1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(У к азание: для каждого х~А существует такой параллелепипед В=[а1 Ь1[Х... Х[а„, Ь [ с рациональнымн аг и Ьь что хцВ ~ сг для некоторого (ГЕ6) ИИТЕГРИРУЕМЫЕ ФУИКПИИ Напомним, что о(у, х) обозначает колебание функции У' в точке х. 3.7. Лем ма. Пусть А — замкнутыа параллелен!зиад и г' А-ь[! — ограниченная !Ьуниция, у копго- Интегрируемие Функции роа о(у, х) < е для всех х~ А. Тогда А обладает та- ким разбиением Р, что (»'(У, Р) — С(У, Р) < етв(А), Доказательство. Для каждого х~А существует такой замкнутый параллелепипед У, содержащий х внутри себя, что Мц (з) — тц ()') < е. Так как А компактнс, то конечное число У», ..., У» множеств (l„покрывает А.
Пусть Р— разбиение множества А, каждый параллелепипед которого содержится в некотором У,. Тогда Мз(з) — тз(/) ( е для каждого параллелепипеда 5 разбиения Р, так что У (Г, Р) — У (Т, Р) =- ~ ) М (З ) — тз(З)) о (5) ( ео (А). ° 3.8. Т е о р е и а.
Пусть А — замкнутый параллелепипед, З': А-+К вЂ” ограниченная функция и  — множество ве точек разрыва. Тогда з интегрируема на А в том и только том случае, когда  — множество меры О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что В имеет меру О. Пусть г ) О и Вв=- )х; о(у, х))~е).
Тогда В,г=В, так что В, имеет меру О. Поскольку В, компактно (теорема 1.11), В, имеет объем О. Таким образом, существует конечное семейство Ун ..., У„замкнутых параллелепипедов, внутренности которых покрыи вают В„такое, что,'~~ о (У~) < е. Пусть Р— разбиение А, г-г каждый параллелепипед о которого принадлежит одной из следующих двух групп (см. рнс.
3.1): взво состоящей из таких параллелепипедов В, что В~Юг для некоторого г. взвг. состоящей из параллелепипедов В, для которых ВПВ,=Р. Пусть ) г" (х))(М для всех х~А. Тогда Мз(у)— — тз(У) (2М для каждого 5. Поэтому » 2~ [Мз(г) — таЩ) о(В) (2М,'»; о(У,) < 2Ме. зе ю~ г1 8. Иитегрираеаниа Далее, если Я~Ваш то оК х) <е пРн хЕВ. Из леммы 3.7 следует, что существует такое продолжение Р' разбиения Р, что Х ~М,, (У) — жз (7)~ Ф') < е Ф) для всякого 8 ~ аУз.
Тогда ЕУ (7', Р') — Е (7", Р') = ~ (Мз, (Г) — тз, (У)1 о (Я') + улей +. Х 1М,,(У) — шз,(У)1 о(8') < з'сзеА < 2Ме+ ~ ео(Я) < 2Ме+во(А). зЕ у1 Так как М и о(А) фиксированы, то отсюда следует, что, выбирая надлежащим образом разбиение Р', можно сде- Р и с. 3.1. Заштрихованные прямоуголь- ники принадлежат гь лать 0 (7, Р') — Е(7, Р') как угодно малым. Таким образом, У интегрнруема.
Обратно, предположим, что 7" интегрируема. Так как В=В1 0В1)тОВнз0 ° ., то достаточно (теорема 3.4) доказать, что каждое Вн, есть множество меры О. Мы покажем, что каждое Вн„имеет объем О (но так как Вна компактно, то на самом деле зто то же самое), Интегрируемые функции 69 Пусть е ) О, Р— такое разбиение мноькества А, что () О' Р) — (-(У Р) < е,'а и еУ вЂ” семейство всех параллелепипедов 5 разбиения Р, пересекающихся с В т. Тогда еУ покрывает В~ „.
Но если 5 ц еУ, то Мз(У) — тз(г) )~1/и. Таким образом, — ~)~~ о (8) «(,~~ 1Мв (у) — вгв (У)1 о (8) «к. ге у зч 'г" «(~(Мв(г) — т (г)1о(В) ( г и, следовательно, ~~ о (5) « е. ° вс,т До сих пор мы имели дело только с интегралами от <рункций, заданных на параллелепипедах. Интегралы по другим множествам легко сводятся к интегралам этого видз. Пусть С~К". Характеристическая функция )(с множества С определяетсв так: 0 при х(Р С, хс(х) = ! при хцС.
Если С ~ А для некоторого замкнутого параллелепи- педа А и г: А †« К ограничена, то под ~,г понимается у)(с в предположении, что функция /ус интегрируема. л Последнее во всяком случае имеет место (задача 3.14), если г и )(с интегрируемы. 3.9. Теорема. Функция )(с: А-ь К интеграруема тогда и только тогда, когда граница множества С имеет меру О (и следовательно, обеем О). Д о к а з а т е л ь с т в о. Если х — внутренняя точка множества С, то существует такой открытый параллелепипед У.
что х ~У~С. Таким образом, тс — — 1 на У и очевидно, что )(с непрерывна в х. Аналогично, если точка х — внешняя по отношению к С, то существует такой открытый параллелепипед У, что х~ У~К' хС. Поэтому )(с — — 0 на сг и )(с непрерывна з х. Наконец, если х принадлежит границе множества С, то для всякого открытого паралле- 70 :3. Интегрирование лепнпеда (т', содержащего х, существуют точка у, ~(г'()С " точка угб УП(йи', С). Тогда )(с(у,)= ! и )(с(уэ) =О. Следовательно, ус разрывна в х.
Таким образом, множество точек разрыва функции тс совпадает с границей С и требуемый результат следует из теоремы 3.8. ° Ограниченное множество С, граница которого имеет меру О, называется лзлтерллгылг ло Жордану. Интеграл ~ 1 с называется (и-мерным) объемом множества С. Разумеется, одномерный объем часто называют длиной, а двумерный — ллоиъадью. Задача 3.! ! показывает, что даже открытое множество С может не быть измеримым по Жордану, так что интеграл ~: :,) не обязательно определен, даже если С с открыто, а г непрерывна, Это неудобство будет вскоре устранено. Задачи 3.14.
Показать, что если У, я; А-ьй интегрируемы, то интетрируемо и у л. 3.15. Показать, что множество С, имеющее объем О, содержится в некотором замкнутом параллелепипеде А, измериио по Жордаиу н ) 7 О. А 3.16. Лать пример ограниченного множества С меры О, для которого ~ д не существует, л 3.17. Показать, что если С вЂ” ограниченное множество меры 0 и интеграл ) )Г существует, то он равен нулю. (У казани е: А показать, что 0 (у, Р) 0 для всея разбиений Р; использовать задачу 3.8.) 3.16. Показать, что если У: А -г й — неотрицательная функция н ~ у О, то (х: у(х) ~ 0) имеет меру О. (Указ ание: л доказать, что (х: у(х) > !)л! имеет объем 0.) Теорема Фябини ЗЛО.
Пусть А — открытое множество из задачи 1.!8. Показать, что если У = Хл с точностью до множества меры О, то У неинтегрируема на [О, 1). З.Ю. Показать, что возрастающан функпия /: [а, а) -ей интегрируема на [а, Ь). 3.21. Показать, что множество С с А, где А — замкнутым параллелепипед, измеримо по Жордаиу тогда н только тогда, когда для каждого е > О существует такое разбиение Р параллелепипеда А, что ~~ о (5) — ~„ о (5) ( е. где хе, состоит из зе.е зе.е, всех параллелепипедов разбненкя Р, пересекающихся с С, з ее — нз всех содержащихся в С. 3.22". Показать, что если множество А измеримо по Жордеиу, то для каждого е > О существует такое измеримое по Жордану компактное множество Сс А, что ~ Хл, с < е.
л ТЕОРЕМА ФУБИНИ Проблема вычисления интегралов з известном смысле решается теоремой 3.10, сводящей вычисление интегралов по замкнутому параллелепипеду из К", а ) 1, к вычислению интегралов по замкнутым интервалам из К. Достаточно важная, чтобы заслуживать специального наименования, зта теорема обычно называется теоремой Фубини. хотя она является лишь более или менее частным случаем теоремы, доказанной Фубиии к моменту, когда теорема 3.10 уже давно была известна.
Идея, лежащая в основе теоремы, лучше всего иллюстрируется (рис. 3.2) на примере положительной непрерывной функции г: [а, б]Х [с, 4 — эК. Пусть 1о, ..., 1„— разбиение интервала [а, д). Разобьем [а, Ь) Х [с, е() на и полос прямолинейными отрезками [е;[ Х [с, Н). Если определить д„ равенством д (у) = Т(к, у), то плошадь области, ограниченной сниау отрезком [к] Х [с,е(), а сверху проектируюшейся на пего частью графика булет равна а а ) А'» = ) Г(к У) ау ° с с 3. Ингеврлрованне Поэтому объем области, ограниченной снизу прямоугольником [11 1, 1;[ Х [с, се[, а сверху — соответствующей частью графика У, будет приближенно равен (~1 — Г1 1) ~: у(х, у)с(у с произвольным х~[тг 1, ц. о Таким образом, интеграл 1 =Х 1 1 Р. 1!Х1с,и~ ,'а.
ь!х М,ю приближенно равен л Х (11 — с'1 1)),Г (Х1, У)дУ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ Х,~[Г1 1, Я, С другой стороны, такого рода суммы входят в опредеь и -- [[[11.,с~сс) ' -- сс--, ° ° ° --. а 'с ние надеяться, что функция Л, определенная равенством а и Ь(Х) = ~ ус= ~ У (Х, У)11У, ИНтЕГРНРУЕМа На [а, 6[ И с с ь ь(а 1 = [ « - [ '[[ 1 1*, с1 с с) с..
(а. Ы Х~с,и! а а с Это н в самом деле окажется верным, когда у непрерывна, однако в общем случае возникают трудности. Предположим, например, что множеством точек разрыва у служит [хо[ Х [с, 4 при некотором хоЕ[с, с([. Тогда У интегрируема на [а, д[ Х [с, гг], но й(хо) = ~ г (хо, у)с(у а не имеет даже смысла, В силу этого теорема Фубини формулируется несколько странным обрааом и сопровождается аамечаннями, относящимися к различным специальным случаям, когда возможна более простая формулировка.
Теорема Фибини Нам потребуются еще два термина. Если У: А -ьК— ограниченная функция на вамкнутом параллелепипеде, то, интегрируема у или нет, верхняя грань всех нижних сумм и нижняя грань всех верхних сумм нсегда существуют. Грегрие г Ьг ге Ь Р и с. 3.2.
Они называются соответственно нижним и верхним интегралами 1' по А и обоаначаются соответственно Е1У и ()1У. З.Ы). Теорема Фуб и ни. Пусть Асй" и Всй"— замкнутые параллелепипеды и т: А Х В вЂ” эьс — интегрируемая функция. Пусть далее функция д»:  — ь ЬЬ определена для каждого х ~ А равенством д (у) = =/(х, у) и .У(х) =Е ~ К„=Е 1 У(х, у)ду, в в к (х) = () ~ я„= () ~ Т' (х, у) ду. в в Т4 8 Интегрирование Тогда У и У интегрируемы на А и )" х=)'.т-((~(г(*, оо)а*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
