1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 19
Текст из файла (страница 19)
5.4. 5.8. а) Показать, что если М есть А-мерное многообразие в Й" и й < и, то М имеет меру О. б) Пусть М вЂ” замкнутое и-мерное многообразие с краем в Й". Показать, что граница М совпадает с дМ. )1зть нонтрпример лля случая незамкнутого М. в) Показать, что всякое компактное и-мерное многообразие с краем в Й" измеримо по Жордану. ПОЛЯ И ФОРМЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ Пусть М есть А-мерное многообразие в Й" и /: %' — ь Й'— система координат в окрестности точки х =/(а). Так как ранг матрицы /'(а) равен А, то линейное отобраьхение /„: Ки -ь Йг взаимно однозначно и /,(Ки) есть )г-мерное подпространство в Й",. Если л".
)г-ь Й' — еще одна система координат с х = д (5), то и ( Й л ) / ( / е ) ( Й ь ) / ( Й ) Таким образом, А-мерное подпространство /„(Йа) не зависит от выбора системы координат /. Это подпространство называется касательным пространствам М в точке х (си. Рис. 5.5) и обозначается М„, В следующих параграфах мы будем пользоваться тем фактом, что на М„имеется естественное внутреннее произведение Тг, индуцируемое Поля и формы иа мяогоооразияя внутренним произведением из К и определяемое для всякой пары о, то~Ми равенством Т (и, ы) =(о, иг) . Преаположим, что А — открытое множество, содерзкащее М, и Р— такое днфференцируемое поле на А, что Р(х) ~ М„для каждого х ~ М. Дая системы координат гг: В' — ьК" сУществУет единственное (диффеРенциРУемое) Р и с.
5.5. векторное поле 0 на %', такое, что г,(0(а)) =Р(У(а)) для каждого а~)й'. Можно также рассматривать функцию Р, которая относит каждому х ~ М некоторый вектор Р(х)~ М; такая функция называется векгпорным полем на М, По-прежнему существует единственное векторное поле 0 на йи, такое, что у,(0(а) ) =-Р(г (а)) для каждого а~%'. Мы по определению будем считать Р дифференцируемым, если дифференцируемо О. Заметим, что наше определение не зависит от выбора системы координат: если д: 'гг-ьК" таково, что д,(Н(б))=Р(В) для всех д~У, то координатные функции лля И(о) должны совпадать с координатными функциями для 0(7 (д((г))), так что дифференцируемость 0 влечет дифференцируемосвгь Н.
136 5, Ингегуврование иа многообразиях В точности те же рассмотрения проводятся и для форм. Функция гв, которая каждому х ~ М относит ы(х) ~ Ли(М„), называется формой р-й степени на М. Если /: )е'-ьК"— система координат, то у*а будет формой р-й степени на %'. Форма ы называется дифференцируемой, если дифференцируема форма у'ы. Форма р-й степени ы на М может быть записана в виде св= Х ыги...,г йх" Л Л йхгя <...сг и"' е 1 '" е где функции ю~ „., ~ определены только на-М. Прежнее определение йы было бы лишено здесь смысла, поскольку не определены ЛГ (гв, „, ).
Тем не менее с)чцествует и"'* е разумный способ определения йю. Б.З. Т е о р е и а. Существует единственная форма (р+1)-й стенени йг» на М, такая, что для всякой системы координат )': (й' — ьК". показатель ство. Пусть г: Ю' — ьК" — система координат с х = г (а) и он ..., пр „~ М . В Кв имеются однозначно определенные векторы тн ..., игр~и для ноторых У„(т,) = пи Положим теперь по определению йо(х) (он ..
„ор „,) = й(/*и) (а) (тех...., тер,). Можно проверить, что это задание йгв(х) не зависит от выбора системы координат, так что дат определено корректно. При этом ясно, что йм обязано удовлетворять условию этого определения и потому единственно. ° Часто бывает необходимо выбрать ориентацию рх в каждом касательном пространстве М„многообразия М. Такие ориентации называются согласованными (рис. 5.6), если для каждой системы координат г: %' — ь К" и каждой пары а, Ь ~ %' равенство !г'. ((ег)в) " У. ((еа)в)! = ЬГ(в~ выполнено тогда и только тогда, когда !У„((е,)г), ...
г'. ((еа)г)! = Ру 1М 137 Полл и Формы на многообразиях Предположим, что выбраны согласованные ориентации р„, Если система координат г: ЯР— в[[в такова. что [7', ((е,),), ..., У. ( (е„),)] = [ат гв > для некоторого, а потому и для каждого а ~ Ю, то говорят, что У сохраняет ориентацию. Если г не сохраняет ориентацию и Т; ]ай — в[сй — линейное отображение с бе1 Т = — 1, д -, Р и с. 5.6. а — сеглассванный выбор ариеигаиий, б — нессгласвванный выбер ериеигаиий. то г с Т уже сохраняет ориентацию.
Поэтому в окрестности любой точки существует система координат, сохраняющая ориентацию. Если Т и д сохраняют ориентацию и «= 7(а)=д(Ь), то иа равенств [7„((е,),)...., г„((ей) )]=р = [к.((е,)б), .... д,((ей)й)] следует, что [(д-а с Д,((е,) )...,, (а-г с 7)„((е )„)] = [(е,)й, ..., (ей)в!, откуда бе1(у-'сД') 0 — важный факт, который следует вапомнить. 138 б. Интегрпрование на многообразиях Многообразие М, допускающее выбор согласованных ориентаций р, называется ориентируемым, а всякий такой выбор рх — ориентацией !л этого многообразия.
Многообрааие М вместе с его ориентацией р называется ориенгиировинным многообразием. Классическим примером неориентируемого многообразия является лист Мебиуса. Модель его можно получить, склепа концы бумажной полоски, закрученной на пол-оборота (рис. 5.7). Рис. 5.7. Лист Мебиуса, пример иеориеятируе- мого многообразия. Баеве ланжетса вправо, наенная от Р, н, сделав олнн обо. рот, воавражается в Р уже с противойоложной орвента- пнсй.
Наши определения векторных полей, форм и ориентаций можно распространить и на мтюгообразия с краем. Если М есть й-мерное многообразие с краем и х~дМ, то (дМ) есть (й — 1)-мерное подпространство й-мерного векторного пространства М„. Таким образом, существуют в точности два единичных вектора в М , перпендикулярных к (дл!)х.
Их можно различить следующим образом (рис. 5.8). Пусть 7: %' — ой" — система координат с Ю~Нл и г'(О) =х. Тогда только один из этих единичных векторов равен 7„(о ) для некоторого о, с о~ ( О. Этот единичный вектор н(х) называется ортом бнегинед нормали. Нетрудно проверить, что это определение не зависит от системы координат /'. Пусть р — ориентация на й-мерном многообразии с краем М. )!ля всякого х~дМ выберем оп ..., ол ~(дМ)„так, чтобы [и(х), о,, ..., ол,) =р„.
Полл и формы на многообразиях Если также [и [х), юн ..,, то»,[ = [», то [он ..., о»,[ и [тон ..., со»,[ задают одну и ту же ориентацию на (дМ); она обозначается (д[») . Легко видеть, что ориен- Рис. 5.8. Некоторые орты внешних нормалей многообра- зий с краем в йг. тации (д[») для х~дМ согласованы на дМ. Таким образом, если М ориентируемо, то также дМ ориентируемо, и ориентация р на М определяет ориентацию д[» на дМ, нааываемую индуцарованнод ориектациед.
Если мы применим зги определения к полупространству Н» с его стандартной ориентацией, тоувидим. что индуцированнойориентацией на К = [х ~ Н : х = 0] служит стандартная ориентация, умноженная на( — 1)». Основаниядляописанного 140 Б. Интегрирование на лногообразилх выбора ннлуцнрованной ориентации выяснятся в следующем параграфе.
В том случае, когда М вЂ” ориентированное (п — 1)- мерное многообрззие в Ртн, можно определить орты внешних нормалей, даже в том случае, когда М не является границей и-мерного многообразия. Пусть (оп ... ..., о„,] =рн. Выберем единичный вектор п(х) в К так, чтобы он был перпенликулярен М, а (п(х), он ... ..., он г) было стандартной ориентацией на В;, и по-прежнему назовем п(х) ортом внешней нормали к М (определяемым ориентацией р). Вектор п(х) в очевидном смысле непрерывно зависит от точки х~ М.
Обратно, всякое заданное на М непрерывное семейство единичных нормальных векторов п(х) определяет на М ориентацию. Это показывает, что такой непрерывный выбор нормальных векторов на листе Мебиуса невозможен. В бумажной модели листа Мебиуса в точках по обе стороны бумажной полоски (которая имеет толщину) можно приложить нормальные векторы, направленные в противоположные стороны. Невозможность непрерывного выбора нормальных векторов отражена в знаменитом свойстве этой бумажной модели: она имеет только одну сторону (начав красить ее с одной стороны, вы в конце концов закраснте ее всю); другими словами, произвольно выбрав нормальный вектор п (х) в некоторой точке и затем перемещая его в другие точки с соблюдением непрерывности, можно вернуться в исходную точку с противоположно направленным п(х).
Задачи 5.9. Показать, что Ме состоит нз касательных векторов з Г к всевозможным кривым с, лежащим в М и таким, что с(Г) =х, 6.10. Пусть на М задан такой набор систем координат С, что 1) для каждого х~ М суп!ествует Уць-, являющееся системой координат в окрестности точки х; 2) бег(у ~ну) > 0 дая любых г, а~С. Показать, что на М существует единственная ориентация, сохраняющаяся при всех у'~В. 5.11. Пусть М есть и-мерное многообразие с краем в й". Возь. мен в качестве р стандартную ориентацию пространства М„ = й„" (так определенная ориентация р называется стандарт- 141 Лола и формы на многообразиях ной ориентацией многообразна М).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
