1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Назовем Угс о> (Д О)-гРанью !', а,г1г и (1, 1)-гРанью (рис. 4.5) и положим д7"=Х Х ( — 1)"'1~п. г-! о=з, г Для произвольного сингулярного а.мерного куба с: [О, 1]"-эг4 мы сначала опрелелим (1, а)-грань (' .) и затем положим де= сй хг ( — 1)' 'с, г-г о-з, г Наконец, определим гранину сингулярной п-мерной цепи ~З ~и,с; формулой д(~. и,сг) = ~~~ и;д(с;).
ПВ 4. Интегрирование ло целям Хотя этих нескольких определений достаточно для всех приложений в этан книге, ь>ы приведем еще одно тнпич. ное свойство символа д. 4.12. Теорема. д(дс) =О для всякой сингулярной п-мерной цепи с в А. Коротко, да=О. 1>я 11ев> 1 1ар) а Р и с. 4.5, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 1(1'. Рассмотрим (1~р )) . Если х~(О, 1)", то, вспоминая определение (1, Р)-грани сингулярного л-мерного куба, имеем (1>' а>)11 а> (Х) — 1>>, а) (1)>, В) (Х)) '=1а.,(. "-. ° ... х-)= =1" (х', ..., х' ', а, х', . „х1-', Р. х>, ..., хя-"1. Аналогично / и и / л-1 (111+на))а, ю =1>1+ив>АИ >( )) = я / 1 >-) а 2'~ =-111е>,В>(х, ..., х, а, х, ..., х =1" (х', ..., х' ', а, х', ..., х1 ', (>, х1, ..., хл-т) Таким обРазом, (11> а>),, =(111~),В>)а „пРи 1 (1.
(Полезно проверить это на рис. 4.б.) Отсюда легко следует, что (с>> ) =(с)1 > з>) прн 1(1' для любого сии- (>, а) <1 В) >1+>,З> )>, а) Предварительные соеденил из геометрии 119 гулярного л-мерного куба с. Но л д(дс) =д ~~ ~ ( — !) еа с . г-! а-о, ! е п-! 1)гэае/эз( г-! о-о,! у-! В-о,! (!,а! П,ю В эту сумму (с„„)) и (с!) ! В,), где 1(((у ( (л — 1, входят с противоположными знаками. 'Поэтому ') все члены попарно взаимно уничтожаются и д(дс) =О.
Поскольку теорема верна для всяко~о сингулярного л-мерного куба, она верна также для любой сингулярной и-мерной цепи. ° .Естественно задаться вопросом, верно ли обращение теоремы 4.12, т. е. веегда ли при дс 0 нмеетая сингулярная л-мерная цепь с' в А, такая, что с дс'. Ответ зависит от А и, вообще говоря, отрицателен. Например, пусть с: (О, 1) — ь Кз 'х О определено равенствои с (г) =(з!п 2ллг. соз 2плг), где и — ненулевое целое. Тогда с (1) = с (О), так что де=О, Но (задача 4.26) не существует никакой сингулярной двумерной цепи с' в Кз 'ч О, для которой бы дс' = с. Задачи 4.22, Пусть гг — иножество всех сингулярных л-мерных кубов и Х вЂ” множество всех целых чисел. Сингулярнзя л-мерная цель ') есть такая функция У; ~ — ьЕ, что У(с) = О для всех, кроме конечного множества сингулярных л-мерных кубов с. Определим у+я и лу формулами (у+ а) (е) =у(с)+с(с) и (лУ)(с) = лУ(с).
Показать, что У+я и л/ принадлежат,9', Лля всякого с~ге мы будем обозначать через с также такую функцию У, что У(с) =1 и У(с') =О для всех с' ~ с. Показать, что всякая сингулярная л.мерная цепь У может быть записана в виде а,е, + ... + а*ее с некоторыни целыми коэффициентами ао ..., ае и сингулярными л-мерными кубами со ..., сь. 4.2В.
Определим для заданных )! ~ 0 и л Ф 0 сингулярный одномерный куб с „: (О, 1) — > й' ", 0 формулой с „(!) = (е( соз 2ллй )с и!и 2л)й). Показать, что существует сингулярный ') Легко проверить, что ((а,1): 1(ае л, ! (1(л — 1) Ь аспадается яа пары (д у), (у+1, !) (1 <1<у<и — !).— рим.
ред. ') По общепринятой терминологии это ие цепь, а коцепь.— Лрим. ред. 4. Интегрирование ао лелям двумерный куб с: (О, 1)'-»й»',О, для которого с, — ел „вЂ”вЂ” = ее. 4.24. Показать, что если с — сингулярный одномерный куб в й»' О, у которого с(0) = с(1), то существует такое целое и, что е — еьв= до' для некоторого двумерного куба с'. (У к азание: сначала разбить [О, 1[ так, чтобы каждое е([г! ь гг[) лежало по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через 0.) ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА Тот факт, что ага = 0 и дт = О, не говоря уже о типографской схожести символов д и аг, наводит на мысль, что между формами и цепями существует какая-то связь. Эта связь устанавливается интегрированием форм по цепям.
В дальнейшем будут рассматриваться только дифференцируемые сингулярные и-мерные кубы. Пусть ы — форма й-и степени на [О, 1[». Тогдз го = ус(х! /~ ... тн,г(х» с однозначно определенной функцией у'. Мы положим !о, ц» !о, ц» Это равенство мои<но было бы записать также в виде у'г(х! Л ... Аагх'= ~ у(хг, ..., х")агх! ... !4х' !о, ц» !о, ц» — зто одно нз оснований для введения функций х'. Если теперь ы — форма й-й степени на А, а с — сингулярный ге-мерный куб з А, то мы положим [ ы= ~ с"га.
!о, ц Заметим, что, в частности, ~ ) (х' Л .. у«( ' = ~ (у')*(у 4 ' Л .. у«( ') = ,» !о, ц» т'(х!, .... хе)г4х' ... ах~. !о, ц» 121 Основная теорема Особое определение гребу.ется для случая я=0. Форма в нулевой степени есть функция. Для каждого сингуларного нульмерного куба с: (О) -« А в А положим ~ в=в(с(0)), с Наконец, интеграл от в по сингулярной сг-мерной цепи с = ~,л,с, определим формулой ) в= ~ асов. Интеграл от формы первой степени по сингулярной одномерной цепи часто называют криволинейным иныегралолс. Если Рлсх +9асу — форма первой степени на Ка и с: (О, 1! — «Ка — сингулярный одномернгяй куб (кризая), то можно доказать (но мы не будем этого делать), что ~ Ре(х+Яау=10п ~ (с'(Г,) — с'(1,,)) Р(Г')+ г=1 + (с ((~) — с (гс - ))) 9 (г ) где 1а, ..., Г„ — разбиение отрезка ~0, 1), Г-' произвольно выбрано в (Г, , Г;) и предел берется но всем разбиениям при стремлении к 0 наибольшего из !1, — г,,(.
Правую часть часто принимают за определение ~ Р сух + 1,сс)у. с Такое определение естественно, поскольку входящие в него суммы очень похожи на суммы, входящие в определение обычного интеграла. Однако с полобным выражением почти невозможно работать, и его быстро преобразуют в интеграл, эквивалентный ~ с'(Р ссх+ Я с(у).
Анало1а, и гичные определения для интегралов по иоаерхнасти, т. е. интегралов от форм второй степени по сингулярным двумерным кубам, еще более сложны и трудноприменимы. Это одна кз причин того, что мы уклонились от такого подхода. Другая причина заключается в том, что данное здесь определение сохраняет смысл и в более общей ситуации, рассматриваемой в гл. 5.
122 4. Интегрирование оо Невем Связь между формами, цепями, д и д наиболее четко выражается теоремой Стокса, которую часто называют основной теоремой многомерного анализа (при я = 1 и с = Р это действительно основная теорема дифференциального и интегрального исчисления). 4,13. Т е о р е м а С т о к с а. Пусть и — форма (й — 1)-й степени на А и с — сингулярная й-мерная цепь в А. Тогда с де Д о к а э а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что с = Р» и ы — форма (и — 1)-й степени на ]О, 1]».
Тогда ы есть сумма фори (и — 1)-и степени вида )еИх' Тт ... Д~х Тт ... /~ егх и достаточно доказать теорему для каждой из них. А это достигается непосредственным вычислением. Заметим, что )"„,.;Уд1Л ... Л х'Л ... Лдх')= 1о, ц"-' О при /Фг, Т" (х', ..., и, .„, х") с(х' ... дх» при /=1. !о,ц Поэтому ~.(д 'Л ". Р д 'Л ". Т д '= аг» -"~~ ,')'( — 1)"" ~ 1,"д.,"(Уд 'Рт...Р,д 'Р,...Р,) Р)- /-1 о-о. 1 1о, ц»-1 =( — !) ~ /(х', ..., 1, ..., х)Их'...егх"+ 1о. ц" +( — 1)' ~ ~'(х', ..., О...,. х»)дх' ... Их». ]о, и' Основная теарел(а 123 ° Л с)хо)= Л л(х' Л Л (тх" = Применяя теорему Фубини ница, получаем ~ д( 1Г (Гх( Л ...
Л (тх' Л ... Л (Гхо) = 1,( 1 ( (,- ( ...'11О,,(..*(л*1„ о о Х о(. 1 ... (Гх ... д(х = 1 1 = 1 — 1)' ' ~ ... ~ 1/ 1х(, ..., 1, ..., х*)— о а — /1х(, ..., О, ..., х )) (лх( ... ((х(... ь(хо= =1 — 1)1 1 ~ ~(х(, ..., 1, ..., х*)сгх( ... с(хо+ 1О, Ц" +à — 1)1 ~ у1х1, ..., О, ..., хо),тх( ... ОГхя.
1о, Ц" Таким образом, Если теперь с. — произвольный сингулярный н-мерный куб, то из определений следует, что ы= ~ с(0. ав С другой стороны, 1 а( Д(1х' Л ... Л (лх' Л 10 Ос~сГх( Л с)х( Л . 10, Ц =1 — 1)'-' ~ В,,е. 1о, Ц" и теорему Ньютона — Лейб- 124 4. Интегрирование по цепям Поэтому ~ йо= ) с*(с(о)= ~ с((с'ю)= :': с*о= ) еь с тя и" лг Наконец, для произвольной сингулярной и-мерной цепи ~ а,сс имеем ю= ~ ат ~ с(ы= ~ ат ) ы = ) . ° дсс Теорема Стокса обладает тремя важными характерными прививками многих больших теорем. 1. Она тривиальна. 2. Тривиальна она потому, что все входящие в нее выражения определены надлежащим образом.
3, Она имеет важнтяе следствия. Так как вся эта глава по сути дела состоит из определений, которые сделали возможными формулировку и доказательство теоремы Стокса, то читатель охотно признает аа теоремой Стокса первые два из этих признаков, Остающаяся часть книги посвящена подтверждению третьего. Задачи 4.25. (Независимость от способа параметризации.) Пусть с — сингулярный Л-мерный куб н р: [О, ЦЯ -+ [О, Цп — такое взаимно однозначное отображение. что р([0, ЦЯ)=[0, Ц» и бе! р'(х) ~0 дяя всех яЕ[0, Ц". Показать, что [о= [т с сор для любой формы Д-й степени т 4.20. Показать, что ) бэ = 2пп, н, используя теорему ж» Стокса, вывести отсюда, что с ~ бс для всякой сингулярной л,л двумерной цепи с а )(я ~0 (найомннм, что с было определено в заааче 4.23). Основная теорема 125 4.27.
Показать, что целое я в задаче 4.24 единственно. Это число называется порядком ириной с относительно О. 4.лн. Напомним, что С обозначает множество всех комплексных чисел. Пусть у': С -ь С задано равенством у (х) = е" + +а е" '+ ... +а„, где ао ..., а„~С. Определим сингулярный одномерный куб с: [О, 11-ьС",0 формулой с, =учс, и р,у н,1 сингулярный двумерный куб с рзвенством с(з, Г) =(с „(з)+ + (1 — () с, (е). а) Показать, что де=с — с и что с([0, 1] Х[0, 1)) с с С ", О, если Я достаточно велико.
б) Используя задачу 4.26, доказать основную теорелгу алгебры: всякий полипом г" + а,гл ' + ... + а„ с коэффициентами агЕ С имеет корень в С. 4.29. Пусть в — форма первой степени У Ых ка [О, 1) и У(0) =У(1). Показать, что существует единственное число Л, такое, что в — Л ах = бя для некоторой функции я, у нагорай я(0) =я(1). (У к а ванне: для нахождения Л проинтегрировать в — Л дх = ае на [О, 1).) 4,30. Пусть в — замкнутая форма первой степени на й'',О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
