1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Показать, что для х~дМ оба данных выше определения н(х) совпадают, 5.12. а) Пусть Р— днффереицируемое векторное поле нз многообразии М с: йе. Показать, что существуют такие открытое множество А~ М н дифференцируемое векторное поле Р на А, что Р(х)=Р(х) для всех х~М. (Указание: сделать это локально и воспользоваться разбиением единицы.) б) Показать, что если М замкнуто, то в качестве А можно взять все пространство Й". 5.13. Пусть йч А -е ЙР то же, что в теореме 5.1.
а) Пусть х~М я '(0) и йи ()-ьйе — тот по существу ЕдИНСтВЕИНЫйдиффЕОМОрфиЗМ, дпяКОтОрОГО лед(Х)=(Х" я+1,... .. „х ) н Ь (0) = х. Определим У: й" е-ь й" равенством У(а)= Ь (О, а). Показать, что У, взаимно однозначно, так что н — р векторов г, ( (еде) .. г', ( (ее-е)е) линейно независимы.
б) Показать, что ориентации Рх могут быть выбраны согласованно, так что М вЂ” ориентнруемое многообразие. в) Показать, что если р= 1, то координаты орта внешней нормали в х кратнм Р,е(х), ..., Рея (х). 5.14. Пусть М -ь й" — ориентнруемое й-мед1тное многообразие. Показать существование такого йяз А-ьй", что М=я '(0) н я'(х) имеет ранг а — Л для всякого х~М.
(Указание: задача 5.4 дает локальное решение; используя ориентацию, выбрать согласовавные локальные решения и воспользоваться разбиением единицы). 5.15. Пусть М есть (и — 1)-мерное многообразие в й" н М (з)— совокупность концов всех нормальных векторов длины з (проведенных в обоих направлениях). Предположим, что з столь мало, что М (е) также есть (н — 1)-мерное многообразие. Показать, что М(з) ориентируемо (даже если М было неориентнруемо).
Что такое М(з) в случае, когда М вЂ” лист Мббнусау 5.15. Пусть йк А-ьйе то же, что н в теореме 5.1. Показать, что если у: Йе-ь й дифференцнруема и ее максимум (нлн минимум) на я '(0) достигается в точке а, то существуют такие Хи ..., дрцй, что Р Р)у (а) ~ч'.~~ Х1Р)бг (а), г 1, ..., н.
(У к аз анне: эти равенства можно переписать в виде ау(а) е ~~'~~ Хгг(уг(а); они очевидны, когда я(х) =*(х" я+1, ..., х").) тат Максимум (или минимум) функции у на я г (0) иногда называют условным экстремумом при уравнениях связи йл=О. Можно пытатьсн отыскивать а, решая систему уравнений (1). 142 б.
Интегрирование ни многообразиях В частности. если и: А -+ й, ны должны решить п + ! уравнений Р)У (а) ЛР)и (а), и(а) О относительно и -[- ! неизвестных а'...., а", Л, что часто очень просто, если оставить уравнение и (а) = О напоследок. Это метод Лагранжа, а полезное, но постороннее Л называется множителем Лагранжа. В следующей задаче дается пример изящного теоретического использования множителей Лагранжа. б.!7.
а) Пусть Т: й"-+ Я» — самосопряженный оператор с матрицей А = (аб), так *по аП= ауь Показать, что если У(х) и (Тх, х) = „'[„абхгхб то Р»У(х) =2 ~ч~', а»)х). Рассматривая 1 максимум функции (Тх, х) на сфере 5" ', доказать существо- ванне х~5" ' и Л~й, таких, что Тх=Лх. б) Пусть У = [у~йг: (х, у) =О). Показать, что Т(Ъ') <=' Р и что оператор Т: 1»-ь)г самосопряжен. в) Показать существование базиса, состоящего нз собственных векторов оператора Т. ТЕОРЕМА СТОКСА НА МНОГООБРАЗИЯХ Пусть на А-мерном многообразии с краем М заданы форма р-й степени ю и сингулярный р-мерный куб с.
Интеграл от ет по с определяется точно так же, как и раньше: [ ге = ~ с"то. !е, нр Интегралы по сингулярным р-мерным цепям так же определяются, как и выше. В случае р=й может оказаться, что существуют такие открытое множество М-» [О, 1[" и система координат У': Ф' — »К", что с(х) =г"(х) для всех х~ [О, 1[». Сингулярные А-мерные кубы в М всегда будут считаться принздлежащнмн етому типу. Если М ориентировано, то будем говорить, что сингулярный А-мерный куб с в М сориентирован, если У' сохраняет ориентацию. БА.
Теорема. Пусть М вЂ” ориентированное й-мерное многообразие, с,, с,: [О,! [» — + М вЂ” деа сориентированных сингулярных А-мерных куба в М и ю — форма Теорема Стокса на многообразиях й-й степени на сИ, обращающаясн о 0 оне с,([0, 1[Я) П Пс ([О, ![Я). Тогда с, с, Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем ~ о= ~ с',(о) = )Г (с с с,)" с,',(о).
!о, ця !о, ц" (Здесь с 'с с, определено только на подмножестве из [О, 1[ь, н второе равенство супгественно опирается на то, что о =.0 вне с,([0, 1[") П с,([0, 1[г.) Поэтому достаточно показать, что (с ' с) с (о)= ~ с,(со)= [го. !о, ця 1о, ЦЯ с, Пусть с'(о) =Тс[х' Д ... Д Ых". Обозначая с-' с с, через я', в силу теоремы 4,9 имеем (с с,)'с,'(о)=в'(а" дх'Д ... Д сгхг)= =(Т с й') ° с!е! ас' ° с!х' Д ... Д дх" = = (Т с д) ! с[ег я' [ дх' Д ...
Д дх», поскольку сне! йс = де! (с-' с с,)' ) О. Утверждаемый ре. зультат вытекает теперь из теоремы 3.13. ° Последнее равенство в этом доказательстве помогает понять, почему мы должны были уделять столько внима- ния ориентациям. Пусть о — форма й-й степени на ориентированном й-мер- ном многообразии М. Если в М найдется такой сориенти- рованный свнгулярный й-мерный куб с. что о=О вне с([0, 1[г), то мы по определению положим )о=) М с Теорема 5.4 показывает, что ) о не будет зависеть от т выбора с. 144 б. Иигегрияоваияв ка многообразия» Пусть теперь <о — произвольная форма й-й степени на М и М обладает таким открытым покрытием 6, что для каждого ь< ~ 6 существует такой сориентированный сингулярный и-мерный куб с, что Е7 <- с(10, 1)»).
Пусть Ф— разбиение единицы на М. подчиненное этому покрытию. Положим 1-=Х 1'" М ч<ФМ в предположении, что сумма сходится (она во всяком случае сходится, когда М компактно). Рассуждения, аналогичные использованным при доказательстве теоремы 3.12,. показывают, что так определенный ~ ы нв зависит от м покрытия 6 и разбиения Ф. Все наши определения можно было бы дать и для А-мерного многообразия с краем М, снабженного ориентацией р.
Наделим <)М индуцированной ориентацией д<», и пусть с — такой сориентированный сингулярный а-мернь<й куб в М, что с<» 1 лежит в дМ и является единственной гранью, хотя бы одна внутренняя точка которой принадлежит дМ. Из замечаний, сделанных после определения др, следует, что с<» > сориентированз, если й четно, и несориентирована, если и нечетно. Таким образом, для всякой формы (и — 1)-й степени ы на М, рваной нулю всюду вне с(10, 1]»), имеем ы=( — 1)» ) ы., дМ г(», О< С другой стороны, с<» о) входит с коэффициентом ( — 1)» и в дс.
Поэтому <в= ~ О=( — 1) ~ ы= ~ О. <-1) с(» О< » '(», о< Наш выбор д«был сделан с тем рзсчетом, чтобы полностью избавиться от отрицательных знаков в этом равенстве и следующей теореме. Теорема Стокса ио многообразия» 145 б.б. Теорема Стокса. Пусигь М вЂ” комнакитмое ориенигироеанное и-мерное многообразие с краем и в— форма (й — 1)-й стелени на М. Тогда ) дв= ~в. м дм где дМ наделено индуцироеанной ориенлтациед. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что в М чдМ имеется такой сориентированный сингулярный й-мерный куб с, что в=О вне с((0, 1)~1.
В силу теоремы 4.13 и определения Ыв ~ йе= ~ с'(йо)= ~ с((с'в)= ~ с'в= ~ в. с 1о, т1» 1з, т!" вт» Тогда ~ де= ~ дв= ~ в=О, м с в поскольку в = 0 на дс. С другой стороны, и ~ в = О, ам поскольку в=0 на дМ. Предположим теперь, что в М имеется такой сориентированный сингулярный Й-мерный куб с, что единственной его гранью, лежащей в дМ, служит с1» 1 и в = 0 вне с([0, !)»). Тогда ство= ~ йо= ~ в= ~в. м с дс дм Обратимся, нзконец, к общему случаю. М допускает такое открытое покрытие 6 и такое подчиненное ему разбиение единицы Ф, что лля кажлого ф ~ От форма срв принадлежит одному из двух уже рассмотренных типов. Имеем 0 = сг (1) = Ы ( Х ср) = Х 6ср, 1течт / чев так что ~~'.1 йр /~ в= О.
ФЕФ 146 б. Ингеграроаание на многообразнее Поскольку Л компактно, эта сумма конечнз, н потому ~ ачр ут а=0. Ф(Ф М Следовательно, ( ага= ~ ~ грг)а= (~„~ ерер/(а+гр е(а=- М чйФМ ч(Ф М ) г((~ра)= ~рй, ::град= ~~ а. ° ч(Ф дМ дм Задачи 5Л8. Пусть М есть л-мерное многообразие (или многообразие с краем) в й", наделенное стандартной ориентацией. Показать, что интеграл ~: :,у йх' ц ... Л Ихл, определенный в втой главе, совпадает с интегралом ~ у, определенным в гл. 3. и 5.19. а) Показать, что для некомпактных М теорема 5.5 неверна. (У каза ние: если М вЂ” многообразие с краем, для которого справедлива теорема 5.5, то М' дМ вЂ” также многообразие с краем (пустым).) б) Показать, что теорема 5.5 верна н для некомпактного М, если Ф равна нулю всюду вие некоторого его компактного подмножестваа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
