1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 9
Текст из файла (страница 9)
+т (У)о(5,), Сумма левых частей по всем 5 есть г,(г, Р), тогда как суммой правых частей служит г. (Г', Р'). Следовательно, г. (у, Р) ( г. 9', Р'). Для верхних сумм доказательство аналогично, ° 3,2. Следствие. Е(У, Р') (У(/, Р) для любых разбиений Р и Р'. Доказательство. Пусть Р" — разбиение, продолжающее и Р и Р' (например, Р" (Р, ..., Р ), где Рг — разбиение (аг, йг), продолжаюшее и Рг и Рг).
Тогда (. (У. Р') <(. (У, Рн) < ()(У, Р') < и (У, Р). ° Из 3,2 следует, что верхняя грань всех нижних сумм для г не превосходит нижней грани всех верхних сумм. Функция у: А-+тс называется интегрируемой на парал') й и 0 — от (очгег (нижний) и иррет (зерхннй) соответственно. — Прим. перва. е! Основные олределения лелепипеде А, если она ограничена и внр )1.
® Р)) = =!п1 )(У(у. Р)). Это общее значение обозначается ~ Г' и А называется интегралом / по А. Часто используют обозначение ~ у'(х',..., х") с(х' ... с(х". Если у: )а, Ь) — ьК, л где а (д, то а (а, ь! Следующая теорема доставляет простой, но важный критерий ннтегрируемости.
3.3. Те ар ем а. Ограниченнан функция ~'. А -ь К интегрируема тогда и только тогда, когда длн всякого г.ь О существует такое разбиение Р параллелепипеда А, что (Г(г, Р) — 1.(г, Р) < е. Д о к а в а т е л ь с т в о. Если зто условие выполнеяо, то, очевидно, вцр)(.(г, Р)) =!п1)У(г', Р)) и У интегрируема. С другой стороны, если у интегрируема, т, е.
знр)1.(У, Р)) =!п1)У(г, Р)), то для всякого е ) О имеются такие разбиения Р и Р', что У (У, Р) — 1.(г, Р') < е. Если тогда Р" продолжает и Р и Р', то, как вытекает из леммы 3.1, 0(Г, Р") — Л(Г', Рв).<(У(у, Р) — Е. (Г, Р') < Е. ° В следующих параграфах мы охарактеризуем класс интегрируемых функций и найдем лгетод вычисления интегралов. Здесь же ограничимся рассмотрением двух функций, одна ив которых интегрируема, а другая — нет. 1.
Пусть у: А-ьК постоянна, г'(х)=с. Тогда для всякого разбиения Р и всякого его параллелепичеда 5 имеем тз(У)=Лз(/')=с, так что С(У, Р)=У(У,Р)=~со(5)= =со(А). Следовательно, ) г'=со(А). и 2. Пусть г' 10, 1) Х(О, 1)-эК определена условиями ~ О, если х рационально. у(х. у) = ( 1, если х иррационально. Каково бы ни было разбиение Р, всякий его параллелепипед 8 будет содержать и точки (х. у) с рациональ- 62 В. Иктегрированлг ным х, и точки (х, у) с иррациональным х.
Поэтому тл(Д= О и Мл(у) =1, так что Ь()', Р) =~Оо(5) =О, и (У,, ) =.'~„1о (З) = ([О, Ц Х [О, Ц) = 1. Следовательно, / неинтегрируема. Задачи 3.1. Пусть У: [О, Ц )([О, Ц-ь й определена условиями 2' 1 О, если О < л. < —, У(х, у) = ! 1, если — <х< 1. 2 Показать, что у иитегрируема и ) У=1г2. (о, Цк1о, П 3.2. Пусть У: А-ьй интегрируема и 3 =-У всюду, кроме ко- нечною числа точек. Показать, что 3 иитегрируема и ~ У = [ 3. З.З. Пусть У, йч А -ь й интегрируемы.
а) Показать, что для всякого разбиения Р параллелепипеда А и всякого параллелепипеда 5 этого разбиения тз (Х) + ягт(3) < ~; гл (у -[- 3) и М (у + я) < М (у) -[ М (у), а потому ). (У,Р)+ЦЗ,Р) <)(У~+3) «и(У-~3, Р) <д(у, Р) -~() (д, ). б) Показать, чтоУ+Зиитегрируема и ) У+3= ~ гг+ ~ 3. А л л в) Показать, что ~ су= с ~ у для всякой постоянной с. л л 3.4. Пусть У: А-ьй и Р— разбиение А, Показать, что У иитегрируема тогда и только тогда, когда для всякого паралле- лепипеда 5 разбиения Р сужение У[Я функции У на 3 иитегри- руемо, причем в этом случае ~ у = ~т [ у[ 5. л з з 3.5.
Пусть У, йк А-ьй иитегрируемы и У<а. Показать, что [ у< ~ л. л л Мера О л объем О 3.6. Показать, что если 1: А — »й интегрнруема, ю ([ф[~л, 3.7. Пусть 1: [О, 1[ Х [О, 1[-» й определена условиями О, если х иррационально, О, если х рационально, у иррационально, 1(х у) = 1 —, если х рационально,у= — — несократнмаялробь.
р Показать, что 1 интегрируема и ~ 1 О, 1ю, ЦхСо, Н МЕРА 6 И ОБЪЕМ О Множество А с=К" имеет (л-мерную) меру О, если для всякого е ) О существует такое покрытие [()с, (1з, (Уз.... ) этого множества замкнутыми параллелепипедами, что СО ~с о(Ус) ( е. Очевидно (но тем не менее полезно напомс-1 нить), что если А имеет меру О и В с=. А, то В имеет меру О. Нетрудно проверить, что в определении меры О вместо замкнутых параллелепипедов можно брать открытые. Множество, содержащее лишь конечное число точек, очевидно, имеет меру О.
Множество, состоящее из бесконечного числа точек, которые могут быть занумерованы в последовательность ан аю аз, ..., также имеет меру О; в самом деле для всякого е ) О н всякого номера 1 можно выбрать замкнутый параллелепипед (1с, содержащий ас, так, чтобы ес(()с) с е/2', а тогда ~ ес(()с) ( ~ е/2'=е.
с-с Важным и довольно неожиданным примером такого бесконечного множества является множество всех рациональных чисел между 0 и 1, Чтобы убедиться в этом. нужно только перечислять дроби из нижеследующей таблицы в порядке, указанном стрелками (исключая повторе- 8. Интегрирование ния н числа, большие чем 1) е О 1 2 1 1 1 О 1 2 2 2 2 О 1 2 3 3 3 О 4 3 4 1 Т 3 4 2 2 3 4 3 3 Этот пример допускает важное обобщение. 34. Теорема.
Если А =А, 1) Аа)) Аз 1)... и каждое А, имеет меру О, то А имеет лгеру О. иь, 1Уь, 1Уьа ~' 'l '/ як, и,, 11,, л ~'3, ! ~3,2 ~'З,а '' л видно, что это семейство может быть занумеровано в по- СО СЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ Уг, 1',, )га, .... ОЧЕВИДНО, ~~а О(Ьг!)( ! ( ~г е/2' =-е. ° г=! Множество А ~ко имеет (н-мерный) обеем О, если для всякого е) О существует такое конечное покрытие 1Уг, ..., У„) этого множества замкнутыми параллелепи- До к аз а те л ь от в о. Пусть е ) О. Будучи множеством меры нуль, А; обладает таким покрытием (У, ! Уи,У! г, ... ) замкнутыми параллелепипедами, что ~'., о ггг'! 1) ( е/2'. у=! Тогда семейство всех /уг, 1 образует покрытие всего множества А. Из таблицы Мера 0 а апъеи 0 педзми, что ~ о[У!) ( е. Очевидно, что множество, имсю! ! щее объем О, имеет также меру О В этом определении вместо замкнутых параллелепипедов, как и раньще, можно было бы воспользоваться открытыми.
З.б. Теорема. Если и<б, то интервал [и, д)с" К ке может иметь объем О. А именно, если [Уп..., У„[— его конечное покрмагие замкнуты,ыи иктереилал!и, то а ~~Г~ о[У!) > с! — и. г-! Ло к а за т ел ь с т в о. Применим индукцию по и. Утверигденне очевидно при и = 1. Предположим, что теорема справедлива для покрытий и интервалами, и пусть [У,, ..., Уа,,), — покрытие [о, б[ и+ 1 замкнутым интервалом. Можно считать [изменяя, если нужно, нумерацию), что и ~ Уг Тогда У, = [а, Я, где а «(и «([1. Если р >~ д, то о [У,) >~ Л вЂ” и. Если же [! < б, то [У,,..., У,[— покрытие интервала [6, Ь) п интервалами, слеловательно, ат! и!-1 ~го[У!))~Ь вЂ” р и потому ~ о[У!))~ф — и)+ф — [))= ! 2 ! ! =Ь вЂ” и. И Если и < Ь, то верно также, что [и, Ь[ не может иметь меру О Это вытекает из следующей теоремы.
3.6. Теорема. [томпикткое множество А, имеюигее меру О, илсеет также объем О. Доказательство, Пусть е > О. Так как А имеет меру О, то существует такое его покрытие [Ун Уг,... [ открытыми параллелепипедами, что ~~'.~ о[У,) < е. Так как А ! ! компактно, то уже некоторое конечное число У,, ..., У„ параллелепипедов У, покрывает А и, разумеется, а [У,)<.. ° ! 1 Заключение теоремы 3.6 неверно, если А некомпактно. Пусть, например, А — множество всех рациональных чисел между О и 1; тогда А имеет меру О.
Предположим, 3. Ингггрпловпние что [[ао Ь,[, .... [аго Ь„[! — некоторое покрытие А. Тогда А содержится в заикнутом множестве [ап Ь,[[)... ... 0[ал, Ь„], и потому [О, 1[с= [ап Ь,[[)... () [ап, Ь,[. л Из теоремы 3.5 следует, что ~ (Ь, — а,) 1 для всякого ! ! такого покрытия и, следовательно. А не может иметь объем О. Задачи 38. Локаззть, что [ао Ь,[ Х ... Х [ал, Ь„[ не мозгет иметь объем О, еслв а; с Ь; для всех 1.
(Веровлтво, вы решите доказывать зто в лоб, но см. задачу 3.2Ь.) ЗЭ. а) Показать, что неограниченное множество не может иметь объем О. б) Дать пример замкнутого множества меры О, не имеющего объем О. ЗЛО. а) Показать, что если множество С имеет объем О, то и его граница имеет объем О. б) Вать пример ограниченного множества С меры О, граница которого не имеет меру О. 3.!1.
Пусть А — множество из задачи 1.!8, Показать, что если 'Ь (Ьг — аг) с 1, то его граница не имеет меру О. 1-! ЗЛЗ. Пусть у: [а, Ь[-ь(! — возрастающая функция. Показать, что множество ее точек разрыва имеет меру О. ( У к алаи не: 11 используя задачу 1.30, показать, что множество ~ х: о (у, х) > — ~ и ~ конечно для любого целого положительного п.) 3.13*. а) Показать, что множество всех параллелепипедов [аи Ь|[ Х .
Х [ап, Ь„[ с рациональными а; и Ь; может быть расположено в последовательность. б) Пусть А ~ [!и произвольное множество н 6 — его открытое покрытие. Показать, что существует последовательность Уи (гн (г'ь ... злементов из 6, также покрывающая А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
