1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Майкл Спивак Уолхзм, Массачусетс Август 19об Функции на евклидовои пространстве НОРМА И ВНУТРЕННЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Евклидово и-мерное пространвтво К' определяется как множество всех п-членных последовательностей (х', ..., х") вещественных чисел х („1-членная последовательность чисел" есть просто число, а К' =К вЂ” множество всех вещественных чисел). Элементы множества Кп часто называются его точками, а Рс', 1(г и Кз — прямой, плоскостью и пространством соответственно.
Если через х обоаначен элемент из К", т. е. последовательность из и чисел, то ь-е число обозначается х', так что х=(х', ..., х"). Точки из К" часто называются также векторами, нбо К', наделенное операциями х+ у =(х'+ у', .... х" + у") и ах=(ах', ..., ахв), действительно есть векторное пространство (над полем вещественных чисел, и-мерное).
В этом векторном пространстве К" имеется понятие длины вектора х, обычно называемой нормой ,'х ~ этого вектора и определяемой формулой ! х(=~/(х')г+ ... +(х")г. Если и = 1, то ! х ) — обычная абсолютная величина числа х. Очень важна связь между нормой и структурой векторного пространства К". 1.1. Теорема. Если х, убРс" и аЕК, то (1) ( х ~)~0, причем ) х ) =0 тогда и только тогда, когда х=(0, ..., О); 12 й Функции на евллпдовом простропстве л (2) ~'., х'у' (! х ( ° ~у), причем равенство имеет ! 1 место тогда и только тогда, когда х и у линейно зависимы; (3) ) х+ у ~ ( ( х )+ ! у !„.
(4) ! ах ~ = ( а ! ° ) х !. Л о к а з а т е л ь с т в о. (1) Предоставляется читателю. (2) Если х и у линейно зависимы, то очевидно, что имеет место равенство. Пусть х и у линейно независимы, т. е. ).у — х Ф (О, ..., О) для всех )ь Е К.
'Тогда О ( ) Ху — х |г = ~ (йу! — х!)г = ! ! л л л ) г ~и~ (у!)г 2) ~ч х!у ( ~я~~ (х!)г ! ! ! 1 т=! Поэтому квадратичный трехчлен относительно Х, стоящий в правой части, не имеет вещественных корней. Значит, е. 4,,"~~ хгу' его дискримннант отрицателен, т л л — 4 ~ (х')г~ (у')г(0. г-! ! ! л л л (3) ) х + у !г —— ,рг (х + у )г = ~~'.~ (х )г+ ~, (у )'+ ! ! ! ! ! 1 л + 2 ~Р~ х'у! ( ( хг (+ ~ у ~г+ 2 ) х ~ ° ( у ( = ( ! х (+ !' у !)г.
,Г л Г (4) !ах)= ~гг ~~'., (ах!)г= ~гг а' ~ (х!)г= ! г-! = ( а ~ ° ~ х ~. ° ') л Выражение ~ х'у', входящее в (2), нааывается вну- ! 1 тренним произведением ') векторов х и у и обозначается !) Здесь н в дальнейшем знаком ш обозначается конец доказательства. — Прим. перев. ') В нашей литературе общеврннят термин .скалярное произведение', однако мы предпочитаем сохранить терминологию автора. Причины етого станут вполне понятными при чтении гл.
4. — Прим. перев. Норма и внутреннее произведение !3 (х, у). Перечислим важнейшие свойства внутреннего произведения. 1.2. ТеоРема. Если х, х,, хг и У, Ун Уг — век торы из К" и а~[4, то (1) (х, у) ==(у, х) (симметричностьй (2) (ах, у) =(х, ау) =а(х, у), (хь+хг у) =(хн у)+(хг у) (х, у,+уг) =(х, у,)+(х, у,) (билинейность); (3) (х, х))~0 причем (х, х)=0 тогда и только тогда, когда х =- 0 (положительная определенность); (4) ~ х [= )/(х, х); (5) (х, у) = [х-[-1 [' — [.
— У[' тождество). Й о к а а а т е л ь с т з о. е в (1) (х, у) = ч'., х'у'= ~е у'х'=(у. х). (2) В силу (1) достаточно доказать. что (ах, у) =-а(х, у), (х,+х,, у) =(хн у)+(хв у). Это вытекает из равенств (ах, у) = ~,'г (ах')у'=а ~ х'у'=а(х, у), 1 г 1 е (х,+ха, у) =~~~', (х,+хг)у'= г-г и И = ~ хгу +лч'., хгу =(х,, у) — , '(хг, у). 1 г-! (3) и (4) предоставляем читателю. (о) В силу (4) = — [(х+ у, х+у) — (х — у, х — у)[= 1 = — [(х, х)+2(х, у)+(у, у) — ((х, х) — 2(х, у)+ -[ (у у))[ = (х. у) ° д Функции но евквидовов> пространстве В заключение этого пзраграфа — несколько важных замечаний относительно обозначений.
Вектор (О, .... 0) будет обычно обозначаться просто О, Стандартным базисом в )с" будет называться базис, образованный векторами еп ..,, е,, где е;=(О, ..., 1...., 0) с 1 на 1-м месте и 0 на всех остальных. Под матрицей линейного отображения Т: )С"-»)С>п относительно стандартных базисов н мп и ц" понимается (т й п)-матрица А = (аы), )'-и столбец которой образован коэффициентами разложения вектора Т (е.): Т (е ) = ~~ а„е>. Если Л: Тсм -»цо имеет (р 'х,'т)-матрицу В, то матрицей для 3 ° Т будет (р'к'а)-матрица ВА (здесь (5 ° Т)(х)= =5(Т(х)); з большинстве книг по линейной алгебре вместо о» Т пишут просто ВТ).
Для нахождения Т(х) достаточно вычислить элементы (>и )Г 1)-матрицы ам ... а>„х 1 >1 И ап, ... анв х тогда Т(х)=(у', ..., у ). Через (х, у), где х~ц" и у~К, кы условимся обоаначать вектор (х, ..., х , у, ..., у ) ~ (с ~' . Это весьма упростит запись многих формул.
Задачи в 1.1». Доказать, что ! к ~ ( ~~', ~ х~ П > 1 1 й. Когда в утверждении (3) теоремы 1.1 имеет место Равенство2 (У к а з а и н е: проследить ход доказательства; ответом не будет „когда х и у линейно зависимы',) 1.3. Доказать, что ~х — у ( (>х >+! уП Когда имеет место равенство? 1А. Доказать, что ~~х1 — !у (~ (1х — у В Норма и внутреннее нроигеедение 1б. Величина !х — у! называется расстоянагм между х и у. Доказать и геометрически истолковать .неравенство треугольника' ! г — х ! ( ! е — у ! + ! у — х ! 1.6.
Пусть / и я — интегрируемые функции на отрезке (а. Ь!. ь )ь ~ИГь )Ч, а)Доказать, что ~Уд (~ ) г'~ ~ ~ яг) . (Указае а а ь нне: рассмотреть отдельно случаи, когда 0= ) (/ — )гй)г длн а ь некоторого Л~й и когда ! (У вЂ” ).я)г > 0 для всех Х цй.) б) Пусть в а) имеет место равенство. Означает лн зто, что У = Хя для некоторого й ~ й2 А еслк функции У и я непрерывны2 в) Показать, что теорема 1.1(2) — частный случай утверждения а).
1.7. Говорят, что линейное отображение Т: йа -ь йа сохраняет норму, если ! Т(х) != ! х|, н сохраняет внутреннее нроазеедение, если (Т(х), Т(у)) = (х, у). а) Доказать, что Т сохраняет норму тогда и только тогда, когда Т сохраняет внутреннее произведение. б) Доказать, что всякое такое линейное отображение Т взаимно однозначно и теми же свойствами обладает Т 1.8. Пусть х, у ~й" — ненулевые векторы. Угол ~ (х. у) между х и у определяется как агс соз — ' ; это опрелеле(х, у) !х!.!у ! ' ние имеет смысл в силу теоремы 1.1(2).
Говорят, что линейное отображение Т сохраняет углы, если Т взаимно однозначно и ~ (Тх, Ту) = Х' (х, у) для всех х, у ~ О. а) Доказать, что если Т сохраняет норму, то Т сохраняет углы. б) Доказать, что если существуют такие базис х„ ..., х„ в й" и числа Хь ..., Ин, что Тхь = )нхг, то Т сохраняет углы тогда н только тогда, когда все Хг равны между собой. в) Описать все лкнейные отображения Т: йе -ь й", сохраняющие углы. 1.9.
Пусть Т: йг-эйг имеет матрицу з1п8 со56) — соз Е з1п Е) ' где 0 ( О ( я. Показать, что Т сохраняет углы н ~ (х, Тх) = И для всех х ~ О, 1.1Оь. Показать, что для всякого линейного отображения Т: йи-+йм существует такое число М, что ! Т(И)! (М !И! 16 1 Функции ни евк.шдовом пространстве для всех вайа. (У к а ванне: оценить ] Т(в)] с помощью [А[ н коэффициентов матрицы Т.) 1.1!. Показать, что если х, увара и з, юСКк, то ((х. с), (у, и)) = (к, у) +(л, ю) и ](х, г)1="гс] хР+]е]д Напомним, что (х, а) н (у, ю) — точки из йп '~.
!.12'. Пусть (Кп)* — пространство, сопряженное к векторному пространству КЦ Определим для наждого х~йа функционал Чх1-(Кп)* формуюй цх(у) = (х, у), и пусть Т вЂ” отображение* пространства Ки в (К")", определенное формулой Т(х) =ив Показать, что Т вЂ” взаимно однозначное линейное отображение, и вывести отсюда, что всякое ~р~(Кп)* есть в„. для однозначно определенного х ~йа. 1 13*. Элементы х, у ~ Ка называются перпендикулярными (или ортогонильными). если (х, у) =О. Доказать, что Если х н у перпендикулярны, то ] х+ у [г = ] х р -[- [ у р. ПОДМНОЖЕСТВА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Замкнутый интервал [а, Ь] обладает естественным аналогом в К'.
Это замкнутый прямоугольник [а, Ь] )( [с, д], определяемый как множество всех пар (х, у) с х ~ [а, Ь] и у ~ [с, 4. Если А с Км и В с К", то произведение Ах', В с К " опрелеляется как множество всех (х, у) ~ ЕК™во с х~А и у~В. Б частности, К~"'=К )<К". Если А с К'и, В с К" и С с Ки, то (А Х В) )( С= = А )с',(В я', С) н оба проиаведения обозначаются просто А Х Вя' ,С; зто распространяется на произведение любого числа множеств. Множество [а,, Ь,] )с . Х [а,, Ь,] с= К' называется замкнутым параллелепипедом в К", з множество (а,, Ь,) Х ... )с' (и„, Ь„) с= К" — открыты.н параллелепииедом. В более общем случае множество У с К" называется открытым (рис. 1.1), если для всякого х~ У существует такой открытый параллелепипед А, что х ~ А с У. Множество С с=К" называется замьнутьсм в К", если К" х, С открыто.
Например, каждое множество С, содержащее только конечное число точек, замкнуто. Предоставим читателю доказать, что вамкнутый параллелепипед в К" действительно является замкнутым множеством. Для множества А с" К' и точки х~К" всегда должна осуществляться одна из трех возможностей (рис. 1.2). 17 Подмножества евклидова пространства 1, Существует такой открытый параллелепипед В, что х~ В с= А. 2. Существует такой открытый параллелепипед В, что х~В а К" ', Л.
3. Всякий открытый параллелепипел В, содержащий х, содержит как точки из А, так и точки из йл'к А. Р и с. 1.1. Точки х, обладающие свойством 1, образуют внутренность множества А, обладающие свойством 2 — внешность множества Л, а обладающие свойством 3 — граничу множества А. Задачи 1.1б — 1.18 показывают, что зти термины могут подчас приобретать неожиданный смысл. Нетрудно видеть, что внутренность всякого множества А есть открытое множество; то же верно для внешности А, ибо она есть не что иное, как внутренность (с" кк А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
