1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Будем здесь н дальше, гле зто улобпо и не может привести к путанице, опускать р в йх' Л ... Л йх" (р) и подобных выражениях, Тогла / (йх' Л ... Л с(х") (еп ..., е„) = =й ' Л ... Л й "(/;и .... /;.) = / а а ,=1 ! 1 =-йе1(а; ) ° йх' Л ... Л Фх" (еп ..., еа), согласно теореме 4.6. ° Важной конструкцией, связанной с формами, является обобщение оператора а, переводящего формы нулевой степени в формы первой степени. Пусть о= Х о~...„г йх ' Л ° ° ° Л йх'а. Ч«" !» а Опрелелим форму (/с+ !)-й степени ао, дифференциал о, равенством Лй'Л ... Лй '= «, 'с"" А 1 "' А а Х ~ли ()а(о~н „„г ) с(х Л йхй Л ... Л йх~в. ~ « ... г„а-г 4.10.
Т е о р е и а. (1') '(о+ Ч) = до+ йЧ. (2) Если о — форма й-й степени, то й (о Л Ч) = ао Л Ч+ (- 1) о Л с(Ч (3) с((Но)= О. Кратко, йз=О. (4) Если о — форма и-й степени на К'" и /: Ка-э Км дифференцируе.ио, то /'"(йо) = с( (/'о). Доказательство. (!4 Предоставляем читателю. ио 4. Интегрирование ла целям (2) Формула верна для о=егх ' Л ... Л е(х е и т)=е(х" Л ...
Л егх'й поскольку все члены обрашаются в О. Справедливость формулы легко проверяется, когда о — форма нулевой степени. Формула для общего случая получается из (1) и этих двух утверждений. (3) Так как Ао = ~~й ~хе Ва(о' ~ )егх Л егх 1 Л .,', Л е(х ~, < ... ( тг то е((его) = ~х~~ ~е м1и ~Па, а т1оте ..., те) Иха Л егх Л 1, «...
тя а=1 а-т Л Гхе Л ... Л гх' Но в этой сумме члены каждой пары е.)а, а (от, ..., ~ ) йх Л егх Л дх 1 Л ... Л егх я ва,(~а, .„,, )~гх' Л стх Л е(х' Л ... Л х' взаимно уничтожаются. (4) Это очевидно, если о — форма нулевой степени'). Предположиьт по индукции, что(4) верно, когда о — форма /е-й степени. Достаточно доказать (4) для формы (й + 1)-й степени вида о Л дх'. Имеем У*(Г( Л е/х')) =/'(1/ Л ух'+( — 1)'о Л еГ(стх'))= = У'" Фо Л е/х') = У" (е/о) Л У'(в(х') = = ст (/'о Л /'(стх') ) = ег (/ (о Л пх') ).
° ~) Приведем все же доказательство. Применяя теоремы 4,е, 4.8 и 2.9, получаем т м м /'(ао) =/' ~„т)ао Лха = ~ (0аол/)/ (ах~) ~а-1 а-т т л ~е (Ваэ л/) Ва/~ ая" = а-1а-1 л ,( /) . — ( /)- (/"). 1 — Прим. ред. Поля и формы Форма называется замни»тол, если д11а =О, и точной, если о!=с!1) для некоторого Ч. Теорема 4.10 показывает, что всякая точная форма замкнута, и естественно спросить, не будет ли, и обратно, всякая ззмкнутая форма точна. Если а! — форма первой степени Рйх+(,111» нз Ка, то д1ы=(В,Рйх+В,РЙ») Д11х+(ВД1)х+ВДЙ») 1111»= (В1() ВтР)! х 1л! 1~у' Таким образом, если с(!в=О, то В1ьт=ВзР.
Задачи 2.21 и 3.34 показывают, что на Кт существует такая форма нулевой степени 1, что ы = НУ =В1Удх+ Вт)с1». Однако если га определено только на подмно1кестве Кт, то такой функции может не существовать. Классическим примером является форма определенная на Кз ~ О. Эта форма обычно обозначается сй (где 8 определено в задаче 3.41), так как (задача 4.21) она равна а!8 на области )(х, у): х ( 0 или х )~ 0 и у ~ 0) определения 8.
Заметим, однако, что 8 нельзя определить непрерывным образом на всем множестве Йз ~;О. Если а!=с!у для некоторой функции у: Ка '~ 0 †» К, то В,у =В,О и В„~ = В18, так что У = 8 + сопа1, а это показывает, что такого у существовать не может. л Предположим, что е1= ~'., о!ах — форма первой сте- 1 1 л пени на К", оказавшаяся равной с1)'= ~~~ В1у Их'.
Очевидно, 1-1 можно считать, что г'(0)=0. Как в задаче 2.35, имеем / (х) = ~ — „у (сх) 1й = ~ ~ В, у (Гх) ° х' с!1 = о О 1-1 1 л = ) ~~' ы1(1х) ° х1Ф. О 1-1 112 В. Илгегрлровщте по являл Это наводит на мысль, что для отыскания у' но заданному ы следует рассмотреть функцию гы, определяемую равенством 1 л !га(х)= ) у ы;(Гх) ° х'аг'. о Заметим, что для того, чтобы определение г'ы имело смысл, нужно лишь, чтобы ю было определено нз открытом Р н с. 4,3. множестве А~К", обладающем тем свойством, что вместе со всяким х ~ А весь прямолинейный отрезок, соединяющий О и х, содержится в А. Такое открытое множество называется звезднызв относительно О (рпс. 4.3).
Довольно сложное вычисление показывает, что (на звездном открытом мнозкестве) равенство ы = д (/ы) действительно имеет место, лишь бы ы удовлетворяло необходимому условию ага = О. Это вычисление, равно как и определение Вщ можно значительно обобщить. 4.11. Теорема (лемма Пуанкаре). Всякая замкнутая форма на открыргол множестве А<:К", звездном относательно О, точна.
Пз Полл и Сводно! Доказательство. Мы определим функцию !. относягдую всякой форме 1-й степени некоторую форму (! — 1)-й степени (лля каждого !) так, что ! (0) = 0 и ы=!(йю)+с((!оо) для всякой фориы ю. При с(со=О будем иметь тогда !о=с!((ы). Пусть о!= ~ ыг,...,! г(х!!Л ... Лг(х!. ! «. ! '1'"' ! ! Так как А звездно, то можно положить ! ! ! ! и!= Т, «;(- ч'-'((г-",х...,,р !а)."х 1, « ... !, а'- ! о Хг(х'! Л ... Л дх'а Л ...
Л с(х', где символ наа с!х а означает, что лгх а нужно опустить. Тождество !о=!(!тго)+а!(Уы) доказывается прямым вычислением. Используя задачу 3.32, имев!! / ! шр )-1. ~ '(!'! ',„„„,,а !а)»*',! г, « ... !, о Л!г+ ! а ! ! ~, ~! — О'-''(!'!и,(аи..„о(ь!а) Х ! « ...
!! а-! )-! ! о Ххал!х Лг!х!Л ° ° ° Лс(хаЛ ... Лс!х!. (Почему вместо Г появилось ! Г) С другой стороны, а !!ог= ~ ~ !)у(со! !)о!х! Ло1х" Л ... Лс(х' !! « ... !! ! ! 114 4. Интегрирование по цепям и. применяя / к форме (1+!)-и степени Ао, получаем я / »!»» — д,' д,'[[»о,(,,)!»»»»~ '» нЛ... 1,«...!! 1-1 О ...Дг(х !— я 1 / 1 — ~» -'[[»'о,(,,р >»»~ к ! «...1, )-1а-! 1 о ;«( х а г(х! /г агх" /т, ...
/т ~х'а /т ... /т агх!!. При слои<енин полученных выражений тройные суммы взаимно уничтожаются и мы будем иметь с((/ы)+/(а!го) = 1 »»*»»»)» "ъ...о»*"-> '! "''! 1, « ... !! +т 2. [ ",(....,.,,)«» [" л л* ! «...1,)-! о 1 / ! »» .1»» )» ц.....». = 4 Лт( 1, « ... !! е х' Л ., / 4х' = ы. ° »!. - !1 », « ° ° !! Задачи 4.!3. а) Пусть /: йп-эйп' и йп йп» -« ЙР.
Показать, что (л'«/), = а„ /„и (й Д' = /" л". б) Показать, что если /, йп й" -ь й, то»((/а) = / »(й+ а»(/ 4.14. Пусть с — дифференцируеиая крнвая в й", т. е, лифференцируечая функция с: [О, 1[ -ь Й". Определим касапгельный вектор о к кривой с в точке ! формулой с„((г!)!) =((с')'(!)...., (сп)'(!)),. Показать, что если /: Й"-ьй«т, то касательным вектором к кривой /«с в точке ! служит /„(о). 4.15. Пусть /; й-ьй и кривая с: й — »й' определена формулой с(!) =(т, /(!) ). Показать, что конец касательного вектора, Полл и формы 11б проведенного к кривой с в точке Г, лежит иа касательной к гра- фику у, проведенной в точке (Г, у (Г)). 4.16.
Пусть кривая с: [О, 1]-ь йп такова, что ~с(Г)1=1 для всех Г. Показать, что с (Г), „и касательный вектор к с в точке 1 перпендикулярны. 4,'17. Пусть у: йп -ь й". Определим векторное поле 1 фор- мулой 1(р) = У(р)рРйр. а) Показать, что любое векторное поле Р на й" есть поле вида 1 для некоторого у. б) Показать, что б(т1= 1гу' '). 4.18. Пусть у: й" -ь й. Определим векторное поле ягабу формулой (огай У) (Р) = Р,У (Р) ° (е,)р+ ... + Рлр(Р) .
(еп)р. Очевидно, можно писать также ягаб у = ту. Полагая ру(р) ю доказать, что Р у(р)=-(о, г), и вывести отсюда, что ту(р) является направлением наиболее быстрого изменения функ- ции у вблизи точки р. 4.19. Пусть Р— векторное поле на й'. Определим формы ыь~. — — Рг г(х+ Рз г(у + Рз г(е, ызп = — Рг ггу д гге+ Рт сге уг ггх+ Р г(х уг «у, „3 =(Р!+Рт ' Рз) 1, И а) Локазать. что 1 ылыд у и(ы„') =м,'„„„, г(Ы="а Р б) Используя (а), доказать, что сит( (нгаг( У) = О, бгт (сщ)Р) = О. в) Показать, что если Р— векторное поле на звездном откры- том множестве А и сщ1Р=О, то Р=йгабр для некоторой функции у: А — ьй.
Аналогично, в случае б1тР=О показатгь что Р= сиг16 для некоторого векторно~о поли 6 на А. 4.хй. Пусть У: (Г-ьй" — дифференцируеиая функция, имею- щая дифференцируемую обратную У '. У ((У) -ь й . Предпо- ложим, что всякая замкнутая форма на у((Г) точна. Показать, что то же верно для (г. (У к а ванне: при ггы=О и у*в= г(т) рассмотреть (у ) та) ') ггу' — след матрицы /' — определяется как сумма всех элементов, стоящих на главной диагонали. — Прим. перев. 116 4.
Интегрирование по ценам 4.21*. Доказать, что ив= — уйх+ — хйу х'+ у' х' + ул на всей области определения 6 (задача ЗА1]. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ГЕОМЕТРИИ Сингулярныл» и-л~ернылл кубом в А называется непрерывная функция с: ]О, 1]и-ь А (где ]О, 1]" означает и-кратное произведение ]О, 1] Л( ... Х ]О, 1] и А — открмтое ьнложество в ]1 с т)~и). Обычно Кз и ]О, 1]" обозначаются символом [О], Тогда сингулярный нульмерный куб в А есть функция у! ]0) — ь А, нлн, что то же самое,— точка в А.
Сингулярный одномерный куб часто называют кривой. Особенно простым, но и особенно важным примером сингулярного и-мерного куба является стандартный и-мерный куб I":]О, 1]" — «]с", определяемый равенством !"(х) = х для всех х ~ ]О, 1]". Нам нужно будет рассматривать формальные суммы сингулярных и-мерных кубов в А. умно;кенных на целые коэффициенты, т. е. выражения вида 2с, +.
Зсг — 4сз, где с,, сз н сз — сингулярные и-мерные кубы в А. Такая конечная сумма сингулярных и-мерных кубов с целыми коэффициентами называется сингулярной и-мерной цепью в А. В частности, сингулярный и-мерный куб с рассматривается тзкже как сингулярная и-мерная цепь 1 ° с. Сингулярные и-мерные цепи можно естественным образом складывать и умножать на целые числа, Например, 2 (с~+ Зсл)+ ( — 2) (сг+ сз+ сз) = — 2сз — 2сз+ бсл, Для каждой сингулярной и-мерной цепи с в А мы определим сингулярную (и — 1)-мерную цепь в А, называемую границей цепи с и обозначаемую дс. Границу для ]г, например, можно было бы определить как сумму четырех сингулярных одномерных кубов, проходимых против часовой стрелки вдоль границы ]О, 1]з, как указано на рис.
4А, а. Но на самом деле вначительно удобнее определять длз как сумму с указанными коэффициентами четырех сингулярных Предварительные сведения ив геометрии 117 одномерных кубов, изображенных на рис. 4,4, б. Точное определение д/' требует некоторых предварительных понятий. Для каждого индекса 1 от 1 ло и определим два Р и с. 4,4, сингулярных (и — 1)-мерных куба 7~г,гз и 7~г, и следующим образом. Для каждого х~(О, 1)' положим Яз>(х)=У~(х~, ..., хг, О, х, ..., х ~)= =(х', ..., х'-', О, х', ..., х '), угг,п(х)е У (х, ..., х, 1, х...,, х )= =(х', ..., х'-', 1, х'...,, х" ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
