1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Остается позаботиться о некоторых деталях, которые обеспечат, чтобы Ь была функцией нужного вида. Так как [д ал ~) (Ь(а))=(уа)'(а) [Ь'(а)) 1= (д")'(а), то ГУ„[а" ° Ь ') (Ь (а) ) = Г)„н" (а) = 1, так что Ь' (И (а)) =1. Поэтому в некотором открытом множестве Ъ', таком, что Ь (а) ~ )г ~ Ь (У'), функция Ь взаимно однозначна и де1Ь'(х) Ф О. Полагая У=Ь (Ъ'), имеем теперь д= = Ь а Ь, где Ь: У вЂ” «ка, Ь: [Г-+На и Ь(У) <: Гг. Согласно (3), достаточно доказать теорему для Ь и Ь.
Мы дадим доказательство для Ь; докааательство для Ь аналогично, по легче. Пусть К <= У вЂ” параллелепипед вида О Х [а„, Ь,], где Е> — параллелепипед в Рс" . По теореме Фубини ~г*'...г а-)» ", - 61яч [ам а„[1, „~О1 Замена переменная где Н ы  — ьй — функция, определенная равекством Ь (х', ..., х" ')=(д'(х', ..., х"), ... ..., д"-1(х', .... х")). Очевидно, п„а для каждого х" взаимно однозначна и де1((г„а)'(х', ..., х" ') =де1и'(х', ..., х") т': О.
Г!пятому применение теоремы для случая и — ! дает [ ~ь ...«*-)»* = ь~ж~ [а„, ь„[[,ь „(о) ( [ ~ ы о, г ( '..... * -'~~ ~ *' .. ~ -') ь [. [[, ([~Г ~Ь( '.. *)Н '... Ь -')Ш '- [ м ~„[[,о [ [де1 Д' ~. ° Условие де1я'(х) чь 0 можно исключить из предполо- жений теоремы 3.13, если воспользоваться следующей теоремой, часто играющей непредвиденную роль, 3.14.
Теорема Серда. Пусть А ь= К' — открытое мноаьсество, я' А — + К" — непрерывно дифференцируе.мая функция и В= [х~ А: де1я (х) =О[. Тогда А'(В) имеет меру О, Доказательство. Пусть (1 ~ А — замкнутый па- раллелепипед, все ребра которого имеют одинаковую длину, скажем 1, и е ) О. Если И достаточно велико и (г' разбит на М" параллелепипедов с ребрами длины 1/М, то для каждого из этих параллелепипедов В и каждого х ~ 5 имеем [ Эд (х) (у — х) — я' (у) — д (х) [ С е [ х — у [ ~ е [г и д, для всех уЕЗ.
Если 8 пересекается с В, то можно вы- брать х ~ 5 П В; поскольку де1 и' (х) = О. множество (Оу(х)(у — х): у~Я лежит в некотором (и — 1)-мерном подпространстве У пространства Кп. Поэтому множество 8. Интегририеаиие ]д(у) — л(х); у~8] содержится в е ]ги 111(1-окрестности этого подпрострзнства') (г и, значит, ]д(у):,уЕВ] содержится в е'])и (1/IЧ)-окрестности (и — 1)-мерной плоскости )г+ л(х). С другой стороны, в силу леммы 2,10 существует такое число М, что ] А (х) — д (у) ] ( М ] х — у ] «~ М ]/ а —. Таким образом, если Я пересекается с В, то множество ]К(у): уЕВ] содержится в цилиндре, высота которо~о меньше, чем 2е]/и (1,'тлт), а основанием служит (л — 1)- мерная сфера радиуса лтеньше М ]т л 11)л1. Объем этого цилиндра меньше С(111Лг)" е, где С вЂ” некоторая константа.
Но сугцествует пе более 1тге таких параллелепипедов 8. Поэтому т(((т'П В) содержится в иножестве объема, меньшего, чем С(1)тЛ()" сЛГ" = С1'е. Поскольку это верно для всех в) О, множество й(УПВ) имеет меру О. Так как (задача 3.13) А можно покрыть последовательностью таких параллелепипедов У, то требуемый результат следует из теоремы 3.4. ° Тторемз 3.13 является в действительности лишь самой простой частью теоремы Сардз.
Формулировку и доказательство полного более глубокого результата можно найти в ]12, стр. 47]. Задачи 3.39. Используя теорему 3.14, доказать теорему 3.13 без предположения, что де!л'(х) ф О. 3.40. Пусть л: йи -ь й" и е'(х) ф О. Локаэзть, что в некотором открытом множестве, содержащем х, имеет место равенство и= Тапио... ени где лт имеют вид ет(х)=(х', ..,, Л (х),..., х"), а Т вЂ” линейное отображение, Показать, что е = иие... ту, тогда н только тогда. когда й'(х) — диагональная матрица.
3.41, Определим В (г: г ) 0) )((О, 2и) -ь й' равенством у (у, 6) = (у сов 6, г в1п 6). а) Показать, что У взаимно однозначно, вычнслнть У'(г, 6) н показать, что де1у'(г, 6) ~ 0 для всех (г, 6). Показать, что У((г-. г > 0) )т',(О, 2п)) есть множество А из задачи 2.23. ') Под и-окрестностью множества В ~ Ле понимается множество ]устти; ] у — х] < и лля некоторого хсО], — Прим, иерем Замена иерем енной б) Пусть Р= У '. Показать, что Р(х, у) — (г(х, у), 0(х, у)), где г(х, у) =) х'+у', агсгя — ', Х х' если х> О, и+асс!о —, если х < О.
у 0 (х, у) = 2' 3 — и, х . Ф нк ия Р если х = О, у < О, если х=О, у<0. г 3 е Ы+ги ухе(у= ) е х Их с -г г ((оказать, что (пп ( е Ы "т" г(хду= Ищ ) е (х'"гпдхс(у г.+со Е г.+ сю и вывести отсюда, что ) е ~ г(х = )г й. (.Математик — зто тот, для кого справедливость этого равенства так же очевидна. как дважды два — четыре".
†Кельеин,) Найти Р' (, у) у д ггазывается системой полярных ноординагн на А. в) Пусть С ~ А — область, заключенная между окружностями радиусов г, и гл и лучами, исходящими из нуля и образующими с осью х углы 8, и В,. Показать, что если 6: А-+)с, где а(х, у)=а(г(х, у), 0(х, у)), то г, в, ~ Д= ~ ~ гд (г, В) г(В дг.
с г, В, Показать, что если В, = ((х, у): х'+ у' < г'), то тн ~Л= ~ ~ гк(г,0)с(Вдг в, и з г) Пусть С, = ( — г, г) А ( — г, г). Показать, что е Ы~т'Кхду=п(! — е ') в, Интегрирование по цепям ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ Пусть 1' — векторное пространство (над И). Через 1'» будет обозначаться й-кратное произведение )г )~ ... )( Р'. Функция Т: И" — «К называется полидинейной, если для всякого С 1 (Е.(й, имеем Т(о,, ..., о,.+о',...., о )= =Т(он ..., он ..., о )+Т(он ..., о'н ..., о„), Т(оо ..., ао,, ..., о») =аТ(сн ...тл'...,, о„). Полилинеиная функция Т: Ъ'~ — «К называется й-тензором на 1г, а множество всех й-тензоров, обозначаемое ~»(Ъ'), становится векторным пространством (над К), если для каждой пары 3, Т ~я~()') и каждого а~К положить (3+ Т)(ем ..., о»)=З(о„..., о»)+Т(оп ..., о»), (аЗ)(оп ..., о»)=аЗ(он ..., о,).
Существует также операция, связывающая различные про- странства Я" (Ь'). А именно, пусть Зла~(Ъ') и Т Егт'((г); тензорное произведение 3 К Т Е»т»+»(Ъ') определяется формулой З 3 т(о1 ° ° " о» о»»1 " о»«~) = =з.(о1 о») Т(о» и ° ° о»,). Заметим, что порядок сомножителей 3 и Т здесь сущест- вен, поскольку ЗКТ и ТЯЗ отнюдь не равны. Дока- зательства следующих свойств операции Я предоставляем читателю в качестве легких упражнений: (з,+з)ьт=з,зт+з вт, зе(т +т)=зьт,+ззт, (аЗ) бЬ Т = 3 К (аТ) = а (З 8 Т), (з е, ту ц и = з б) (т ~ (у). Т)редварите тьные сведения ив алгебры ( 5 ЗТ) З У и 5 З(Т З ьт) обозначают обычно просто Я З Т З (т'„аналогично определяются произведения выс- гпих порядков Т, З ... З Тьг Читатель, вероятно, уже заметил, что Я'(Ъ') есть про- сто сопряженное пространство Ь"'.
Операция З позволяет представить остальные векторные пространства ~ь()г) через Я'(1т). 4.1. Теорема, Пусть ог ..., о„— базис про- странства Ъ' и трг ..., тр„— дуальный базис сопряжен- ного пространства, т(т(о )=Ьтр Тогда множество всех тензорных произведений я-го порядка тгт 3 ... 3 %т (1 < гг ..., (ь < и) является базисом пространства Яь(Ъ'), которое в силу етого имеет размерность пь.
Доказательство. Заметим, что РЧ З ° ° ° З тььь ( l~ ° ° ° )ь) 1г г~ ' ' ' ть гь 1, если у,=1г ..., /ь =ггг О во всех остальных случаях. в Если дано к векторов тог .... тоег где то,= ~~'.~ аыор то 1 т для любого ТЕК~(1т) имеем л Т(тог ..., тоь) = ~ ию ... аь Т(об, ..., ог )= ь ~ ь г"" ь Т(от, ..., от„)твт З ... З ~с (юн ..., тоь).
'г " ь Следовательно, л Т= Х Т(о~, ..., и )%1 З... ЗВ Ч " 'а-' так что ~рЧ З ... З тр~„порождают Ф(~"), Предположим теперь, что агг ..., т — числа, для ко- торых а~, „, т тр, З ... З тес = О. ь В. Интегрирование ло целям Применение обеих частей этого равенства к (о), ..., ог ) ь дает а) .; =О.
Таким образом, произведения ф; З ... ... З <у~„ линейно независимы. $ На тензоры можно распространить также важную конструкцию, хорошо известную в случае сопряженных пространств. Именно, всяким линейным отображением Т"; 1г -ь )к' определяется линейное отображение У: Я (ит)-+Я (И), действующее по формуле э Т (уъ . оь) Т (У (о1) ° У (оь) ) для любых Т ЕЯ'(Ф') и оп ..., пью И, Легко проверить, что У'(8 З Т) = /'8 З э' Т. Читатель уже знаком с некоторыми тензорами, помимо элементов из Ъ"*.
Первый пример — внутреннее произведение (,) ~ дэ(Кв). Основываясь на том, что всякий хороший предмет математического обихода заслуживает обобщения, мы определяем внутреннее произведение на 1Г как 2-тензор Т, который симметричен, т. е. Т(о, ги)=Т(тя, о) для всех о, шЕ(г, и полоокительно определен, т. е. Т(о, о) ) О для всех о+ О. Чтобы выделить (. ) мы называем его стандартным внутренним произведением на 11".
Следующая теорема показывает, что это — не слишком далеко идущее обобщение. 4.2. Теорема. Если Т вЂ” внутреннее произведение на !г, то 1" обладает базисом ог ..., ов, для которого Т(оп о)) =бгр (Такой базис называется ортонормальным относительно Т.) Следовательно, суиьествует такой изоморфизм У: Й" -ь)', что Т(У(х) Лу)) = =(к,у) для всех х, у~К". Другими словами, г Т =(,).
г(оказательство, Пусть шн ..., тив — произвольный базис пространства !г, Положим ш' = тип Т(гэн сэ ) Т (ть |эг) Т (мз тз) Т !гвп ть) Т (ма, гвэ) Предварительные сведения из аееебры 95 и т д Легко проверпгь, чго Т(се, ев') =О, если и ев, '~ О, так что Т(ю', ев,') > О. Полагаем теперь о, =-тв',!)/Т(пе,', ев'). Изоморфнзм У может быть определен равенствами /(е,)=пр 3 Несмотря на свою важность, внутреннее произведение играет значительно меньшую роль, чем другая хорошо известная чуть ли не вездесущая функция, тензор де1 ц й" (К"), Имея в виду обобщение этой 'функции, вспомним, что перестановка двух строк матрицы меняет знак ее определителя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
