1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Таким образом (задача 1.14), их объединение открыто, так что граница, являясь его дополнением, должна быть замкнутой. Семейство 6 открытых множеств называется открытым покрытием множества А (или, кратко, покрывает А), если каждая точка х ~ А принадлежит некоторому множеству семейства 6. Например, если 6 — семейство всех !8 1. Функции на евнлидовом нроегринегве открытых интервалов (а, а+1), где а пробегает К, то 6 — покрытие множества К.
Очевидно, никакое конечное число множеств из 6 не покрывает К, как и любое его неограниченное подмножество. Подобная ситуация может встретиться и для ограниченных множеств. Так, например, если 6 — семейство всех открытых интервалов (1/гг, 1 — 1,1н), где л=!, 2...,, то 6- — открытое покрытие интервала (О, 1), но снова никакое конечное число множеств из 6 пе покрывает (О, 1). Хотя в этом явлении и нет ничего особенно страшного, зсе же множества, для которых такая Р и с. 1.2. ситуация не может иметь места, настолько важны, что получили специальное название: множество А называется компактным, если всякое его открытое покрытие 6 содержит конечное подсемейство, также покрывающее А. Очевидно, что каждое конечное множество компактно; то же верно и для бесконечного множества А, состоящего из нуля и чисел 1ггн для всех положительных целых л (действительно, если 6 — покрытие, то О~У для некоторого открытого множества (1 из 6, и только конечное число остальных точек из А не принадлежит (1, а для покрытия каждой из них достаточно по одному множеству из 6).
Установление компактности множеств сильно упрощается благодаря следующим ревультатам, из которых лишь первый в какой-то мере глубок. 1.3. Теорема Бореля — Леб е г а. Замкнутый интервал (а, Ы компактен. Подмножества евклидова пространства !9 Л о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 6 — открытое покрытие [а, Ь]. Рассмотрим множество А =]х: а ~( х <д и [а, х] покрыт конечным числом множеств из 6].
Заметим, что а Е А и что А, очевидно, ограничено сверху [числом Ь). Нам нужно показать, что б~ А. Для этого достаточно рассмотреть число а = ацр А и доказзть, что а Е А и п = Ь, Так как 6 — покрытие, то и ~ У для некоторого У из 6. Тогда все точки некоторого интервала с правым концом и также принадлежат У (см. Рнс.
1.3). Так как Р и с. 1.3. и — верхняя грань множества А, то в этом интервале найдется точка х ~ А. Таким образом, [а, х] покрыт некоторым конечным числом множеств из 6, а ]х, и] — уже одним множеством У. Следовательно, [а, и] покрыт конечным числом множеств из 6, и и ~ А. Чтобы доказать, что а = Ь, предположим противное. Пусть ип.б. Тогда существует такая точка х' между.а и Ь,. что [а, х'] с- У. Так как а ~ А, то интервал [а, а] покрыт конечным числом ьшожеств из 6, интервал же [а, х'[ покрыт множеством У. Следовательно, х'~ А, в противоречии с тем, что а — верхняя грань множества А.
° Если Вс-К компактно и х~К", то легко видеть, что [х] Х В с= ]!'"+' тоже компактно. Справелливо и более сильное утверждение. !А. Теор ема. Если В компактно и 6 — открытое покрытие множества [х] 'х' В, то существует такое открытое множество У с- ]с", содержащее х, что У )ч В покрыто конечны.и числом множеств из 6. Доказательство. Так как [х] )~ В компактно, го мы можем с самого начала считать.
что 6 — конечное 20 1. Функцыи на евнлидовом проггрвнвгве покрытие, н нужно только найти такое открытое множество с1, чтобы с1 У(В покрывалось семейством В, Для всякого у ~ В точка (х, у) всадит в некотором множестве Ф" изб. Так как В' открыло„то (х, у) ~ (1,)( рс', У ~ %' для некоторого открытого параллелепипеда Ув. Р ис.
14. (1,~У . Множества У покрывают компактное множество В, т так что уже некоторое конечное их число У, 1' покрывает В. Пусть (1 =(1 П ... П(1, Тогда, если (х', у') ~(1 К В, то у'ЕУт для некоторого((рнс. 1.4) и, рааумеется, х'~(1тр Следовательно, (х', у')~Цг,)с'У,, а ато последнее множество содержится в некотором В' из 6. ° 1.б. Следствие.
Если А~К" и Вс(~ы компактны, гпо А К В г= К ~' компакгпко. 21 Вод,ввожеггва евклидова простроветвв До казатель ство. Если 6 — открытое покрытие множества А у(В, то 6 покрывает [х! Х В для каждого х~А. Согласно теореме 1.4, существует открытое мнох<ество (гх, содержащее х и тзкое, что (l 'к'В покрыто конечным числом множеств из 6.
Поскольку А компактно, среди множеств (1, имеется конечное число множеств (1„, ..., (У„, покрьаающее А. Так кзк каждое произведение Ух 'УС В покРыто конечным числом множеств из 6, с то конечным числом множеств из 6 покрывается и все произведение А Х В ° 1.6. С л едст в и е. Если каждое из множеств А, (1 = 1, 2, ..., й) колгпактио, то и произведение А, уС ...
у~ Ав компагстно. В чагтногти, любой замкнутый параллелепипед в й" компактен. 1.7. Слейств не. Всякое замгснутое ограниченное .иножество в й" компактно. Обратное также верно (задача 1.20). Д о к а з а т е л ь с т в о. Если множество А ~ й" замкнуто и ограничено, то оно содержится и некотором ззмкнутом параллелепипеде В.
Если 6 — открытое покрытие для А, то 6 и й" х, А образуют открытое покрытие для В. Следовательно, конечное число множеств Уи ..., (г', из 6, бьшь может вместе с й" 'х А, покрывает В, Но тогда множества Ом ..., О„покрывают А. ° Задачи 1.14в. Доказать, что объединение любого (даже бесконечного) числа открытых иножестз открыто.
Лохазать, что пересечение двух (а потому и любого конечвого числа) открытых множеств открыто. Дай контрпрнмер для бесконечного числа открытых множеств. 1,1Б. Доказать, что множество (х~й": [х — а ~ < г) открыто (см, также зздачу 1.21), 1.16. Найти внутренность, внешность и гранину множеств [лайв: [х[<1), (х ~~ й": [ х [ = 1), [х~й'. каждое х' рационально[. 1.17. Построить иножество А<: [О, 1) У([0, 1), содержащее не более одной точки на каждой горизонтали н квкдой верти- !. Функции на евклидовон пространстве кали, но имеющее своей границей весь квадрат [О, Ц)([0, Ц. (Указание: достаточно добиться, чтобы А содержало точки каждой четверти квадрата [О, Ц У( [О, Ц, каждой его шест.
надцатой части и т. д.) 1.18. Пусть А<:[О, Ц есть объединение таких открытых интервалов (аь Ь,), что каждая рациональнан точка между 0 и 1 содержится в некотором (аь Ь;). Показать, что границей множества А служит [О, 1]'~, А. !.19'. Показать, что замкнутое множество А, содержащее всякое рациональное число с ~ [О, Ц, содержит весь отрезок [О, Ц.
1.20. Доказать обращение следствия !.7: всякое компактное множество з Йп замкнуто и ограничено (см. также задачу 1.28). 1.21'. а) Доказать, что если А замкнуто и х б А, то существует такое и > О, что [ » — х [ > д для всех у е А. 0) Доказать, что если А замкнуто, В компактно и А ПВ = Я, то существует такое д > О, что [ у — х[ > д для всех у ~А и к~В. (У к а за и не: для каждого ЬсВ найти открытое множество К содержащее Ь и такое, что требуемое соотношение верно для всех х с(7 П В.) в) Привести контрпрнмер з К', если множества А и В замкнуты, ио ни одно из ннх не компактно.
1.22". Показать, что если (7 открыто, а С ~ (7 компактно, то существует компактное множество !1 ~ (7, внутренность которого содержит С. ФУНКЦИИ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ Функции 7 нз К" в К~ (называемая иногда векторной функцией и переменных) есть правило, отпосящес каждой точке х из К" некоторую точку из К~; точка, которую функция ! относит х, обозначается ! (х). Мы пишем г": К" ьК (чнтаем „У отображает К" в Кш" или,!", отображающая К' в Ки" в зависимости от контекста) для указания того, что значение ! (х) ~ К определено для всех х ~ К". Запись 7: А — ьК~ указывает, что г (х) определена только для точек х, пробегзющих множество А~К', которое называется областью определении функции )'. Под У(В), где В~А, мы понимаем множество всех значений г" (х) для х~ В; если С~К, то по определению полагаем г (С)= )х~ А: ! (х)ЕС).
Запись !': А — ьВ означает, что г'(А)~В. Для функции г: А — ьК, где А~Кт, можно получить удобное изображение, построив ее график — множество Функции и непрерывность всех точек вида (х, у, у(х, у)), образующее некоторую фигуру з 3-мерном пространстве (см., например, рис.
2.1 и 2.2 в гл. 2), Если у, а: 1("--«К, то функции 1+у, у — д, у. д и ДЕ определяются точно так же, как и в одномерном случае. Если У: А — «Рс"' н л'  — «1(е, где Вг=К~, то композиция а в у определяется равенством я «Д (х) = =д(у(х) ); областью определения а «у служит А П )' ' (В) Если у: А -«Кы взаимно однозначно, т. е. если у (х) чь У(У) при х ц'= у, то у: г (А) «рс' определяется' требованием, чтобы у (е) было тем единственным х~А, для которого у (х) =- е. Функция у: А — «К определяет т коордииагляых функций у',,, у'.".: А-+К равенством У (х)=(у'(х), ..., у (х) ). Обратно, для любых заданных и функций дн ..., а: А-«К существует такая единственная функция у: А«К . что у = а, (1= 1, ..., ЛГ),а ИМЕННО 1(Х) = (д,(Х), ..., аг (Х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
