1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если О,У(х) существует для всех х~(1", то мы получаем функцию ОьГ": Рс"-ьц. Ее гкя частная производная в точке х, т. е. О~(О;~)(х), часто обозначается О, ГУ(х). Заметим, что эта аапись обращает порядок ( я у. На самом деле порядок обычно неважен, поскольку для большинства функций (по поводу исключений см. задачи) О, ~7 = Од,('. Существуют различные тонкие теоремы относительно условий, обеспечивающих это равенство; следующая теорема вполне достаточна. Мы сформулируем ее здесь, но доказательство отложим (задача 3.28). 2.6. Теорема.
Если О, ~У и Олью непрерывны на открытом множестве, содержащем а, то Оп,У (а) = Од ьр(а). Частныв производные Функция Ог 1у называется (смешанной) частной производной второго порядка функции У. (Смешанные) частные производные высших порядков определяютсв аналогично, Очевидно, что прн надлежащих условиях теорему 2.б можно испольэовать для доказательства равенства (смешалных) частных производных высших порядков.
Если у' имеет частные производные всех порядков, то порядок индексов Р и с. 2.2. 1п ..., 1в в 0ьг, „ь„У совершенно неважен. Такие функции называются функциями класса С . В последующих главах часто будет удобно ограничиваться рассмотрением функций класса С , В следующем параграфе частные производные будут использованы для отыскания производных. Онн имеют также другое важное применение — для отыскания максимумов функций.
2.6. Теорема. Пусть Аь-(сь. Если максимум (или минимум) г: А »К достигается во внутренней точке а мнозсесогва А и 0,1'(а) сугавствует, то ОьУ(а)=0. Лака зат ель ство. Пусть д,(х)=г"(х', ..., х, ... ... х"). Очевидно й, имеет максимум (илн минимум) в аг 2.
ЛиФФеленчилованве и определена в открытом интервале, содержащем а'. Следовательно, ОеУ(а) = л,'. (а') = О. ° Читатель помнит, что обращение теоремы 2.6 неверно даже при л=1 (если у; К-ь(с определена равенством 1(х) = хз, то у'(О) = О, но 0 не является даже локальнын максимумом илн минимумом). При л .ь 1 невозможность обращения теоремы 2.6 может проявляться довольно эффектным образом.
Прелположим, например, что г: 1(т-+К опрелелена равенством у (х, у)= хе — уэ (рис. 2.2). Тогда Е),у (О, О) = О, ибо л', имеет минимум в О, а 0а/(О, 0) =. О, ибо лэ имеет максимум в О. Очевидно (О, 0) не является точкой ни относительного максимума, ни ОтнОсительного минимума. Если для отыскания максимума илн мниимуиа функции г" на А используется теорема 2.6, то значения / в граничных точках должны быть рассмотрены особо — это нелегкое дело, поскольку границей А может быть все А.
Один из способов справиться с этим указан в задаче 2.27; более же сильный метод. который часто используется, изложен в задаче 5.16, Задачи 2.17. Найти частные производные слелуюших функций: а) у(х, у, е)=хе, б) У(х, у,е)=е, в) У(х, у) = з1п(хз!ну), г) У (х, у, е) = з1п (х е1п (у е1п е)), д) у(х, у, е) = хт, е) у (х, у, е) = ху ', ж) У(х, у, е) =(х+у)*, з) у (х, у) = з1п (ху), н) У (х, у) = [з1п (ху))'" з, 2.18.
Найти частные производные следующих функций (где йе Й-ьм непрерывна): хээ а) у(х, у)= ~ О б) У(х, у) = У 41 Частные произаодньге ку в) у (х, у) = ) д, а У) г) у(х, у) = кк 2.19, Найти Р,у(1, у) в случае. иогда У(х, у) =х» + + (!их) (агс !и (агс !и (агс !п(з!н (соз ху) — !и (х+ у))))). (У к азан ие: зто можно сделать очень просто). 2.И, Выразить частные производные у' через производные функции л и й, если а) у(х, у) л(х) Ь(у), б) У(х, у) =й(х)агтГ, в) у (х, у) = д (х), г) у (х, у) а (у) д) у'(.х. у) =и(х+у). 221*. Пусть дц лг: ((г — ай непрерывны и г' й'-ай определена равенством у(х, у) ~ Л, (Г, О) ат -(- (Г дг(х, Г) гГГ, а) Показать, что Рту (х, у) = л,(х, у).
б) Как следовало бы определить у, чтобы РкУ(х, у) = л,(х, у)7 в) Найти такую функцию У: 11'-» й, у которой Р,У(х, у) = х и Р,у (х, у) = у, и такую функцию, у которой Р,у(х, у) =у и РеУ(х, у) = х. 2.22'. Показать, что функция У; й'-эй, у которой Рьг' О, не зависит от второй переменной. Если же Р,У=Рту"=О, то у †постоянн. 2.23*. Пусть А = ((х, у): х < О или х) О и у =~0).
а) Показать, что функция г' А-ьй, у которой Р|г = Рег'=О, постоянна. (У к а з а н и е; любые две точки в А можно соединить ломаной, каждое звено которой параллельно одной из осей.) б) Найти такую функцию У: А-ь(1, что Р,/=О, ио У не независима от второй переменной. 2.24. Определим У! й' -ь й равенством хе — уг ху, т при (х, у) +О. у(х, у) = х'+у' О при (х, у) О. 2. Лиффереяиироеание а) Показать, что Рлу (х, 0) = х для все:с х и Р,у (О, у) = — у для всех у. б) Показать, что Рс,р(0, 0) чи Рк, ку(0, 0) 2,25'. Определим у;.
йе -ь й равенствам е х при .к+О, у (х) = О при х= О. Показать, что у есть функции класса С и уп1 (0) =0 для 1 Ь -л-о всех 0 Указание: предел г'(0)= 1нп = 1нп л.+о л ь+о ел ' можно вычислить по правилу Лопнталя; довольно легко вычиСЛяЕтСя у' (Х) При Х то О, а тОГда у'(О) = 11Ю у'(Л) МОЖНО НайтИ л.+о по правилу Лопиталн.) 2.26'.
Плоть -(к-О о (хо г) о при х г. ( — 1, 1), у(х) = 0 а) Показать, что у. й-ьй есть функция класса С, положительная на интервале ( — 1, 1) и равная нулю во всех остальных точках, б) Показать, что существует такая функция е: й -о [О, 1[ нласса С , что и (х) = 0 прн х: 0 и я (х) = 1 при х < с. У казан и е: положить и (х) = ~ У ~ [ у, где у" — функция о о класса С, положительная на ингервале (О, е) и равная пулю во всех остальных точках.) в) (упределллм при заданном а~йо функцию рр й"-+й равенством п(х) =у( [х' — а']'е) ... ° у( [х" — а"[,'с).
Показать, что е — фу.нкцня класса С'"', положительная на (а' — с, а'+е) К ... )((ал — к, а" +с) и равная нулю во всех остальных точках. г) Показать, что длн всякого открытого множества А и компакта С ~ А существует такая неотрицательная функция К: А †> й класса С , что У (х) > 0 для всех х к- С н у (х) = 0 вне некоторого замкнутого множества, содержащегося в А. д) Показать, что указанную вг) функцию У: А-+ [О, 1)можно выбрать так, чтобы у (х) = 1 для всех х ~ С.
(У к а з а н и е: если функция у из г) такова, что У(х) ) с при х~С, то рассмотреть поУ, гдз х — функция нз 6).) 77роизводнае 227. Определим е, Ь: (х~й'. ) х) (1) -«К' равенствами ц(х, у) (х, у, )'1 — хь — у'), а«, л) ь, у, — и — — е:и). Показать, что максимум У на (х~К'. ) х) 1) есть либо максимум 7 е, либо максимум 7«Ь на (х~й«) х) (1).
ПРОИЗВОДНЫЕ Читатель, сравнизщий задачи 2.10 и 2.17, - вероятно уже догадался, что верно следующее утверждение. 2.7. Теорема. Если .7: К" — «К дифференцируема в а, то Р/~(а) существует для всех Д /: 1(1(т. 1 (/ ( и, и 7'(а) есть (т Х и)-матрица (Р7У (а)). Доказательство. Предположим сначала, что т=1, так что 7: К" «К. Определим Ь: К-«К" равенством Ь(х)=(а', ..., х...., а"), где х стоит на 7'-м месте.
Тогда Р Х(а)=(7'оЬ)'(ат). Но по теореме 2.2 (7 «Ь)' (аг) = У' (а) ° Ь' (а7) = 7' (а) ° 1 ч-1-е место. Так как (/ь Ь)'(а)) имеет Р 7(а) своим единстненным элементом, то это показывает, что 477 (а) существует и является у-м элементом (1 Х и)-матрицы 7'(а). Для произвольного т теорема следует теперь из теоремы 2.3, согласно которой каждая координатная функция 7' дифференцируема и 1-й строкой матрицы 7' (а) служит (яг)' (а). ° В задачах приведено несколько примеров, показывающих, что обращение теоремы 2.7 неверно. Однако оно верно при одном дополнительном предположении, 2.8.
Теорема. Пусть функция 7': К" — «К такова, что все частные производные Р)7'(х) существуют в не- 2. 7(ифференцировиние котором открытом множестве, содержащем точку а, и непрерывны в а. Тогда 7 дифференцируема в а. 1(оказательстэо. Как и при доказательстве теоремы 2.7, достаточно рассмотреть случай т=1, т.
е. /: К" — >К. Тогда ,7(а+Ь) — 7(а) =7(аг+Ьг, аг,... а') — /(а! ... ая)+ „! 7(а! ! Ь! ая~ Ья аз ап) У(а! ! Ь! а2 а«)+ ... + 7" (а'+ Ь'... „а" + Ь")— —.г г(а +Ь, ..., а" '+Ь" ', а"). Напомним, что 7)г/ есть производная функции и, определяемой равенством Л'(х)=/(х. ая, ..., а"), Применяя к д теорему о среднем, получаем у (а! ! Ь! а2 а«.) 7 (а! ая) =Ь' с)ьг(Ь!, ая, ..., а"), где Ь, — некоторое число, заключенное между а' и а'+ Ь!. Аналогично (-й член суммы равен Ьг0 г (а!+ Ь! ..., а' '+Ь! г, Ьг, ..., а") =ЬгТ)гу (с ) с некоторым со Тогда ~«« .««« — ««« — д «««.««') г-! 1!ю !Ь! н«« в я ~~~ !Еэгу (с!) — Вгг (и)! ° Ь' г-! =! !щ 1Ь! < ~(1!в ~) ( В,/(с!) — 7)г/(а) ~= О, я.>в г„! поскольку функции 0ь7 непрерывны в а. ° Хотя в доказательстве теоремы 2.7 было использовано правило дифференцирования сложной функции, легко можно было бы обойтись и беа него.
Поэтому после теоремы 2.8, дающей признак дифференцнруемости функций, и теоремы 2.7, дающей выражения для их производных. это Производные =(Р,~(х" (а)), ..., Р у(д(а))) Рга! (а) ... Р„у! (а) ~ Ргз,„(а) ... Рвй,„(а) Но Р,Р (а) есть Ый член левой части етого равенства, в то время как ~ ЦУ(аг(а), ..., д (а))Реет(а) есть г'-й т ! член правой части.
° Теорему 2.9 также часто называют правилом дифференцирования сложной функции, но она слабее, чем теорема 2.2, поскольку й' или Т могут быть дифференцируемы и без того, чтобы гг,. или / были непрерывно дифференцируемыми (см. задачу 2.32). Вычисления, опирающиеся на теорему 2.9, большей частью довольно просты. Некоторого ухищрения требует функция с'': гсз — «гс, определенная равенством еч(х, у) =у(у(х, у), Л(х), й(у)), где Ь, й: К-«К. Чтобы применить теорему 2.9, определим й, й! Кз -« г( равенствами И(х, у)=Ь(х), гтг(х, у)=й(у). правило могло бы показаться даже излишним. Однако оно имеет чрезвычайно важное следствие, касающееся частных производных, 2.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
