предоставляем доказать читателю. ° Повторно применяя теорему 4.8, получаем, например, /'(Р//хг /г дх'+ г.гт/х' /г дхз) = — (Р е /) ]/ (лгхг) /гг / (с/ха)]+ (9 О/) (/ (с/ха) /г / (с/хз)]. Вьгражение, получающееся при раскрытии каждого /'(г/х/), довольно сложно. (Полезно, однако, помнить, что дх' /г с/х' = ( — 1) г/х'/г дх' = 0.) Рассмотрим специальный случай, где стбит провести такое явное вычисление. 4.9.
Теорема. Если /: К" — ь К" дифференцируемо, то /'(И дхг /нг ... /г дх") =(И н/)(бег/')с/х' /г ... /г дх" Доказательство. Так как /" (Ис/х' /г ... /г дх")=(Ие/)/*(с/хг /г ... /г дх"), ') Одним и тем же символом /'* обозначены здесь три, вообще говора, разных отображения. — Прим, ред. Полл и Формы !09 то достаточно показать, что / (йх' Л ... Л йх")=(г!е1/~)ах' Л ... Л йха. Пусть р ц К" и Л = (аП) — матрица /' (р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
