1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Показаттч что в=дав+бр для некоторых ЛСй я я: й'',0-ьй. (Указание: показать, что все числа Л в с,(в) = Л дх+ а(у ) имеют одно и то же значение Л.) 4.31. Показать, что если в чь О, то существует цепь с, для которой ~ в чь О. Используя этот факт, теорему Стокса и равене ство д'= О, доказать. что аз =О. 4.32. а) Пусть со с, — такие сингулярные одномерные кубы, что с, (0) = с, (0) и с, (1) = с, (1). Показать, что существует сингулярный двумерный куб с, у которого дс с~ — от+ се+ с4 где с, и с,— вырожденные кубы, т.
е. ее[0, 1) и с,[0,1)— точки. Вывести отсюда, что если форма в точна, то ~ в с, ) в. Пать коитриример на й"~,0 для случая, когда в лишь с, замкнута. б) Показать, что если в — такая форма на подмножестве й', что [ в= ~~ в для всех с, и с„у которых с,(0)=с,(0) и с, в с,(1) = с,(1), то в точна. (У каза нне: рассмотреть задачи 2.21 и 334.) 4. Ингегригоеание но Иенлм 4.33. (Элементы теории функций комнлгксного перемен- ного.) Функцию Т: С ь С нззмвают дифференцируемой в ~очке «о ~ С, если существует предел ~( ) — ~( о) гос, ««о (Под знаком предела — отношение двух комплексных чисел, так что ато определение совершенно отлично от данного в гл. 2.) Если Т дифференцируема в каждой точке «открытого мно- жества А и Т' непрерывна на А, то функцию Т называют ана- литической на А.
а) Показать, что функцвя Т(«) = «аналитична, а Т(г) =« (где х+ су = х — су) нет. Показать, что сумма, произведение и частное аналитических функций — аналитические функции. б) Показать, что если Т = и (-(о аналитична нз А, то и и о удовлетворяют услоеиям Коши — Римана ди до ди до — — — и дх ду ду дх ' (У к а з а н не: воспользоватьсв тем фактом, что )!нь г («) — г («о) с ось «го должен быть одним и тем же для г = «о+(х+ ЕО) и г = «,+ +(О+ су) с х, у-ьО (если и и о непрерывно дифференцируемы, то верно также обратное утверждение, но его труднее доказать).) в) Пусть Т: С вЂ” ь С вЂ” линейное отображение (где С рассма- тривается кзк векторное пространство над (4). Показать, что если /а, Ы матрица Т относительно базиса (1, с) равна ( ' ), то Т есть (с, а)' оператор умножения нз некоторое комплексное число тогда и только тогда, когда а=а и е= — с.
Пункт б) показывает, что аналитическая функция Т: С-ьС, рассматриваемая кзк функция Т: Йг-ьг(г, имеет производную ВТ(го), являющуюся оператором умножения на комплексное число. Что зто за комплексное число? г) Положим д(ы+ (п) = дьь+ с ац, +гт) = ~ ы+г ~ ть с с с (ы+О))Л(О+Те) =-ыЛΠ— ЦЛ?,+ь(ОЛОл шЛ?) и дг = дх + Г сгу. показать, что д(т д«) =О тогда и только тогда, когда т" удо- влетворяет условиям Коши — Римана. д) цоказать иктегральную тсоргму Коши: если у' анали- тична из А, то ~ /а« = О для всякой замкнутой кривой с (сии- Основная терре.ча гуляркого одномерного к)ба е, у которого с(0) = с(Ц ), такой, что с = дс' для некоторого сингулярного двумерного куба с' в А.
е)' Показать, что если г(г) = 1,'г, то г Ыг (или (1/г) аг в классической записи) равно 1с(0 + ал дли некоторой функции И: С',0-ь)1. Вывести отсюда, что~(1,'г) с(» = ср 2пто. ж) Пусть у аналитична на (ж ) г ~ < 1). Используя тот факт, гто г (г) = у'(г) 'г аналитична на(г:0<1г~<Ц, показать, что у (г) са, „ — аг, Г (г) сдь н если 0 < Ло У(т < 1. Используя е), вычислить йщ Г (г) я-ьо г Х сд, я и вывести отсюда интеераш ную форгтулу Коши: Если у аналитична на (г: ( г ) < Ц и с — замкнутая Х кривая в (г.
0 < ) г ) < Ц, имеющая порядок о относительно О, то оу (О) = — 1 — с(г. 1 г у(г) 2п1 ) с 4.04. Пусть Р: [О, Це-ь)(е. Лля каждого х Е(0, Ц опре- Х делим Р: (О, Ц -ь)(~ формулой Р,(Г) =Р(г, 1). Если ~) каждое Р, есть замкнутая кривая, то Р называют гомотооией между замкнутой кривой Р, и замкнутой кря- д вой Ро Пусть Р и С вЂ” го- Р и с. 4.0. мотании между замкнутыми кривыми. Если для каждого з замкнутые кривые Р, и Се не пересекаются, то нара (Р, С) называется гомотопией иежду парами непересекающихся замкнутых кривых Ре ! 28 4.
Интггиирогиниг ло целям 6, и бо 6о Интуитивно ясно, что такой гоиотопии не суще- ствует, если /м 6, — пара кривых, изображенная на рис. 4,6, и, а Ри 6, — пара из б или л. Предлагаемая задача и задача,5.33 доказывают вто для случаи б. но показательство для случая в требует другой техники. а) Пусть /, пг [О, Ц-ьй' — непересекающиеся замкнутые кривые. Определим с: [О, Цт-+йт" 0 формулой / л' г (и, о) /(и) — п(о), /.
л Гели (Р, 6) — гомотопня иежду непересекающимися зачкну- тынн кривыми, определим С: [О. Ц'-ьй''н,О формулой Сл о (з, и, о) с„ о (и, о) = г (з, и) — 6 (з, о). Показать, что дСл о -— с„о — сн б) Пусть ю — замкнутая форма второй степени на й''н,0. Показать, что Интегрирование на многообразиях МНОГООБРАЗИЯ Пусть У и )г — открытые множества в Гс". Дифференцнруемую функцию й: у — ь)г, имеющую дифференцируемую обратную и ': $'-ьК будем называть диффеоморфизмом. Подмножество М в и" называется и-мерным многообразием (в м"), если для всякой точнн х~ М выполнено следующее условие: (М) Существуют открытое множество У, содержащее х, открытое множество )гг=м" и диффеоморфиам й: у — ь)г, такие, что й ((У й М) = 1~ й (К" Х ) О) ) = =(х~)г: х»+'= ...
= х" =0). Другими словами, У П М „с точностью до диффеоморфизма" есть просто часть пространства к» Х (О) (см. рнс. 5.1). Отметим два крайних случая нашего определе ~ня: точка в й" есть нульмерное многообразие, а открытое подмножество в Гс" есть н-мерное многообразие, Общеизвестным примером и-мерного многообразия является и-мерная сфера о'", определяемая как множество (х ~ К ': ) х ) = 1). Доказательство выполнения условия (М) оставляем в качестве упражнения читателю.
Если же читатель не расположен' утруждать себя деталями, то он может воспользоваться следующей теоремой, доставляющей много примеров многообразий (заметим. что 8'=г '(О), где я: К" -+К определено равенством д(х)=)х)' — 1). б.1. Теорема. Пусть АгК" — открыигре мноокестео и я: А — эКе — такая дифференцируеман функция, что »"'(х) имеет ранг р для всех точек х, е которых д(х) =О. Тогда я '(О) есть (н — р)-мерное многообразие е К". Рис. 5Л Одномерное многообразие в йе и дву- мерное многообразие в и'. 13! .Многообразия Д о к а з а т е л ь с т в о.
Справедливость утверждения непосредственно следует из теоремы 2.!3'). ° 5 2. Те о р ем а. Аля всякой точки х к-меркою многообразия МсК" выполнено следующее „координатное условие". (С) Существуют открытое множество У, содержащее х. открытое мкожестио В'г=Кл и взаимно однозначная диффереицируемая функция г г %'- Кв, такие, что 1) У (~') = М П ( ', 2) у'(у) и.иеет ранг к для всякою у~В'. (Такая функция у называется системой координат в окрестности точки х (см. рис.
5.2).) Р и с. 5.2. ') Нужно только прн проверке выполнения условия (г!) для М=й '(0) и З и — р взять 6 обратным фигурируюгцену е теореме 2.13. — Прим. иерее. 132 Б. Интегрирование на млогообрагигх доказательство.
Рассмотрин рл у-«Ь', удовлетворяющее условию (о(). Пусть В' = (а Е К»: (а, О) Е а(М)). Определим г'; -«К" равенством 7(а)=1» (а, О). Очевидно, У((е')=МВСК. Если Н: У вЂ” «К» определить равенством Н(а)=(Ь'(е), ..., а»(х)), то Н((~у))=у для всех у~В'; поэтому Н'(г'(у)) ° у'(у)=(, и матрица у'(у) должна иметь ранг (г. ° Отметим одно следствие доказательства теоремы 5.2; для всяких двух систем координат У,: 11'»-«К" и Уз; (ке-«К" отображение дифференцируемо и имеет невырожденный якобиан. В самом деле, у' (х) состоит из первых и компонент отображения й (х).
Р и с. 5.3. Одномерное и двумерное многообразия с краем в К'. Лолулроетранетеом Н»г-К» будет называться множество (х~К»: х»)~0). Подмножество Мс"Ка называется и-мерным многообразием с краем (рис. 5.3), если для всякой точки х~ М выполняется либо условие (М), либо следующее условие. 133 Многообразия (М') Существуют открытое множество У, содержащее х, открытое множество )гт-К" и диффеоморфизм Ь: (т'-»)г, такие, что Ь (У П М) = Ъ' П (Н' Х (О)) = =(х~)г: х" О и ха»'= ...
=хи=О). Важно заметить, что условия (М) и (М') не могут одновременно выполняться для одной и той же точки х. Действительно, если бы «;. Ут — »)гт и «т: (тт-»(гт удовлетворяли соответственно условиям (М) и (М ), то )та о «т было бы дифференцируемым отображением, переводящим открытое множество из й", солержащее Ь(х), в подмножество На. не являющееся открытым в й». Но поскольку бе!(лтодт ) Ф О, зто противоречило бы результату из задачи 2.36.
Множество всех точек х ~ М, удовлетворяющих условию (М'), называется краем многообразия М' и обозначается дМ. Его не следует путать с границей множества, определявшейся в гл. 1 (см. задачи 3.3 и 3.8). Задачи 5Л. Пусть М есть «-мерное многообразие с краем. Доказать, что дМ есть (« — 1)-мерное, а М ', дМ есть «-мерное многообразия. 5.2. Найти аналог условия (С) для многообразий с краем.
5.3. а) Пусть А тх й" †открыт множество, граница которого является (л — 1)-мерным многообразием. Показать, что объединение У множества А с его границей есть л-мерное многообразие с краем. (Полезно иметь в виду следующий пример: если А = (х ~ й": ! х ! < 1 нли ! < !х ! < 2], то дт есть многообразие с краем, но д!и' не совпадает с границей А.) б) Доказать аналогичное утверждение для открытого подмножества л-мерного многообразия. 5А. Доказать частичное обращение теоремы 5.1: для всякой точки х «-мерного многообразия М ~ й" существуют такое открытое множество А с: й" н такая функция и: А -+ й" ", что А ПМ = л '(0) и л (х) ниеет ранг л — « всюду, где к (х) = О. 5.5. Доказать, что «-мерное (векторное) подпростраиство в й" есть «-мерное многообразие.
5.6. Пусть У: йи-+йм. Графиком У назывзется множество ((х, у): у =У(х)) т= У'Х )1м. Показать, что график у является л-мерным многообразием тогда н только тогда, когда У дифференцируемо. 134 б. Интегрирование на многообразиях х' =О и х',..., хн ' > О). Пока- з-мерное многообразие н Аг полу- оси х' = ... =ха =О, то г7 есть Пример — тор (рис. 5.4). 5Л. Пусть К" = (хай" зать, что если Мг=Кн есть чается вращением М вокруг (Л+ 1)-.черное многообразие. Р я с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
