1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Отобралсение р о ~р линейно, н справедливо неравенство ()ф о ф! < ()ф)~)<р(). Если А есть произвольная т х п-матрица, то норма определяемого ею линейного отображения х 6 И" Ах Е И называется операторной нормой матрицы А. Н о р м ы Я, и Уз в векторном пространстве Х называются эквивалентнььни, если существует число Ь такое, что 0 < Х < оо, и для всякого вектора х Е Х выполняются неравенства уг(х) < ЬМ~(х), Ф1(х) < газ(х). Пусть (х„)„ен — произвольная последовательность точек пространства Х. Говорят, что эта последовательность сходится относительно нор- мы У к вектору а 6 Х, если М(х„— а) -+ 0 при и- оо.
Если нормы Х1 и Уз эквивалентны, то, как очевидно, последовательность, сходящаяся относительно одной из данных норм, будет сходящейся, и притом к т о м у же пределу, также и относительно д р у г о й нормы, так что понятия предела, определяемые с помощью двух эквивалентных норм, с о в п ад а ю т.
Справедливо следующее утверждение (см. теорему 6.6 главы 6). ° Предложение 1.1, Если векторное пространство конечномерно, то любые две нормы в этом пространстве эквивалентны. ° 1.3. ПОНЯТИЯ ПРЕ ЕЛА И НЕПРЕРЫВНОСТИ. СВО КА ОПРЕ ЕЛЕНИЙ И ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 1.3.1. В главе 6 была описана некоторая об ая кон еп ия п ела. Здесь мы приведем все необходимые определения и перечень основных результатов, относящихся к ней. Пусть даны произвольные функции г': М вЂ” И и Л: М -~ И.
Определим, чтб есть предел Дх), когда Л(х) стремится к некоторому предельному значению р. В этой связи будем говорить, что Л есть оценочная 4ункция с предельным значением р. Об ий сл чай сво ится ксл чаю ког а =О. 28 Гл. 9. Компактные множества и топологическне пространства ~Дх) — Х~ < е.- Будем говорить, что Ь = оо (Х = -оо) есть предел Дх) при Л(х) — О, если для любого числа К б К можно указать число 6 > О такое, что для всякого х б М, удовлетворяющего условию Л(х) < 6, выполняется неравенство Дх) > К (соответственно неравенство Дх) < К). Если число Ь б Й есть предел функции Дх) при Л(х) -+ О, то будем писать Х = 1пп Х(х).
Л(*)-~О,*ЕМ (4.1) В этом случае будем также говорить, что Дх) стремится к Ь при Л(х), стремящемся к нулю, сокращенно записывая это так: Дх) — Х, при Л(х) -+ О. Когда недоразумение невозможно, выражение х б М в обозначении для предела опускается. Пусть даны число р б К и функция Л: М К. Будем говорить, что р есть предельное значение функции Л, если 1п1 )Л(х) — р! = О. аЕМ Будем говорить, что оо (-оо) есть предельное значение оценочной функции Л, если епр Л(х) = оо (соответственно 1пХ Л(х) = — оо). мЕМ *ем Пусть р Е К есть предельное значение функции Л(х).
Введем вспомогательную функцию р(х), полагая р(х) = ~А(х) — р~ в случае, когда р конечно, р(х) = ехр( — Л(х)) в случае р = оо, и, наконец, пусть р(х) = ехр(Л(х)) в случае, когда р = -оо. Во всех случаях имеем О = 1пХ р(х). *ем Число Х б Й называется пределом Дх) при Л(х) - р, если выполняется равенство Ь = Вгп Дх). я(х) О В этом случае мы будем писать Х, = Вп1 Дх).
Л(а)~р Пусть М вЂ” произвольное множество и Л: М вЂ” + К вЂ” оценочная функция, определенны на М. Предположим, что Л удовлетворяет следующему условию: Е. Точная нижняя граница функции Л на множестве М равна нулю. Пусть дана функция У: М вЂ” + К. Число Х б К будем называть пределом функции У(х) при Л(х) -~ О, если выполнено следующее условие: каково бы нн было е > О, по нему найдется б > О такое, что для всякого х б М, для которого Л(х) < б, выполняется неравенство з Е Обзор некоторых основных утверждений Имеет место а н а л о г теоремы вб эквивалентности понятий предела в смысле Коши и в смысле Гейне (см. главу 2).
Пусть дано произвольное множество М. Пусть Л: М вЂ” К есть оценочная функция на этом множестве и р Е Й вЂ” ее предельное значение. ° Теорема 1.2. Для того чтобы число Ь б Й было пределом функции Дх) при Л(х) — ~ р, необходимо и достаточно, чтобы для всякой последовательности (х„)„ен, точек множества М такой, что 1пп Л(х„) = р, и сю выполнялось равенство Х = 1пп Дх„). ° В главе 6 теорема доказывается для случая, когда р = О.
Общий случай сводится к этому в силу определений, приведенных выше. 1.3.2. П ив емнекото ые об ие свойства и е ела Зададим произвольно множество М, оценочную функцию Л на множестве М с предельным значением р. Введем д в а т и п а подмножеств М, связанных с данной оценочной функцией Л. Множество Е является протяэхекным относительно оценочной функции Л с предельным значением р, если ограничение Л~ к функции Л на Е является оценочной фуккцией на этом множестве с предельным значением р.
Множество 0 С М будем называть базисным относительно оценочной функции Л и ее предельного значения р, если оно удовлетворяет условию: если р конечно, то любая точка х Е М такая, что ~Л(х) — р~ < б, принадлежит множеству О. Если р = оо, то будем говорить, что множество С является базискым относительно оценочной функции Л и ее пределъквгв значения р = оо, если существует К < оо такое, что любая точка х е М, для которой Л(х) > К, принадлежит 6. Наконец, если р = — со, то множество 0 называется базисным относительно оценочной функции Л и ее предельного значения р = -оо, если существует К > — оо такое, что всякая точка х б М, для которой выполняется неравенство Л(х) < К, принадлежит множеству О.
Всякое множество С С М, базисное относительно оценочной функции Л и ее предельного значения р, является также и протяженным относительно Л и предельного значения р функции Л. ф Предложение 1.2. Множество Е С М является протяженным относительно оценочной функции Л: М вЂ” К с предельным значением р в том и только в том случае, если существует последовательность (х„)„ек точек множества Е такая, что Л(х„) -+ р при п — оо.
Ф 30 Гл. д. Компактные множества и топологические пространства ° Теорема 1.3 (общая теорема о предельном переходе в неравенстве). Пусть функции 1: М вЂ” К и д: М вЂ” И таковы, что каждая из них имеет предел при Л(х) — р. Предположим, что существует множество Е С М, протяженное относительно оценочной функции Л с предельным значением р и такое, что при всяком х Е Е выполняется неравенство 1(х) < д(х). Тогда справедливо также и неравенство К = 1пп 1(х) < Ь = аппп д(х). А(*)-~о А(ж)-~о Доказательство теоремы в главе 6 дано для случая р = О.
Общий случай, однако, очевидным образом сводится к этому. ° Следствие. Функция 1": М -~ И может иметь не более одного предела относительно оценочной функции. Доказательство аналогично случаю, рассмотренному в главе 2. ° Лемма 1.5. Пусть Ь б Й есть предел функции 1": М -~ К при Л(х) -+ р, причем А > -оо. Тогда для всякого К < Ь множество тех х Е М, для которых Дх) > К, является базисным относительно оценочной функции Л и ее предельного значения р. Точно так же, если ь < оо, то для всякого К > Х множество тех х Е М, для которы» з (х) < К, является базисным относительно оценочной функции Л и ее предельного значения р.
Доказательство этой леммы в главе 6 рассматривается только для случая р = 0. Общий случай легко сводится к этому. ° ° Теорема 1.4 (общая теорема о зажатой переменной). Пусть дана функция 1: М вЂ” И. Предположим, что существуют множество К С М, базисное относительно оценочной функции Л и ее предельного значения р, и функции и:  — К и и: Л -~ К такие, что при каждом х Е Я 1(х) лежит между и(х) и о(х). Предположим, что К Е Й является пределом каждой из функций и и о при Л(х) ~ р: К = аппп и(х) = аппп о(х). л(х)-~р,вен х(х) р,хен Тогда справедливо соотношение К = аппп 1(х). л(ж)-~у Если существуют базисное множество Л С М и функция и: Л К такие, что и(х) < 1(х) для всех х Е В и Бт и(х) = оо, л(*) з, вен З 1. Обзор некоторых основных утверждений то также и Ыт 1'(х) = оо.
Л(х) р, хЕМ Если существуют базисное множество Л С М и функция и:  — ~ К такие, что и(х) > Дх) для всех х Е зь' и 1пп и(х) = — оо, Л(х)-~р, хЕН то также и Бгп Дх) = — оо. ° Л(х) р,хЕМ Следствие 1. Предположим, что для функции 1": М -+ К существуют множество О, базисное относительно оценочной функции Л: М -+ К и ее предельного значения р, и функция а: 0 — И такие, что для всех х Е 0 выполняются неравенства О < 1(х) < а(х).
Тогда еслиа(х) — О приЛ(х) — р, то также них) -+ О при Л(х) — р. р Следствие 2 (свойство локальности предела). Пусть дана функция 1: М -+ К. Предположим, что существуют множество зь С М, базисное относительно оценочной функции Л: М вЂ” И с предельным значением р, и функция д: хь — К такие, что Дх) = д(х) для всех х б Я. Тогда если существует предел Ь = 1пп д(х), Л(х) р, хЕН то 1, = 1пп Дх). Т Л(х)-~р, хЕМ 1.3.3. Справедлива следующая общая теорема об алгебраических опе- рациях с пределами.
° Теорема 1.5 (теорема об алгебраических операциях над пределами). Пусть даны функции Д: М вЂ” К,( = 1,2,...,т. Предположим, что при каждом г' = 1, 2,..., гв существует конечный предел 1пп Ях) = Ь;. Л(х) р 32 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства Тогда сумма и произведение данных функций имеют конечные пределы при Л(х) -~ р. При этом 1п [Л(х) + Л(х) + " + 1,.(х)] = Ь, + Бз+ " + Х„, А(х)-~р 1пп [~з(х)Ях)...~ (х)] = Йзйз...Х, Л(*) х Если функция 1: М -+ И имеет предел Ь = 1пп У(х) ~ 0 ~(х)-~х них) ~О длявсехх б М, то 1 .
1 — 1пп —. ° Ь Я(*) х 1(х) 1,3.4. Пусть М есть метрическое пространство, р — его метрика. Предположим, что задано множество Т, на котором введена оценочная функция и, имеющая предельное значение р. Будем говорить, что точка а б М является пределом отображения р: Т ~ М при п(1), стремящемся к р, если йт р[~р(1), а] = О. х(О я Если точка а б М удовлетворяет этому условию, то будем писать а = Пгп ~р(1) (О в и говорить, что (о(х) стремится к а при п(1), стремящемся к нулю, в обозначениях ~р(1) а при п($) р. Покажем, что если отображение ~р: Т вЂ” + М имеет предел при п(1) — р, то предел этот е д и н с т в е н н ы й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
