1610912308-c2bec5dd8b772d8e0a64c945e7c7f8d8 (824697), страница 21
Текст из файла (страница 21)
5.20. Доказать, что если Ф вЂ” форма (й — 1)-й степени на компактном Л.мерном многообразии М, то ) йо=О. Дать коитр- пример с некомпактным М. 5.21. Абсолютным тензорам й-й степени на У называетса фуНКцИя тр (ге-+й Внда )Ф (, Гдв ФцЛЕ ()г). АбСОЛЮтНОй фармой Л-й степени на М называется такая функция Ч, что т) (х) есть абсолютный тензор й-й степени на М, для каждого хЕМ. Показать, что можно определить интеграл ~ т) даже если М нем ориентируемо. 5.22.
Пусть Мн Ме ана — компактные л-мерные многообразия с краем, причеи МесМ,' дМь и Ф вЂ” форма (л — 1)-й степенн иа Мн Доказать, что Э= ~Э, дМ, дме 147 Элемент объема где дМ, и дМ, наделены ориентациями, индуцнрованнымн стан. дартнымн ориентациями многообразий М, и М,. (Указание: найти такое многообразие с краем М, что дМ дМ, 13 дМ, и индуцнрозанная ориентация йа дМ совпадает на дМ, с ориентацией дМ, и противоположна на дМе орнентзции дМе.) ЭЛЕМЕНТ ОБЪЕМА Пусть М есть й-мерное многообразие (или многообразие с краем) в [ч", наделенное ориентацией р. Для каждого х ~ М введенные раньше ориентация р и внутреннее произведение Т» определяют элемент объема ы(х) ~ Ла(М ).
Мы получаем поэтому всюду отличную от нуля форму й-и степени ы на М, которая называется злеменлгом объемо на М (определяемым и) и обозначается НГ, хотя она, вообще говоря, и не является дифференциалом кзкойлибо формы (77 — 1)-й степени. Под объемом М понимают ФИ в предположении, что этот интеграл существует, что во всяком случае имеет место, когда М компактно. Для одномерных или двумерных многообразий „объем" обычно называют соответственно длиной или плон[адью, а й[г обозначают йз („элемент длины") или йА (а также йЮ) („элемент площади [поверхности["). Интересующий нас конкретный случай — это элемент обьема ориентированной поверхности (двумерного многообразия) М в [чз. Пусть л (х) — орт внешней нормали в точке х~ М. Если в~Ля(М ) определить формулой еа(о, в) = де( ( )[ то гз(п, ш)=1, если о и то образуют ортонормальный базис в М с [и, гн[ = р„.
Таким образом, с[А = сз. С другой стороны, гз(о, тв)=(о',к, в, н(х)) по определению п)(в, так что йА( ш)=(оХ ..(». Так как пХтн для любых о, тнЕМ„кратно п(х), то ааключаем, что ФА (о. тв) = [ о )( тн [ 148 б. 1тнтегрировение ка многообразиях при [о, от[ = [ь„. Чтобы найти площадь поверхности М, мы должны вычислить ~ с'(дА) для сориентированных 10, гй сингулярных двумерных кубов с. Положим Е(а) = [В,с'(а))г+ [О,сг(а)[г+ [О,сг(а)[г, Г(а) = О,с' (а) Ого'(а)[-Отсо(а) О сг(а) 4-0,сг(а) Ого'(а), О (а) = [Ого' (а)[г+ [Огсз (а)[о+ [Огсз(а)[г.
Тогда с" (дА) ((е,), (ег) ) =с(А(с,((е,)„), с„((ег) )) = = [ (О,с (а), О, с'(а), О, с' (а)) ) С(О,с' (а), О,со (а), Огсз (а)) 1= = 1/Е (а) О (а) — Е (а)' по задаче 4.9. Таким образом, с" (дА)= ) "1'ЕΠ— Ег. 1о, и 1о, ой Очевидно, что вычисление площади поверхности — отважное предприятие. К счастью, релко требуется знать площадь поверхности.
Кроме того, существует простое выражение для дА, достаточное для теоретических рассмотрений. Ь.В. Теорема. Пусть М вЂ” компактное ориентированное двумерное многообразие (или многообразие с нраем) в мз и и — орт внешний нор.иали, Тогда 1) дА =льду Л де+ лоде Л дх+ладх Л ду. Кролге того, 2) л' дА = ду Л г[г, 3) лгдА=дхЛдх„ 4) издА = с(х / с1у Показательство. Равенство (1) эквивалентно равенству дА(о, то) =де1 л (х) что явствует из разложения определителя по минорам нижней строки.
Для доказательства остальных равенств рассмотрим 149 Злелгену обвела г~Л4„. Так как оХш =ни(х) с некоторым о~лая, то (г, и(х)) (юХти, и(х)) =(г, и(х)) а= = — (г, аи(х)) =(г. оХте). Взяв в качестве г векторы ен ез и ез, получим (2), ГЗ) и (4). ° Р не. 5.9. Поверхность образована треутольннками, вписанными в часть цилиндра. Основании треугольников лежат на параллельных плоскостях, перпендииулярных оси цнщндра. Расстояния чежду соседними плоскостями равны, Будем увеличивать число чреугольвиков, уменьшая этс расстояние, н потребуем, *пабы нижнин грань алин оснований всех треугольников была при атом строго больше пула. В такам случае плонгаль вписанной наверхности можно сделать сколь угодна большой. Предостережение: для пт ~ Лз(ачо), определенного равенством з от = и' (а) б(у (а) Л б(г Га) + и' Га) гбг уа) Л гбх (а) + + и'(а) б(х (а) Л гбу (а), 150 б.
Интегрирование на многообразиях неверно, например, что и'(а) го=агу(а) Д бя(а). Обе стороны дают одинаковый результат, только будучи примененными к тт,ю~М,. Несколько замечаний относительно оснований для дзнных нами определений длины кривой и площади поверхности. Если с: [0,1[ — и[си дифференцируемо и с([0,1)[ — одномерное многообразие с краем, то можно показать (но с помощью довольно канительного доказательства), что его длина действительно является верхней гранью длин вписанных ломаных. При с: [0,1[з — и[чв естественно ожидать, что площадь с([0,1[з) будет верхней гранью площадей поверхностей, составленных из треугольников, вершины которых лежат в с([0,1[з).
довольно поразительно, что такая верхняя грань обычно не существует — можно вписывать многогранные поверхности, сколь угодно близкие к с([0,1)з), но имеющие сколь угодно большую плошадь. На рис. 5.9 это продемонстрировано на примере цилиндра. Было предложено много определений площади поверхности, которые расходятся друг с другом, но все согласуются с нашим определением для случая дифференцируемых поверхностей. Рассмотрение этих трудных вопросов читатель может найти в работах [17[ или [10[.
Задачи 5.23. Показать, что если М вЂ” ориентированное одномерное миогообразие в й" и е: [О, 1[ -и М сориентировано, то с (аз) = (о, и (о, П 5.24. П окззать, . что если Л есть л-мерное многообразие в й" со стан дартно й ориентацией, то гП " = г(х ' д ., Л ахх, так что его объем, о и ределениый в зтои параграфе, совпадает с объемом, определе нны и в гл. 3. (Заметим, что здесь проявляется влияние числового коэф фициеита в определении и Д Ч.) 5.25. Обобщить теоре му 5.6 ва случай ориентированного (н — 1 )-мериого многообразия в й". 5.26.
а) Пусть У; [а, о) -и и — неотрицательная функция н график У в плоскости ху вращается вокруг оси х и й', образуя 151 Элемент объема поверхность М. Показать, что ее площадь равна ~ 2пУ'вгТ+(у')в. е б) Вычислить площадь сферы Я'. 5.27. Пусть Т: й" -» й" — линейное отображение, сохраняю. щее норму, и М есть Ьмериое многообразие в й". Показать, что М и Т(М) имеют одинаковый объем.
5.25. а) Показать, что на Л-мерном многообразии М можно определить абсолютный тензор а-й степени [й)г[., даже если М иеориентируемо, так, что М будет иметь объем б) Показать, что для е: [О, 2и[ Х ( — 1, 1) »йв, определенного равенством и и ит с(и, о) = 2сови+ов1п — сов и, 2в)пи+ов1п — зови, псов — ~, 2 2 с([0, 2п[ К ( — 1, 1)) есть лист Мйбиуса, и найти его площадь. 5.29. Показать, что если на Л-мерном многообразии М суще.
ствует всюду отличная от нуля форма а-й степени, то М ориентируемо. 5.50. а) Пусть у:[О, 1[ -» й дифференпируема и е: [О, 1) -» й' определено равенством с (х) = (х, у (х) ). Показать, что 1 е([0, 1)) имеет длину ~: )г[+(у')в. о б) Показать, что ата длина является верхней гранью длин вписанных ломаных.
(Указание: Если 0 н;се~ Ф, ~ ... ... (Ге 1,то [ е [П) — с (П ,)[ = (тг - П ,)в + (у (сг) — у (ег ,) ) = (тг — Сг ,)в + у' (в,)е (Е„ — Ф, ,)в с некоторым егй[сг-~ Гг[ ) 5.51. Пусть м — форма второй степени, определенная на йв'ч 0 равенством хну Л ие+уае Л гсх+хих Л ау м н (х' + ув + ет),' а) Показать, что м замкнута. б) Покззать, что (р)( ю)- ' Р' Р [„[в 152 б. Интеерирование на лщогообразиял Пусть г>О н 8'(г)=(х~й'. ~я~=г). Показать, что сужение м на касательную плоскость к бг(г) есть злемент объема, умноженный на 1,'г', и что ) э=4п Вывести отсюда, что 5' (т) форма г» не точна.
Тем не менее обозначим м через г(6, поскольку, как мы увидим, т(6 является аналогом формы первой степени г(0 на й" О. в) Показать, что если в, — такой касательный вектор, что о=ар для некоторого йай, то а6(р) (ор, юр) =0 для всех юр. Рис. 5.10, Показать, что если двумерное многообразие М в йз является частью обобщенного конуса, т. е.
объединением отрезков лучей, исходящих из нуля, то ~ а6 О, лг г) Пусть М~ йт'~,0 — такое компактное двумерное многообразие с краем, что жабой луч, исходящий из О, пересекает М не более одного раза (рис. 0.10). Объединение всех исходящих из 0 лучей, пересекающих М, образует телесный угол С(М).
За телесный угол, стягиваемый многообразием М, принимается Элемент объема площадь С(М)Д5в илн, что то же, площадь С(М)Д5в(г) при любом г > О, деленная на гд Доказать, что телесный угол, --.вв ° е.в. ° /) в . (в ° -.-'. выбрать г столь малым, чтобы существовало трехмерное многообразие с краем 1вг (как на рис. 5.10), имеющее в качестве д)(Г объединение М, С (М) Д5' (г) и части обобщенного конуса. (В действительности )в! будет многообразием с углами; см. замечания в конце следующего параграфа.).) 5.32. Пусть У, л: (О, !) -ь й' — непересекающиеся замкнутые кривые.
Определим коэ((в(бициеят занеллеиия 1(У, б) кривых У и я формулой (ср. задачу 4.34) — 1 г 1(у, я) = — 1! аВ. ~У л а) Показать, что если (Р, С) — гомотоция непересекающихся замкнутых кривых, то 1(Рь Ов) =1(Ро Ов). б). Показать, что если г(и, о) = (у(и) — а(е) ), то 1 1(У, б)= — — ~ ~ А(и, о)аив(о, е! 3 !г(и, о)(в о о где (г!) (и) (ув)в (и) (ув)в (и) А (и, о) = де! ( (е!)' (о] (ав)' (о) (ав)' (о) ~ г! (и) ьв (о) гв(и) ев(о) гв(и) ьв (о) ~ в) Показать, что если обе кривые у и я лежат в плоскости х, у, то 1(у, б) =О. Кривые на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
