1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 11
Текст из файла (страница 11)
АХ В А А 1 в )" Г=)'в=)" (г)'П*, егф*. Ахл А А~,В (Интегралы в правой части называются аогторными интегралами для У.) Доказательство. Пусть РА — разбиение для А и Рв — разбиение для В. Вместе они лают разбинение Р для А К В; каждый парал лелепипед 3 которого имеет вид ЗА',х Зв, где ЯА — параллелепипед разбиения РА, а 5 — параллелепипед разбиения Рв. Тогда 1.(У, Р)=2~та(У)оФ)= Х тг хг (Л'и(БАХ Вв) ~е ~2~~тз хг (г)о( в)) ™( А) Но если х~ ЗА, то, очевидно, т „е Я <т (у)).
СлеЗАХЕВ гв довательно, для всех х ~ЗА имеем Агтг Хг (г)О("В)< Х та (Кг) О("В)'4 <г. ) д„=-У(х). в Поэтому ~ (~хе тз хе (г ) о ( в)) о (~А) < ~ (-л РА). Таким образом, ~И,Р) <У-('Е, РА) <и(Я,РА) <и(и, РА) <и(У,Р), где последнее неравенство доказывается совершенно так же, какпервое. Нотаккак г'интегрируема, то гир(г (У, Р)) = =)п( (У(у, Р)) =- ),у. Поэтому Ах в зпр (). (.У, РА)) =)и) )У(.У'.
РА)) = )',г'. АХВ Теорема Фвбини Другими словами, .х" интегрируема па А и ~ Г'= ~ .х'. АХ В А Утверждение для г( следует из неравенств г (Т Р) <г.(Т, РА).<((У, РА) < <и(гг, „) <(т(у, ~'), И 3 а м е ч а н и я. 1. Аналогично доказывается, что ~ /= ~ 1'1. ~ У(х, у)г(х~1г(у = ~ (() ~ Т(х, у)дх~г(у. АХВ В ~ А / В ~ А Эти интегралы называются повторными интегралами для г', взятыми в обратном порядне по сравнению с выбранным в теореме.
Как видно из задач, возможность перемены порядка интегрирования в повторном интеграле имеет многочисленные следствия. 2. На практике часто встречается случай, когда В, интегрируема для всех х~ А, так что 1 г = 1Ц и., Вел.. Ахв А 1в Это заведомо имеет место, когда Т' непрерывна. 3. Самое худшее, с чем обычно сталкиваются на прантине, это неинтегрируемость д'„ для конечного числа точек х ~ А. В этом случае .ли(х) = ~ г'(х, у)ду лля всех в значений х, кроме этого конечного множества. Так как .Х' не изменяется, если .9' переопределить в конечном А числе точек, то все еше можно писать 1 г-(((и.. еее) *. АХВ А 1,В считая, что интегралу ~ Т(х, у)ггу, когда он не суще- В ствует.
придано произвольное значение, скажем О. 4. Вывают случаи, когла этого нельзя сделать и теоремой 3.10 приходится пользоваться в том виде, как она 3. Иигеерирование сформулирована. Пусть )': [О, 1[ Х [О, 1]-+[а определена условнямн 1, если х иррационально, 1, если х рационально и у иррационально. У(х, у) = 1 — —, если х= — — несократимая дробь и р в у рационально. ! Тогдаг ннтегрируемаи ~ у'=1.
Но ) г(х,у)лгу=[, !о, и х !о, и о если х иррационально, н не существует, если х рацио! нально. Псэгому если интеграл гг(х) = ) г (х, у)![у, когда о он не существует. положить равным нулю, то функция л будет неинтегрируемой. 5. Если А = [а,, йг] 'оо,'... '!г, [ал, !за[ и у: А — ьК— достаточно хорошая функция, то повторное применение теоремы Фубини дает б. Теорему Фубини можно использовать и для вычисления ) У, где С~ А, поскольку этот интеграл по опре- делению равен ) усу. Пусть, например, С = [ — 1 1] Х [ — 1 1] ' Кх у): [(х.
у) [ < 1]. Тогда ! ! ! г!, л! «.!, »лл) л*. с -! -! Но 1, если у ) [!е! — ха нля у л- — у' 1 — хо, Хс(х у) = О во всех остальных точках. Тесле.ка Фубили Поэтому 1 ( у(х у)Хс(х. у) "у= -У1-х г(х у)ь(у [ ) у(х, у)ь)у. Вообще основная трудность при получении выражения для ~ у, где С~АХВ, состоитв определении СП([х)ХВ) с дли х ц А. Если легче определить С П (А Х [у[) для у ц В, то следует воспользоваться повторным интегралом ]т= ](]т( с р ~*,ьш ]Ф с втл Задачи Зха.
ПустьСсАХ — множество объеме 0 и А'ь=А— множество всех хсА, для которых (ус~В; (х, у) сС) л. имеет объем О. Показать, что А' — множество меры О. Указание: ~„,ррв, ] „,-] -]х, „, ]р —,у>-о) лхв л л л 3.24. Пусть Сг- [О, 1]Х [О, 1] — объединение всех множеств [ьтт] Х [О 1! Ф) где р4 — несократимые дроби из [О, 1).
Показать, что для множества С слово .мера" в задаче Ъ23 нельзя заменить словом .объем". 3.23. Используя индукцию по л, показать, что [аь Ь,) Х ... ... )([а„, Ьь] не может иметь меру 0 (или объем 0), если аь < Ь1 для каждого П Зхб. Пусть В [а, Ь] — ьй — интегрируемая неотрицательная функции и Ау= [(х, у): а < х <Ь и 0<у <у (х)). Показать, ь что иножество Ау измерима по Жордану и имеет площадь ) У.
а 3.27. Показать, что если В [а, Ь) Х [а, Ь)-ь й интегрируема то ь т ь ь [ [ У(х, у)пх~Ку [ [ У(х, у)пувх. а а 8. Пнтегрировпние (У к а з а н н е. вычислять лвумя раз щчныин способамн с с подкодвще подобранным множеством С ~[а, Ь] Х [а, Ь].) 3.28в. Используя теорему Фубнни, дать простое доказательство того, что Р, тУ= Р„,У, если вти смешанные производные непрерывны.
(У каза н и е; если Рь ву(а) — Рт, пг'(а) > О, то Ро вУ вЂ” Рз, У > О на некотором параллелепипеде А, содержащем а.) 3.2й. С помощью теоремы Фубннн вывести выражение длн объема множества в й', получаемого вращением вокруг оси х множества, лежащего в плоскости ух. ЗЛО. Пусть С вЂ” множество нз задачи !.!7.
Показать. что ( [ ч о и «.) «»- [ ( [ .,( ..>о) . — . !о, ц т(о, ц l !о, 1!(,КСц но ~ Х не существует. !о, ц х (о, ц 3.3!. Пусть А = [аь Ь,] К... Х [ап, Ьп],у. А — » й — непрерывная функция н Р: А — «й определена равенством Г(л) = [ви х'] Х ... х [аж в ] Какова будет тогда Р;Р (х) для внутренних точек х параллелепипеда Аг 3.32в.
Пусть у: [а, Ь] К[с, й] -«й и Р,у непрерывна Поз ложны р (у) = ~ у(х, у) бх. доказать правило Лейбница: а ь ь Р'(у) = ( РтУ(х, у)бх. Указание; Р(у)= ~ У(х,у)ах и а ь,у птипв~+1и, ))~,~ пв» б- а в дет видно, что непрерывность Рзр можно ззмевить значительно более слабыми предположениями. 3.33. Пусть у: [а, Ь] )( [с, б] -«й, Рву непрерывна и х р(х, у) — ~] у(т, у)м. и Разбиение единицы а) Найти В,Р и 1)гР егю б) Найти' 6'(х), если 0(х)= ~ у(г, х)дг. и 3.34' Пусть яь йт: й' -ь й — непрерывно дифференцируемые функции причем О ( ех = Отй ( Как и в задаче 2.21, положим Х т у(х, у) = ~ д, (д О) йг+ ( и, (х, г) дд а а Показать что В,у(х, у)=е,(х, у).
335'. а) Пусть рд йи-ьй" — линейное отображение с матрицей или (где вторая матрица содержит в точности одну единицу вне диагонали). Показать. что объем образа е(У) любого параллелепипеда У равен ! де! е !о (У). б) Доказать, что ! де! я )о(У) есть объем образа я (У) для всякого линейного отображения йт й"-ь И". (У к а за н ие: если бе!е+ О, то я есть композиция линейных отображений рассмотренного в а) тина.) 3.3б. (Принцип Кааальери.) Пусть А и  — измеримые по Жордану множества из И', А = ((х, у). (х, у, с)сА) и В,= = ((х, у): (х, у, с) тВ). Предположим, что А, и В, для каждого с измеримы по Жордану к амеют одинаковую площадь. Показать, что А и В имеют одинаковый объем.
РАЗБИЕНИЕ ЕДИНИЦЫ В этом параграфе вводится понятие, имеющее чрез= вычайно важное значение в теории интегрирования. 3.11. Т е о р е м а. Пусть 6 — открытое покрытие множества А<=И". Тогда существует такое семейство Ф функций ф гсласса С'", определенных на некотором открытом множестве, содержащем А, что Ц О ъ,ср(х) (1 для каждого х ~ А; 3. Интегрирование 2) для каждого х ~ А существует такое открытое множество )г, содержащее х, что только конечное число функций из Ф отлично на )г от нуля; 3) ~ ф(х) =1 для каждого х~ А (е силу (2) зта чеФ су.нма для каждого х ~ А конечна ни некотором открытом .нножеетее, содержащем х(; 4) для есякого ~р~с1з сущестеует такое открытое множество У из Ю, что ф=О зне некоторого за,икнутого множества, содержащегося е У.
(Семейство Ф, удовлетворяющее условиям (1) — (3), навывается С -разбиением единицы для А. Если семейство Ф удовлетворяет также условию (4), то говорят, что оно подчинено покрытию 6. В этой главе будет использоваться только непрерывность функций ф.) Доказательство. Случай 1. А компактно. Тогда некоторое конечное семейство Ун ., У„открытых множеств из 6 покрывает А.
Очевидно, достаточно построить разбиение единицы, подчиненное покрытию (Уп ..., У„). Найдем сначала компактные множества О,г=Ун внутренности которых покрывают А. Множества Ог строятся по индукции следующим образом. Предположим, что О,, Ол выбраны так, что (1п! Оп ... ..., 1п10ь, Ул, и ..., У„) — покрытие А'). Положим Са „= А ~ (!п! О, () ... () ! п1 Ол () Уг „г () ... () У е).
Тогда множество Сл.,г=Уге, компактно. Следовательно (задача 1.22), можно найти такое компактное множество Оь+и что Сг+,с(п!Ог„, и Ог,„,~Уь,, Построив множества О,...., 0„, можно для каждого ! выбрать неотрицательную функцию ф, класса С, положительную на О, и равную О вне некоторого замкнутого множества, содержащегося в У, (задача 2.26). Так как (Оп ..., 0„( покрывает А, то ф,(х)+ ... +ф„(х) > О для всех точек х из некоторого открытого множества У, содержащего А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
