1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ига функция )' будет обозначаться (д'н ..., а ), так что всегда 1=.Ц', ..., 3ы). Если л: К"-«рси — тождественное отображение, л(х) =х, то л'(х) = х'! функция л' называется 1-й проекцией. Запись Егп У(х) = Ь, как и в одномерном случае, к.+ а означает, что у'(х) можно сделать сколь угодно близким к Ь, взяв х достаточно близким к а, но не совпадающим с а. На математическом языке это означает, что для всякого числа е ) О существует такое число б ) О, что ! У (х) — Ь ( ( е для всех х, удовлетворяющих условию О(!х — а)к.,б.
Функция У называется непрерывной е лгочяе а, если 1!щ / (х) = У'(а), и функция г: А -«Рс~ называется (просто) к-«а непрерывной', если она непрерывна в каждой точке а~ А. Одной нз приятных неожиданностей, связанных с этим понятием, является то, что непрерывность можно определить без использования пределов. Из приведенной ниже теоремы 1.8 вытекает, что у: Кв-«11 непрерывна тогда и только тогда, когдз у (У) открыто для всякого открытого множества Ег<=К; если областью определения служит не зсе Рс', то требуется несколько более сложкое условие.
! финииии на !!кладовом вросгранстее 1.8. Теорема. Если А<:К", то Фрнкиик У; А — ьК непрерывна !во да и то."г!ко тогда, когда длк всякого открытого нколсестеа Сг !- К'" су!и(ествуел! такое открытое .нг!озкестео ]г!-К', дто / (ьГ) =]г П А. д о к а з а т е л ь с т в о. ]1редг!оложим, что у непрерывна. Если а ~,~ (С), то у(г') ц С'. Так как С! — открытое множес~во, то существует такой открытый параллелепипед В, чго ((а) с Вг:О.
Так как у непрерывна в точке а, то выбрав достаточно л!алый параллелепипед С, содержащий а, можно добиться, ч~обы Х(х) й В для всех х, — ! содержащихся в С. Слелагм это для каждого а~У (У), и пусть ]г -- объеднненре всех таких С. Очевидно, У (Сг) = е' П А. Доказат "льство обратного предложенив аналогично, и мы предоставляем его читателю.
° Из теоремы !.8 вытекает важное следствие. 1.9. Т е о р е м а. Есла,г! А — ь К'в неиреры яка и А компактно, то У(А) компакт"о. Доказательство. 1]усть 6 — открытое покрытие множества У(А). Для всякого (г й 6 существует такое -! открытое множество ]си, то У %)=]ггг() А. Семейство всех ]г является открыты"' покрытием множества А, Так и как А компактно, то неьоторый конечный набор множеств ]ги, ..., Уи пок]'ывает А. Но тогда множества е Г Вн ..., (У„покрывают г!А) ° Если функция (: А гК огРаничена, то степень ее отклонения от непрерывно'т" в точке ай А можно точно измерить. Для б ) 0 положим М(а, Г б) — впр ]У(х): х й А и ] х — а] е, б], т (а, /, б) =1п1 ] у' (л) ! х ~ А и ] х — а ] ( б) .
Колебание о(у, а) функции г в точке а определяется формулой о ~У, а) = йи [М а, У, Ь) — т (а, У, б)], а->о Этот прелел всегда суще.твует, так как лт (а, у, б)— — т(а, У', б) убывает при Убывании б. 25 Функции и непрерывность С о(у, а) связаны два важных факта. 1.10. Т е о р е и а. Ограниченная функция у' непреравна в точке а тогда и только тогда, когда о(г, а) = О. Доказательство. Пусть )' непрерывна в а. Для всякого числа г > О можно выбрать такое число Ь) О, что ! г" (х) — г (а) ~ < е для всех х ~ А, удовлетворяющих неравенству ! х — а ( (Ь. Тогда Я(а. г", Ь) — т (а, у', Ь) ~и 2е.
Так как это верно для всякого е, то о(Т', а) = — О, Доказательство обратного утверждения аналогично, и мы его предоставляем читателю. ° 1.11. Теорема. Пусть А~й' — замкнутое множество. Тогда для всякой ограниченной функции Г': А-ьй и всякого е > О нножество (х~ А: о(г', х))~е( замкнуто. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть В = [х ~ А: о (Т, х) > е(. !!окажеи, что й" х, В открыто.
Если х~ й" х, В, то ли(о х(А, либо х~ А и о(г, х) (е. В первом случае, поскольку А замкнуто, существует открытый параллелепипед С, содержащий х и такой, что С~йп", Ас=й" 'ч, В. Во втором случае существует такое Ь ) О, что А! (х, Т, Ь)— -- т. (х, !', Ь) с. е. Пусть С вЂ” открытый параллелепипед, содержащий х и такой, что !' х — у; ( Ь для всех у ~С. Тогда, если у Е С, то сугцествует такое Ьп что; х — г ( ( Ь для всех г, удовлетворяющих условию ( г — у ( ( Ьи Поэтому лИ(у, л, Ь,) — пг(у, Т, Ь,) с. е н, следовательно, о(у, у) ( е, так что С~йп', В. а Задачи 1.23.
Пусть В А-ьйы н С с: йы. В случае когда У взаимно однозначно, У '(С) было определено двумя спосооами. Показать, что они эквивалентны. 1.24. Показать, что функция В А — ь йы непрерывна з точке а тогда и только тогда, когда каждая координатная функции ус непрерывна. !.25. Доказать, что линейное преобразование Т: й" -ь йы непрерывно. (У к ь з а н н е: использовать задачу 1.10.) 1,26. Пусть А =- '((х, у) Ьйи х > О и О у С хг).
26 !. Функции на еенлидоеом нространстее а) Показать, что всякая прямая, проходящая через (О, О), содержит целый интервал с центром (О, О), принадлежащий й', А. б) Определим Л йс-ьй. положив ! (х) =О, если х(А, и т(х)=1, если х~А. Ллв каждой точки йЕйт положим у„(!)=1((И) Показать, что каждая функция лн непрерывна в О, но ! не непрерывна в (О, 0).
1,27. Локазать открытость множества [хайя: (х — а] се] путем рассмотрения функции у: йе-+й, где у(х) =[к — а]. 1.28. Локазать, что для всякого незамкнутого множества А~ й" существует неограниченная непрерывная функция у: А-ьй. (Указание: взяв неввутреннюю точку х множества й"", А, положить !'(у) = 1Л > — х ] ) 1.29. Локазать, что если А коьшактно, то всякая непрерывная функция у; А -ь й имеет наибольшее н наименьшее значения. 1.30.
Пусть !': [а, б] -ь й — возрастающая функция. Показать, е что ~ о(!', х1) < ! (б) — ! (а) длалюбьш точек х„..., хе~[а, б]. 1 йи4ференцирование ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Напомним, что функция у: К вЂ” ьК называется дифференцируемой в точке а~К, если существует такое число У'(а), что 1!в ~! + ) ) =у'(а). (1) ь+о Это равенство, очевидно, теряет смысл в общем случае функции у: Й~-ь)с~, однако ему можно придать форму, допускающую обобщение.
Пусть Л; К вЂ” ьК вЂ” линейное отображение, определяемое формулой Л(л) =У'(а) ° !!. Равенство (1) зквивалентно тогда равенству !!в у(о+ л) — у (о) — л (л) = О. (2) а+о Ь Последнее равенство часто интерпретируют так: Л(п)+ у (а) есть хорошая аппроксимация функции вблизи точки а (см. задачу 2.9). Сосредоточим теперь наше внимание на линейном отображении Л н переформулируем определение дифференцнруемости следующим образом, Функция у: К-+ !1 дифференцируема в точке а ц К, если существует такое линейное отображение Л: К вЂ” ь К, что Рв У( +л) У(о) Л(л) =О а.+о а В таком виде определение допускает простое обобщение на высшие размерности: Функция У: К" -ь К~ двфферениируема в точке а Е К", если существует такое линейное отображение Л: К" —: Рс"', что !у(о+а) — у(о) — л(а) ! ь+о !а! Я.
Дифференг(ирование Заметим, что д — точка нз К", а г (а+ гг) — У(а) — Л(гг)— точка из К . так что анаки нормы в этом определении существенны. Линейное отображение Л называется производной функции У в точке а и ооозначается Оу'(а). 2.!. Теорема. Если функция г' К"-ьКег дифферекцируе.ка в точке а~К", то существует единственное линейное отобрадкение Л: К"-ьК и!акое, что ! У (а + Л) — У (а) — Л (Л) ! Ипг (Ь! = О.
Ь-ьз Д о к а з а т е т ь с т в о. Предположим, что линейное отображение (г: К" — К удовлетворяет условию (гш ! .Г (а + Ь) — У (а) — И (Ь) ! = О. л-ьч !Ь! Полагая д(д) =У(а+ и) — У (а), получаем Игп ! () И()!= — Иш! ) ()+ Игп „= — Иш С(пп + Игп = 0 Но Гх-ьО при à — ьО для всякого х~К". Поэтому для х чьО имеем ! л Кх) — и (гх) ! ! л (х) — и (х) ! Следовательно, Л (х) = р,(х).
° В дальнейшем мы обнаружим простой способ отыскания г)г(а). Пока же рассмотрим функцию г': Кз — ~К определяемую формулой у (х, у) = з! и х. Покажем, что г)! (а, Ь) =Л, где Л(х, у) =(сова) ° х. Для этого заметим, что ! Г' (а + Л, Ь + Ь) — у (а, Ь) — Л (Л, Л) ! грь ь~ -ьэ ! (Ь Л) ! Иш ! зГп (а + Л) — зГп а — (соз а) ° Ь ! гь, лг-+о /(6, л) ! Но так как ьчп'(а) =сова, то ! згп (а (- л) — згп а — (соз а) ° ь ! Иш !Ь! — О. Основные определения Л поскольку ((й, й) )) ! й,, имеем также /Мп(аи й) — з!па — (сова) Ь! !(ь, ЬП Часто удобно рассматривать матрицу отображения !)г'(а); К" — »Кт относительно стандартных базисов в К' и К . Эта (т)с'п)-матрица называется матрицей Якоба функции у в точке а и обозначается у'(а).
Если у (х, у)= —.=.з!пх, то у'(а, Ь)=(сова, О). Если у': К-»К, то /' (а) есть (1 '?с, 1)-матрица.единственным элементом которой служит число, обозначаемое в элементарном анализе У'(а). !!роизводную В?" (а) можно определить и для функпнн у, заданной только на некотором открытом множестве, содержащем а. !!о рассмотрение лишь функций, определенных на всем К", упрощает формулировки теорем, не приводя по существу к потере общности.
Будем говорить, что функция у дифференцируема на множестве А, если г дифференцируема в каждой точке и~А. Функция г: А — »Кт будет называться дифференпируемой, если ее можно продолжить до дифференцируемой функции на некотором открытом множестве, содержащем А. Задачи Ы». Доказать, что если функция Г': Кн-»Кт дифференцируема в итйн, то она непрерывна в и. (У к аз ание: использовать задачу 1.10.) 2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
