1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 22
Текст из файла (страница 22)
4,5, б задаются формулами у(и) = (соз и, з!пи, 0) и я (о) = (1+ соз о, О, з!ив). Читатель может легко убедиться в том, что здесь вычисление 1(у, а) с помощью указанного интеграла — занятие безнадежное. Следующая задача показывает, как находить 1(У, я) без прямого вычисления. 5.33. а) Для точки (а, 6, с) ~йв положим (х — а) в(у 1! ах+ (у — 5) ггл Л в(х+ (л — с) бх Л бу в(В(а, ь, е! ((х — а)*+(у — Ь)в+ (л — с)в) О Далее, для компактного двумерного многообразия с ираем М в й' и точки (а, б, с) ( М положим и(а, 5, с)- ~ бО!.
з „. Пусть (а, Ь, с) — точка, лежащая по ту же сторону от М, что и внешняя нормаль, н (а', Ь', с') — точка, лежащая по противо- 154 б. Интеерироаание на многообразиях — 1 г и = — 1 д(1. йн 1 е в) Локазать, что (У вЂ” Ь) де — (х — с) ду В,П(а, Ь, с) = [ т' В,Р(а, Ь, с)= ~ т' Втй (а, Ь, с) = [ у г з (г — с) дх — (х — а) дл (х — а) ду — (у — Ь) дх га где г (х, у, л) = [(х, у, х)[. г) Показать, что число и «з б) равно интегралу задачи 5,32, б, и, используя зтот результат, показать, что 1(у, л) = 1 для кривых у и а, изображенных иа рис. 4.6, О, и 1(у, е) = О для кривых У н л на рис.
4.6, е. (Эти результаты были известны Гауссу [3). Намеченные здесь докззательства взяты из [7]; см. также [8[.) КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕЬ[Ы Теперь подготовлен весь аппарат, необходимый для формулирования и доказательства классических теорем „стоксовского типа". Мы разрешим себе несколько классических обозначений, имеющих очевидный смысл. 5.7. Т е о р е и а Г р и н а. Пусгпь М~[чз — компактное двумерное многообразие с краем, Предположим, чгпо положную сторону. Показать, что, выбирая (а, Ь, с) и (а', Ь', с') достаточно близкими, можно сделать Я(а, Ь, с) — П(а', Ь', с') сколь угодно близ«ем к — 4и. (У к а за н и е: сначала показать, что если М = д)т', то Я(а, Ь, с) = — 4и прв (а, Ь, с) сА",М и Я(а, Ь, с) =О прн (а, Ь, с) ~)Ч б) Пусть у ( [О, 1[ ) = дМ лля некоторого компактного ориентированного двумерного многообразия с краем М. (Если у не имеет свмопердсечеиий, такое М всегда существует, даже если у заузлено, см. [13, стр.
138).) Предположим, что кривая, обладающая тем свойством, что касательный вектор и к е в точках х, где л пересекает М, не лежит в М„. Пусть п+ — число тех пересечений, для которых вектор и направлен в сторону внешней нормали, и — число остальных пересечений и н = и" — и . Показать, что 155 К.шссические теоремы а, 5: М вЂ” ьзч дифференцируемы, Тогда ~ адх+рйу= ~ Фгр — ага) йх Лбу= ды м зз(д ) где на М задана стандартная ориентация, а на дМ вЂ” индуцированная ориентация, известная также как „обход против часовой сгпрелки". Д о к а з а т е л ь с т в о.
Это весьма спепиальный случай теоремы 5,5, поскольку д (а Вх + 5дУ1 = (слф — слза1 дх Л дУ ° 58. Теорема Гаусса — Остроградского. Пусть М~йз — компактное трехмерное многообразие с краем, п — орт внешней нормали на дМ и à — дифференцируемое векторное поле на М. Тогда ~ г11чРсЛ'= ~ (Р, п) с1А. м дМ Это равенство записывается также в виде ~ ~ ~ ( — + — + — ) Н1г= ~ ~ (п'а+ар+и у1 д5, м дМ где а, 5, у: М-ь1ч — тройка дифференцируемых функ- ций.
Доказательство. Рассмотрим на М форму ы= =РЧуЛаз+Рейз Лдх+-Рздх Л Ну. Имеем ды = =б!чга1г. С другой стороны, применяя теорему 5.6 к дМ, получаем, что на дМ "'аА =бу Л иг. пгФА =де Лйх, п~ дА = дх Л Ну, Поэтому на дМ (р, п1 дА = р1п1 бА+ ргпз бА + рзпз йА = р ' бу Л из+ р' дз Л дх + р' Нх Л Ну =. сд. !55 й Интегрирование на многообразиях Таким образом. в силу теоремы 5.5 ) й(тРй)г = ~ бы= ~ ы= ~. (Р, и) йА.
$ 59. Теорема Стокса. Луста Мс=)тз — компактное ориентированное двумерное многообразие с краем, п — орт внещней нор.чали на М, определяемыйориентацией М, и дМ наделено индуцированной ориентацией. Пусть, далее, Т вЂ” векторное поле на дМ, для которого йв(Т) =1, и Р— дифференцируемое векторное поле в открытом множестве, содержащем М. Тогда Г((РХР).п) йА=1(Р, Т) Это равенство часто записывают в ваде ойх+рйу+у йл = + „з ~ дй де Я й Доказательство. Рассмотрим на М форму ы= =Р'йх+Ргйу+Рзйг.
Так как ДАХР имеет компоненты ОгРз — Озрг. Озр' — О,Рз, О,Рз — ОгР', то, как и при доказательстве теоремы 5.8, ааключаем, что на М ((ЧХ Р), п) йА Озр') '(Увайс+(О Рз О,Рз) й й + +(О,Рз О Рз) С другой стороны, так как йв(Т) =1, то на дМ Т' йв = а'х, Тгйв =ау, Тз йв — йв !57 Классические теоремы (Этн равенства можно проверить применением обеих частей к Т„ для х ~ д>И, поскольку Т является базисом лля (д.Ч)„.) Поэтому на дЛ! имеем (Р, Т) да =Р>Т> дз > РзТгда+РзТз,!з Р> дх+ Гз,.>у+ Рз дя еа Таким образом, в силу теоремы 5.5 ~ ((ЧХР), и) с!А = ) де=- ~ ы= ) (Р, Т)да.
° и ам ам Теоремы 5.8 и 5.9 служат основанием для обозначений д)ч Г и сш! Р '). Если Р(х) — вектор скорости жидкости в точке х (в некоторый момент времени), то ~ (Р, и) дА М есть количество жидкости, „расходящейся" из дт. Следовательно, условие д!т Р =. О выражает тот факт, что жидкость несжимаеиз.
Если >)1 — диск, то ) (Р, Т) дз есть мера количества >инакости, циркулирующей вдоль границы этого диска. Если она равна О для всех дисков, то Ч Х Р = О и течение жидкости называется безаихревым. Эти интерпретации д!т Г и сцг! Г принадлежат Максвеллу [8). В действительности он работал с величиной — д1т Р, которую соответственно называл конвергенцией. Для Ч )с', Р Максвелл „с большой неуверенностью' предложил термин „го1айоп" (вращение) поля Г; этны неудачным термином подсказано сокращение го1Р, иногда еще встречающееся з).
Классические теоремы этого параграфа обычно устанавливаются при несколько более широких условиях, чем было сделано здесь. Например, теорема Грина верна для квадрата, а теорема Гаусса — Острогралского — для куба. Эти два специальных факта можно доказать, аппроксимируя квадрат или куб многообразиями с краем. Полное обобщение ') Напомним, что д!т — сокращение от д!те!пенсе (расходнмость), а сиг1 означает вихрь (англ.). — Прим.
ларса. з) В отечественной математической литературе обозначение го! используется пе менее часто, чем сит!. — Прим. иерею Г55 5, Интегрирование на многообразиях теорем этого параграфа требует понятия многообразий с углами; это подмножества в Й", локально диффеоморфные частям 1чь, ограниченным кусками (Л вЂ” !)-мерных плоскостей. Строгое определение многообразий с углами и исследование того, как можно обобщить на них результаты всей главы, будут достойными упражнениями для читателя, имеющего к этому вкус. Задачи 5.34.
Обобщить теорему Гаусса — Остроградского на случай л-мерного многообразна с краем в ((в. 5.35. Применяя обобщеннвгю теорему Гаусса — Остроградского к множеству М = (х~й: ) х) ~; а) и г" (х) =х, выразить (л — 1) мерный объем сферы Зв ! = (хЕм~;)х) =1)через и мерный объем шара Вв (хЕйн: ) х! (1) ~последний объем равен ве! л-! 2 л г л / ~ 2 ) (, Осли л не!но, н 1 3 5, если л печатно 5.36. Пусть Р— векторное поле па й', определенное равенством Р (х) = (О, О, сх')х, и М вЂ” компактное трехмерное многообразие с краем, содержащееся в полупространстве М ~ (гл х' (0). Поле Р можно представить себе как давление жидкости плотности с, заполняющей область !х!х' ~ 0). Поскольку жидкость оказывает равное давление во всех направлениях, мы будем под выталкивающей силой, действующей на М, понимать — ) (г".
л) аА. Локазать закон Архимеда: действуюдм щая на М выталкивающая сила равна весу жидкости, вытесненной М. ЛИТЕРАТУРА 1. А л ь ф о р с (АЫ!огз), Совр!ех апа!уз!з, Кем Уогй, 1953. 2. Ауслендер и Маккензи (Апз!апбег. МасКепя!е), !п!гобпс!!оп го б!!(егепг!аЫе гпапйо!йз, )(ечг уогК, 1963. 3. Гаусс (Оапзз), Хнг шагйещанзспеп Тйеог!е Бег е!еКггобупаш!зспеп й'!г)гнпйеп, цгегКе, В.5, Оогнпйеп, 1877. 4. Л ь е до и не Ж., Основы современного анализа, нзд-во .Мир", М., 1964. 5.
К ел л и (Кейсу), Оепега! горо!оду, Рг!псе!оп, 1955 (русский перевод готовится к печати в нзд-ве,Наука" ). Б. К о б а я с и и Н о м и д з у (КоЬауазЫ, Нош!тп), роппданопз о! б!!!егепг!а! деон!с!гу, )(етч уог(г, 1963. 7. К у р а н т Р., Курс лнффереициального и интегрального исчисления, ч. !1, ГНТИ. М. — Л„!931 (перевод последнего переработанного издании готовится к печати в изд-ве «Наука»).
8. М а к с ве л л Лж. К., Избранные сочинения по теории электромагнитного паля. ГИТТЛ, М., 1954. 9. Н а та нс он Н. П., Теория функций вещественной переменной, ГИТТЛ, М» 1957. 1О. Р а до (Еабб), Еепйгй апб агеа, )чечг уог(г, 1948. 11. де Р а м Ж., Дифференцируемые многообразия, ИЛ, М,. 1956. 12.
С те р н бе р г (5(егпйегй), Ьесгнгез оп гВВегепг!а! деошеггу, Епц!етчооб С!!1(з, 1964. 13. Форт (Рог!), Торо!оду о1 3-гпапйо!Бз, Епй!еъооб С!!!!з, 1962. 14. Х ел гас он С., Дифферент!иальная геометрия и симметрические пространства, изд-во .Мир", М., 1964. 15. Х ил тон Лж. и Уайли С., Теория гомологий, изл-во .Мир", М.. 1966. 16. Ху Сы-цзян, Теория гомотопий, изд-во „Мир', М., !964. 17. Чеза р и (Сезаг!), 5нг!асе агеа, Рг!псе!оп, 1956. Литература, добавленная при переводе 18.
В и шоп Р., Крит те иден Р., Геометрия многообра- зий, изд-во . Мир', 1967. 19. Ленг С., Введение в теорию диффереицируемых многооб- разий, изд-во .Мир, М., 1967. 20. Но м и азу К„Группы Ли и дифференциальная геометрия, ИЛ. М., 1960. 21. Р улин У., Основы математического анализа, изд-во .Мир, 1966. 22.
С т н н р о д Н.. Топология косых произведений, ИЛ, М., 1953. 23. Телеман К., Элементы топологии и дифференцируемые ыиогообразия, изд-во .Мнр, 1967. 24. У и т и и Х.. Геометрическая теория интегрирования, ИЛ, М., 1960. 25. Ш е в з л л е К,, Теория групп Ли. ИЛ, М., т. 1, 1948; т. 2, 3, 1958. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютная форма 146 Абсолютный тензор !46 Базис ортонормзльный 94 — стандартный.для Йл !4 Вектор 11 — касательный !!4 Векторное поле !04 — — безвихревое 137 — — дифференцируемое !04 — — ла многообразии 135 — — — — днфференцнруемое 135 — — — — непрерывное 135 — — непрерывное 104 Вихрь 106, 157 Внешность множества 17 Внешняя нормаль !38 Внутренность множества !7 Вращение поля 107 Гомотопня 127 Граница множества 17 — цепи !16 График 22, 133 Дивергенция !05, 157 Днффеоморфизм 129 Дифференциал 109 Дифференциальная форма 106 — — абсолютиаи !46 — — дифференцируемая 106 — — замкнутая 11! — — иа многообразии 136 — — — — дифференцируемая 136 — — непрерывная !06 — — точная 11! Днффереицируемость (С ) 106 Замена переменных 84 — 89 Звездное множество 1!2 Нзмеримость по Жордану 70 Интеграл 6! — верхний 73 — криволинейный !21 — нижний 73 — повторный 74, 75 — по множеству 69 — — — открытому 82 — — поверхности !21 — — цепи 120 — формы на многообразии 143 †1 Интегральная теорема Коши 127 — формула Коши 127 Колебание 24 Компакт !8 Комплексные переменные 126 — числа !26 Композиция 23 Конвергенция 157 Конус обобщенный 152 Координатное условие !31 Коэффициент зацепления 153 Край многообразия 1ЗЗ Кривая 116 — дифференцируемая 1!4 — замкнутая 126 Куб л-мерный сингулярный 116 — — — вырожденный 125 — — стандартный 116 Лемма Пуанкаре 1! 9 Лист Мебиуса !38, !40, 15! Махсимум 39, 40 Матрица !4 — транспонированная 36, 100 — Якоби 29 Мера нуль 63 Метод Лагранжа 142 161 Предлтеткый указатель Минимум 39, 40 Многообразие 129 — неориентируемое 138 — ориентированное 140 — ориентнруемое 138 — с краем 132 — — углами 157 Множители Лагранжа 142 Независимость от второй переменной 29 — — первой переменной 29 ' — — способа параметризапин 104 Неравенство треугольника !5 Норма !! Нормаль см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
