1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Функция У: Кг -» К не зависит от второй переменной, если для каждого х~й имеем /(х, у,)=у(х, у) для всех Ун У»~К. Показать, что У не зависит ог втоРой пеРеменной тогда и только тогда, когда существуег такая функция йп й — »К, что У(х, у) = д(х). Как выражается г"' (о, Ь) через Ьн? 2.3. Определить независимость функции У: К' -» К от первой переменной и найти у'(и, Ь) для таких у. !(ание функции ие зависят ни ог первой, ни ог второй переменной? 2лй Пусть д — непрерывная функция на единичной окружности ( х с К'.
! х ! = 1) и д (О, 1) = Ьг (1, 0) = О. д ( — х) = — л (х). Определим У: К' -» К условияин у(х) = (х! ~( — ) прн х ныл, )х! 0 ирн х О. Оеновнмв теоремы ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 3 а м е ч а н и е. Это равенство можно записать также а форме (я о У)'(а) =Е'(У(а)) У'(а).
При гп =и =р =1 получаем известное правило диффе- ренцирования сложных функций. Доказательство. Пусть Ь=У'(а), Л=-ЕЧ(а) и р = ОЕ (г (а) ). Положим гб (х) = гг (х) — у (а) — Л (х — а), (1) Ф(у) = Е(у) — а (Ь) — Р(у — Ь), (2) Р(х)=(К ~)(х) — (Ко,у)(а) — ()доЛ)(х а). (3) Тогда !1а =О, „!х — а! !!гн ! =О, б !у — б! (4) и иы должны показать, что Онп — ( — ) ь =О. е-+а !х По Р(х) = д'()'(х) ) — д(Ь) — !г(Л (х — а)) = =- Е (У (х) ) — я (Ь) — !г( у(х) — 1' (а) — ф (х) ) согласно (! ) = (я (г (х) ) — д (Ь) — !г (у (х) — г (а) )1 + ц (га (х) ) = =ф(7(х))+)г(ср(х)) согласно (2).
22. Теорема. (Правило дифференцироваи ия сложной функции.) Если г: мв-ьйм диффергнцируема е а и я: К" — ьКв дифференцируема в !'(а), то композиция дну'; К"-ьКе дифференцируема е а и Е)(до г")(а) =Од(у(а)) ю ЕЧ(а). 32 3 Дифференцирование Таким образом, достаточно доказать, что !1гп !3( (1)! =0 у.ье (6) Последнее же неравенство справедливо при ! х — а ( ( Ьг с надлежащим д, > О. Тогда ~чр(У'(х)) ! < е! Т(х) — д !=е)<с(х)-! — Х(х — а)',~( 4 с ( гр (х) 1+ еЛ( ! х — а / для некоторого Л4 (см. задачу 1.10).
А отсюда легко следует равенство (6). ° 2.3. Т е о р е и а. (1) Если г: К"-ьй"' — постоянная сдункцин (т. е. сугцествует такое у ~ )св', что Т'(х) = у для всех х~)1"), то 0Т(а) = 0 яри всех а~ !(", (2) Если Т: К" — ь и — линейное отображение, то ОУ(а) =У при всех а~!!". (3) Функция г: !!ь- !с дифференцируема в а~К' тогда и только тогда, когда дифференцируема каждая координатная функция г"', и ВТ' (а) = (ЕЧ' (а), ..., ОУ (а) ). Таким образо.н, У'(а) есигь (т Х п)-матрица, г'-й строкой которой с,гужит (г ) (а). (4) Если з.' Кгч-ь!с определено равенством з(х, у) = =х+у, ищ рвз(а, д) =в.
„„!ирс(х)) ! (Т) ! х — а1 Но равенство (7) легко следует из (4) и задачи 1.10. Далее, в силу (5) для всякого е > 0 существует такое Ь > О, что ~ ф (у (х) ) ( ч. с ! г (х) — д ! п ри ) У (х) — д,' ( Ь, Основные теоремы (о) Если р; Йз — > к определено равенством р(х, у) =. - ху, лго г)р(а, д)(х, у) =дх ' ау, гиок чпго р'(а, Ь) =:(Ь, а). Доказательство.
(1) 1нн „ == !ни 1У(а+а) — У(а) —,О 1у — у — О! = О. в->о 1Ь! в в 1Ь! 1l (о+а) — У(а) — 1(Ь) ! 1Ь! = 11нз ' У (а) -'; — г' (Ь) — У (а) — У (Ь) ! — О. в->О !Ь1 (3) Если каждая координатная функкия г' дифференнируема а а и ) = — (ОУ' (а), ..., Вг "(а) ), то г'(а-1-Ь) — У(а) — Х(Ь) = =(Р(а+Ь) Г'(а) — ЕЧ'(а)(Ь), ... ..., 1'"(а+Ь) — г'"(а) — ОУ" (а)(Ь)) и потому !!он 1 у (а + Ь) у (а) — Ь (Ь) ! л->е 1Ь! в (1! гп 1,~' (а + Ь) — у г (а) — В1г (а) (Ь) ! — О, Ь,О. !а! ;=о Если же, с другой стороны. г дифференнируема в а, то )'=н'> г дифференнируема в а в силу (2) и тео- ремы 2.2. (4) Следует из (2), (5) Г!усть ) (х, у)=Ьх+ау.
Тогда 1Р(а+Ь, Ь+Ь) — Р(а, Ь) Ь(Ь, Ь)! 1,.„„!ЬЬ1 оьц. о ! (Ь, Ь)! (ь, Ю-+о1(Ь, Ь) !' 110 ~,Ь!', если )/г)((Ь1, ! Ыг ~ а (,'Й!', если !Ь! (!Ь!. 2 Дифференцирование Следовательно, [ ЬЬ [ «( [ Ь ['+ [ Ь ['. Поэтому [(л, а)[ )'и +т так что | Аа| 1|Щ [~"'л)1=0 е 2.4. С л е д с т в и е. Если у, гг; К'-+ К ди(Ьференпи-, руеми в а, то 0 ( Г + д) (а) = 0 [ (а) + 0и (а), 0(Я~) (а) = и(а) 07 (а)+г" (а) 0и(а). Если, кроме того. и (а) ~0, то [У'1 л(а) РУ(а) — У(а) Ре(а) [л/"- [е (а)]е Доказательство.
Мы докажем лишь первое равенство, предоставив остальные читателю. Поскольку у+ й = в е()', д), имеем 0(у'+ и) (а) = 0в (у'(а), л'(а) ) е 0 ([, се) (а) = = е ° (0 г' (а), 0д (а) ) = 0г' (а) + 0д(а). ° Теперь нам гарантирована дифферепцнруемость тех функций У: К" — ьК'е, координатные функции'которых получаются путем сложения, умножения, деления и композиции функций и' (являющихся линейными отображениями), и тех функций, дифференцируемость которых установлена в элементарном анализе. Однако нахождение 0г" (х) илн у'(х) может оказаться довольно сложным делом. Пусть, например, у: Кв — ьК определена равенством у'(х, у)=в|и(ху'). Так как у=в|не(п' ° [пв['), то мы имеем у'(а, Ь) = в|и'(аЬг) ° [Ьв(п1)'(а, Ь)-[- а([и'[г)'(а, Ь)[ = =в|и'(абг) ° [Ьг(п')'(а, Ь)+2аЬ(пг)'(а, Ь)] = =(сов(адг)) [Ь'(1, О)+2аЬ(0, 1)]= =(Ьгсов(аЬг), 2адсов(аЬг)).
К счастью, мы найдем вскоре значительно более простой способ вычисления ~". 35 Основные теоремы Задачи 2.!О. Используя теоремы этого параграфа найти /' лля г юдующик функций: а) /(х, у, «) = ху, 6) /(х, у, «) = (ху, «), в) / (х, у) = 5!п (» 3!п )'), г) /(х, у, «) = я!и (х Ып (у в)п «) ), д) /(х, у, «) = ху, Е) /(Х, у, «) = ХУ Ее, ж) /(х, у, «) = (х-)-у)'. з) /' (х, у) = з)п (ху), н) /(» у) (з)п (ху)1ееез к) / (х, у) = (в!и (ху), э)п (х в)п у), ху). 2.11.
Найти /' в приводимых ниже примерах (где йп (1-ь(1 непрерывно): «у а) /(х, у)= ~ д, б) /(х,у)= ~ и, е!и гх Ме (у е)е е) ) в) /(х, у, «)= »У 2.12. функция /: Рв)С((ег — у((р называется билни аной, если для любых х, х,. х,~йе, у, у,, у,Е((ег и аЕ(1 ,г'(ах, у) = а/ (х, у) = /(х, ау), / (х) +»е, У) = / (» и У) + ./' (»е, У), /(х, у, +у,) =/(х, у,)+/'(х, у,).
а) Доказать, что если / билинейна, то !Оп ' =О )а,а).уо К" е)! 6) Доказать, что /У/(а, б) (х, у) =/(а, у)+/(х, Ь). в) Показать, что формула для /)р(а, в) в теореме 2,3 есть частный случай пункта 6). 2.13. Определим ') /Р: ((е ~((е-ь(( формулой /Р(х, у) = (х, у). а) Найти /)(/Р) (а, Ь) и (/Р)'(щ Ь). ') /Р— сокращение от !ппег ргобнс! (внутреннее произведение), — Прим. перев. 2. Лнфферендяроеание б) Показат~, что если У, е: й — >йл днфференцпруеиы и дп Й чай определено равенством 6 (1) = (у(т), л (т)), то (Заметим, что у' (а) есть (и К 1)-матрица, транспонпрованная матрица 1 (а) есть (! еб п)-матрица, которую мы рассматриваем как элемент нз Й".) в) Показать, что если Г; й ь й" днфференцируема и ! у(1) ! =! для всех й то (у" (1)~, у (1)) = О.
г) Дать пример дифференцируемой фузкции у: Й -ь Й, для которой функция (У ), определяемая равенством 1 у ) (т) = (/ (1)1, была бы недифференпируечой. 2,14. Пусть Е; (1=-1, ..., Л) — евклидовы пространства различных размерностей. Функция У: Е, )х,' .. зб Ел -ь Йл называется полнлин йной, если црн любом выборе точек х(~с ЕЕ у чи 1, функция л: Е; — >ЙЛ. определяемая равенством л(х) = у'(хц..., х,, х, х;, ц..., хь), лннейна. а) Показать, что если у — полилииейная функция и т' + У, то для й = (йц ..., Ел), где а~ се Еь )У (ац ..., 6и ..., ди ..., ал),' а+з ' й( (Указание.
Функция е(х, у)=„Г(ац ..., х,..., у,..., аа) билинейна.) б) )(оказать, что Ру (аь ..., ае) (хо ..., хл) т' (аь ..., а; ц х„аы ь .... аь). э 2.15. Будем считзть (и Х и)-матрицу точкой произведения й" и,' ... 'и' ,й" и экзеипляров пространства й", рассматривая каждую строку как элемент из й". а) Доказать что бе1: й" х' ,... К Й" -э й дифференцируем и а, Р (бе1) (аь .... а„) (хь ..., х„) = ~ де1 х, зт Частные нроизоодные б) Показать, что если а!р й -ь й дифференцнруемы и У(Е) = = бег(деЕ(Е)), то ап(0 ... д!о(Е) а)!(Е) ... аЕ„(Е) о У" (Е) = Х бе Е ! дю (П .. доо(Е) в) Пусть беЕ(а!)(Е) ) 4'=Одля всех Е, функции Ь„..., Ь„: й-ьй лифференцируемы, а функции зь ..., з„: й-ьй таковы, что (П (Е), ..., а„(Е) ) при каждом Е образует решение системы ~! дфз) (Е) = ЬЕ (Е), Е = 1, ..., и. Е 1 Показать, что все з! днфференцкруемы, н найти з! (Е).
Мб. Предположим, что функция у': йс-+йо дифференцнруема и имеет дифференцируеиую обратную У Е: й" -ьй". Показать, что(у ') (а)=[у (у (а))[ . (е'казанке! учесть, что (усу ) (х) = х.) ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Приступим к задаче отыскания производных по одной иа переменных. Пусть Е: К" — ьй и ац й". Предел У(д! де+ Ь дн) У(д! де) Игл л->о если он сушествует. называется Е-й частной производной функции Е" в точке а и обозначается Е:),е (а). Важно заметить, что Е)ьг'(а) есть обычная производная некоторой функции. А именно, О!Е (а) =й'(а!), где д(х) =)'(а!,..., х, ..., а"), Это означает, что Осу(а) есть угловой коэффициент касательной в точке (а, Е(а)) к кривой, полученной пересечением графика у с плоскостью ху=а), у'чь ! (рис. 2.1).
Это означает также, что вычисление 0ьг" (а) есть задача, которую мы уже умеем решать. Если функция у(х!, ..., х") задана формулой, в которую входят х', ..., х", то О!) (х', ..., х") находится дифференци- 2. Лифференяироеоние рованием функции, значение которой в х' цапается этой формулой, если считать все х~ при г'+1 постоянными. Например, если Дх, у) = з1п(хуа), то Оьг (х, у) уясоз(ху)т и Оэг'(х, у)=2хусоз(хуа). Если же 2(х, у) -хэ, то ОьУ(х, у) =ухг ', а ОтУ(х, у) =хэ1пх. Р и с. 2.1. После небольшой практики (решив, например, задачи в конце этого параграфа) читатель достигнет той же легкости в вычислении О,г, с какой он вычисляет обычные производные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
