1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда если для любого вектора х Е Х н любого числа Л Е К выполняется неравенство г (Лх) < /Л/г (х), (1.7) то Г(Лх) = !Л~г(х) (1.8) для любых х Е Х н Л Е К. Показательство леммы приводится в главе 6 (лемма 3.1, з 3). ° З 1. Обзор некоторых основных утверждений 23 Пусть Х есть нормированное векторное пространство. Норму произвольного вектора х Е Х будем обозначать символом ~х~. Задание нормы в пространстве Х позволяет ввести в нем некоторую метрику.
Именно, для произвольных точек х, у пространства Х полагаем р(х,у) = )х — у~. (1.9) Функция пары точек пространства Х, определенная равенством (1.9), является метрикой. Будем говорить, что это есть метрика, порожден- ная нормой пространства Х. 1.2,3. Рассмотрим отдельно случай пространства И". Для произволь- ного вектора х = (хм хг,..., х„) в пространстве И" полагаем Ехг 1х) = (1.10) Норма ~х~ в пространстве К", определенная равенством (1.10), называется евклидовой нормой в К".
Доказательство того, что функция х ~ ~х~ есть норма в И", приводится в 3 3 главы 6. Пусть х = (хг, хг,..., х„) и у = (уг, уг,..., у„) есть векторы в пространстве К". Величина хгуг + хгуг+ + хоуп =,,) хЮ )(х,у)( < )хЦу!. (1.11) Доказательство неравенства (1.11) представлено в п. 8.3 главы 4. Для всякого вектора х Е И" имеет место равенство (х, х) = ~х~~. Пусть к и пг есть произвольные натуральные числа и п = к + т. Тогда декартово произведение К~ х К изометрично пространству К". Действительно, сопоставим произвольному элементу (у,е) декартова произведения вектор х Е И", получаемый следующим образом: последовательно выпишем компоненты вектора у и затем припишем к ним, в порядке следования, компоненты вектора з.
Полученный в результате вектор х Е К" обозначим символом г'(х, у). называется скалярным произведением векторов х и у и обозначается символом (х, у). Справедливо неравенство, называемое неравепспгвом Коши — Букисовского: 24 Гл. 9. Компактные множества и толологические пространства Формдльно, если у = (ум уз, ° ° °,уь) б К, 8 = (з1,зз,..., з~д) Е К то Яу,з) есть вектор х = (хм хз,..., х„) к К" такой, что х; = у; для 1 = 1,2,...,к и х; = з; ь при 1 = к+1,Й+2,...,к+т = и.
Легко проверяется, что отображение 1: (у, г) Е К х К ~-+ х = Яу, г) Е К + = К" является изометрическим. Отображение з, полученное таким образом, будем называть канонической извметрией пространств КЬ х К иК"=Кь+ В дальнейшем вместо Яу, з) будем писать просто (у, г), отождествляя пару (у, з) с элементом Яу, г) пространства К". Пусть Ез есть двумерная евклидова плоскость и расстояние между точками Х, У е Ез определяется как длина отрезка, соединяющего эти точки. (В случае Х = У отрезок вырождается в точку.) На плоскости зададим декартову ортогональную систему координат.
Пусть Х б Юз, х и у — координаты точки Х в этой системе координат. Тогда, как следует из известных результатов аналитической геометрии, отображение а': Х (х,у) является извметрией плоскости Ез и метрического пространства Кз. 1.2.4. Опишем некото ые по множества п ост анства К" Пусть А; = (а;, Ь;), где 1 = 1,2,..., и, — некоторые отрезки в множестве К.
Совокупность всех точек х = (х1, хз,..., х„) пространства К", у которых 1-я координата принадлежит А; при каждом г' = 1, 2,..., и, будем обозначать символом (1.12) А~хАзх .хА„= ХА; и называть координатным прямоугольником пространства К". Всякое множество А С К", допускающее представление вида (1.12), будем называть также и-мерным прямоугольником. Предположим, что и-мерный прямоугольник А является произведением отрезков Аы Аз,..., А„. Если каждый из отрезков А; является открытым, то А называется и-мерным интервалом. Если отрезки А, все замкнутые, то будем говорить, что А есть п-мерный сегмент. Пусть даны точка а = (амаз,...,а„) пространства К" и число т > О. Полагаем Я(а, т) = (а1 — г,а1+ т) х (аз — т,аз+ т) х ° ° ° х (а„— 7',а„+ г), фа,г) = (а~ — т,а, + г~ х [аз — т,аз+ г~) х .
х ~а„— г,а„+ г). з ь Обзор некоторых основных утверждений 25 . В дальнейшем каждое из множеств Я(а, г) и Ч(а, ь) будем называть кубом с центром а и длиной ребра 2т, причем куб Ч(а,т) далее именуется оптрытььм, куб Я(а, т) — замкнутььль. Очевидно, фа, г) представляет множество пространства К", состоящее из всех точек х = (хь, хг,..., х„), для которых выполняются неравенства ~х, — а;~ < т для всех ь = 1, 2,..., п. Аналогичным образом, фа, ь ) есть совокупность всех точек х = (хь,хг,...,х„) пространства К", для которых ~х; — а;~ < т для всех ь = 1, 2,..., и.
Очевидно, всегда имеет место включение фа,т) С фа,т). Если гь и гг таковы, что О < ть < тг, то Я(а, ть) С фа, тг). Пусть а есть произвольная точка пространства К" и т > Π— вещественное число. Тогда определены множества В(а, т), и В(а, т)— открытый и замкнутый шары с центром в точке а и радиусом г. Напомним, что согласно определению (см. п. 1.1.3) шар В(а,т) есть множество всех точек х Е К" таких, что ~х — а~ < т, а В(а, г) есть совокупность всех точек х б К", для которых выполняется неравенство )х — а) < т.
Для всякой точки а б К" для любого т > О имеют место включения В(а,г) С фа,т) С В(а,г~/п), В(а,г) С Я(а,т) С В(а,т4п). (1.13) 1.2.5. Пусть даны векторные пространства Х и ьь'. Отображение ььг: Х -+ з' называется линейным, если оно удовлетворяет следующему условию.
Ь. Для любых двух векторов хь, хг Е Х и любых чисел Л, ьь Е К имеет место равенство ьр(Лхь + 1ьхг) = Льр(хь) + ~ир(хг). Совокупность всех линейных отображений векторного пространства Х в пространство я' будем обозначать символом .2п(Х, з'). Если ьр: Х -и х' и 4ь: Х -+ я' есть линейные отображения, то для любых чисел Л,д Е К отображение Льр + 1ьФ также является линейным. На основании следствия теоремы 1.1 это позволяет заключить, что множество отображений х'(Х, з') является векторным пространством. Рассмотрим специально случай, когда Х и 1ь' есть пространства К" и К соответственно. Пусть задана матрица аьь, аьг, ...
аьп агь, агг, агп (1.14) ать айаг ... атвп 2б Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства из т строк и и столбцов, элементы которой а;. есть вещественные числа. Пусть х = (хм хз,..., х„) есть произвольный вектор в К". Предположим, что у есть вектор в К, координаты которого выражаются через координаты вектора х равенствами у1 = а~ 1х~ + а1зхз + ... + а1„х„, уз = аз1х1 + аззхз + ... + аз х„, (1.15) у,„= а,„1х1 + а,„зхз + ...
+ а,„„х„. В этом случае мы будем говорить, что вектор у получен из вектора х умножением слева на матрицу А, и писать у = Ах. Отображение х 6 К" ~ Ах Е К™ является линейным, и для всякого линейного отображения ~р: К" -~ К существует матрица А из т строк и и столбцов такая, что для любого вектора х б К" имеет место равенство у(х) = Ах. Матрица А определяется по линейному отображению у единственным образом и называется матриией отобрахсения~р. Предположим, что векторные пространства Х и У являются нормированными.
Для упрощения записи норму вектора х б Х будем обозначать символом ~х~ и, аналогично, норма произвольного вектора у б У обозначается здесь символом ~у~. Пусть дано линейное отображение ~в: Х -+ У. Точная верхняя граница величины ~~р(х)~ на совокупности всех х Е Х таких, что ~х~ < 1, обозначается символом Ы и называется нормой линейного отображения р относительно норм, заданных в пространствах Х и 1?. В соответствии с этим определением имеем равенство Ы = зир ~~р(х)~х.
*ах, ~*!я<1 Отображение ~р б .У(Х, з') называется ограниченным, если его норма конечна. Совокупность всех ограниченных линейных отображений пространства Х в пространство У обозначается символом Я х(Х,У). Для всякого линейного отображения у пространства К" в пространство К его норма )~~р)! конечна, так что любое линейное отображение ~р: К" -~ К™ является ограниченным. Из определения нормы линейного отображения непосредственно вытекают следующие утверждения. 1. Если ~р б М У(Х, У), то для всякого вектора х б Х выполняется неравенство )<р(х)(х < Ы(х)х.
27 З Е Обзор некоторых основных утверждений 2. Множество Я У(Х, я') всех ограниченных линейных отображений нормированного векторного пространства Х в нормированное векторное пространство К является векториын пространством, и ))ф) есть норма в этом пространстве. 3. ПустьданывекторныепространстваХ, я'и я,нпустьу: Х- я', ф: Ъ' -~ 7 есть ограниченные линейные отображения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
