1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

° 1.4.3. Пусть даны метрические пространства М и У и отображение 1: М вЂ” Ф. Для всякого множества А С Л определено множество з(А) — полный прообраз множества А относительно отображения 1. Напомним, что, по определению, г' з(А) есть совокупность всех точек з 6 М, для которых Дз) Е А. ° Теорема 1.1У.

Пусть даны метрические пространства М и Ф и непрерывное отображение 1: М У. Тогда: 1) для всякого открытого множества П С Ф множество 1" з(У) является открытым множеством пространства М; 2) для всякого замкнутого множества Г пространства Ф множество ~(Г) является замкнутым множеством пространства М.

° и Теорема 1.18. Пусть даны метрические пространства М и Ю и отображение )': М -+ Ф. Тогда если для всякого открытого множества У пространства Х множество 1 ~Я) является открытым, то отображение ~ непрерывно. ° Ч Следствие. Пусть М и Л есть метрическиепространства. Если отображение 1: М -+ Ф таково, что для всякого замкнутого множества Г пространства У его полный прообраз относительно отображения ~ представляет собой замкнутое множество, то отображение ~ непрерывно.

Т 1.4.4. Пусть дано метрическое пространство М, р — метрика этого пространства. Предположим, что задано множество А, содержащееся в М. Тогда определено метрическое пространство (А,р) — подпространство пространства М. Множество 1' С А называется открытым относительно множества А, если 1" является открытым множеством метрического пространства (А,р). В соответствии с определением, данным выше, это означает, что для всякой точки т Е ) ' существует 6 > 0 такое, что шар Вя(я,г) С Ъ'.

Аналогично, множество Г С А называется замкнутым относительно миолсества А, если Г есть замкнутое множество метрического пространства (А, р). Сформулируем следующее простое полезное утверждение. ° Теорема 1.19. Пусть даяы метрическое пространство М и множество А С М. Для того чтобы множество $" С А было открытым относительно А, необходимо и достаточно, чтобы $' допускало представление 1' = У П А, где У есть открытое множество пространства М. Аналогично, множество Г С А является замкнутым относительно множества А в том н только в том случае, если оно допускает представление Г = Р П А, где Р есть замкнутое множество пространства М.

° З Я Обзор некоторых основных утверждений 1.5. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА И КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 43 Множество А метрического пространства М называется компактным, если из всякой последовательности (х„)„ен точек множества А можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит А. Метрическое пространство М называется компактным, если множество всех его точек М компактно. Это, очевидно, равносильно следующему утверждению: всякая последовательность точек пространства М имеет сходящуюся лодпоследовательность.

Множество А в пространстве М назьгвается прейкомпактным, если у всякой последовательности (х„) „ен точек множества А существует подпоследовательность, которая является фундаментальной последовательностью точек пространства М. ° Теорема 1.20. Всякое компактное множество в метрическом пространстве является замкнутым. ° ° Теорема 1.21. Всякое компактное метрическое пространство является полным метрическим пространством.

° ° Теорема 1.23. Для того чтобы мнохсество А в пространстве К" было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным. ° Следствие. Для того чтобы множество А С И" было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограничено и замкнуто. ° Лемма 1.0 (о непрерывном образе компактного множества). Пусть М и Х вЂ” произвольные метрические пространства и А есть компактное множество в пространстве М. Для всякого непрерывного отображения ~: А — Ф множество ДА) является компактным в пространстве Х.

° ° Теорема 1.24 (теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях). Пусть А есть компактное множество в метрическом пространстве М. Тогда всякая непрерывная функция ~: А — я1 является ограниченной и принимает на множестве А свои наименьшее и наибольшее значения. ° ° Теорема 1.22. Ясли метрическое пространство М является полным, то всякое замкнутое предкомлактное множество в этом пространстве компактно.

° 44 Гл. 9. Компактные множества н топологнческне пространства ° Теорема 1.2б (теорема Гейне о равномерной непрерывности). Пусть даны метрические пространства М н 1У, множество А С М н отображение ~: М вЂ” У. Тогда если множество А компактно, а отображение ~ непрерывно, то ~ равномерно непрерывно на множестве А. ° Пусть, как и ранее, заданы метрические пространства М и М, множество А С М н непрерывное отображение ~: М вЂ” 1У. Вещественная функция ш, определенная на отрезке [0,6в), где 6о > О, называется модулем непрерывности отображения ~: М вЂ” 1У, если она удовлетворяет следующим условиям. А) Функция ш неубывающая, м(0) = 0 и Бт м(~) = О.

о В) Для любых хм хз Е А таких, что р1(хмхз) < 6в, имеет место неравенство рз[('(х1),((хз)) < ш[р1(хыхз)). (1.20) ° Лемма 1.9. Если отображение 1': М вЂ” 1У имеет модуль непрерывности м($), 1 Е [0,6в), то оно равномерно непрерывно. ° Говорят, что отображение ~: М -+ Х удовлетворяет условию Напицца с постоянной С, где 0 < С < оо, если г" имеет модуль непрерывности аф) = С1, 0 < ~ < 6. Если функция С~, 0 < 1 < 6, где С и а постоянные, причем 0 < С < оо и 0 < а < 1, является модулем непрерывности ~, то говорят, что ~ удовлетворяет условию Гельдера с показателем о и постоянной С.

Говорят, что отображение ~ равномерно непрерывно, если выполнено следующее условие: каково бы нн было е > О, по нему найдется 6 > 0 такое, что для любых хы хз 6 А таких, что рз(хм хз) < 6, выполняется неравенство рз(Дх1), Дхз)) < е. Точная нижняя граница функции (х, у) ~-~ рз(х, у) на произведении А х А равна нулю. Поэтому данное определение можно переформулировать следующим образом: функция ~ равномерно непрерывна на множестве А, если величина рз [Дх), Ду)) стремится к нулю, когда р1 (х, у) стремится к нулю.

З 2. Критерий предкомпактности. Теоремы Лебега и Бореля 45 й 2. Критерий предкомпактности. Теоремы Леоега и Борели В этом параграфе устанавливаются некоторые важные свойства компактных множеств в метрических пространствах, описываемые с помощью понятия открытого покрытия компактного множества. Напомним, что открытым покрытием множества называется всякое семейство открытых множеств, объединение которых содержит в себе данное множество.

Открытые покрытия множества возникают, например, если для каждой точки множества указана окрестность этой точки, удовлетворяющая какому-либо данному условию. Первое свойство выражается теоремой Лебега, которая утверждает, что для всякого открытого покрытия компактного множества любое из множеств покрытия содерхзит в себе часть покрываемого множества размера, не меньшего некоторой постоянной б > О. Лругое свойство содержится в теореме Бореля, которая утверхздает, что из любого открытого покрытия компактного множества можно извлечь конечное покрытие. Теорема Бореля, таким образом, утверждает, что в произвольном открытом покрытии компактного множества много лишних элементов.

Можно оставить из всего покрытия конечное число составляющих его множеств так, что оставшиеся все равно будут полностью покрывать данное компактное множество. Теоремы Бореля и Лебега служат эффективным средством изучения свойств непрерывных функций на компактных множествах (примеры их приложений содержатся в теоремах, которые устанавливаются далее в 1 3).

Свойство компактных множеств, содержащееся в теореме Бореля, полностью характеризует компактные множества. Это обстоятельство дает, как мы увидим позднее, ключ к распространению понятия компактности на случай множеств в пространствах, не являющихся метрическими. 2.1. ПОНЯТИЕ ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННОГО МНОЖЕСТВА Зададим произвольно метрическое пространство (М, р). Все дальнейшие рассуждения в пределах этого раздела относятся именно к этому пространству (М, р).

Пусть даны множества )Э и А С зЭ и семейство множеств (Еб С .0)ген. Говорят, что это семейство покрывает множество А или, иначе, является покрытием множества А, если объединение множеств Ес содержит А: Ц Е, Э А. Ин 4б Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства Если В С М, где М вЂ” данное метрическое пространство, то покрытие (Е4 С М)4ен множества А называется открытым, если множества Е4 все являются открытыми в метрическом пространстве М. Будем говорить, что покрытие конечно, если множество индексов Б является конечным. Пусть А — непустое подмножество М. Предположим, что задано ч~~~~ е > О.

Характеристики

Список файлов книги