1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. данные пространства с о в п а д а ю т, изометрия пространств (Мы р> ) и (Мг, рг) называется также изометрическим преобразованием или движением проспгранстпва (М, р). 1.1.2. Пусть даны метрические пространства (Мг Рг),(Мг Рг) ...,(Мв>рв). Пусть М есть прямое произведение множеств Мы Мг,..., М„: М вЂ” Мгхмгх'''хм Это означает, что М есть совокупность всех конечных последовательностей х = (зг, зг,..., з„) таких, что зь Е Мь при каждом >с = 1,2,..., и. Для з = (хг>хг»... з„) Е М точка зь Е Мь> й = 1,2,...,и, называется й-й компонентой тпочни х. Для произвольных двух элементов з = (зызг, >з„) и у = (уг,уг,...,у„) множества М определим число р(з, у), полагая Введенная таким образом функция р: М х М -> И является метрикой намножествеМ=МгхМгх хМ„,какпоказано в главе б.
Метрическое пространство (М, р), построенное по пространствам (Мь, рь), й = 1,2,...,и, указанным способом, называется их декартовым произведением и обозначается либо выражением (М, р) = (Мг, рг) х (Мг, рг) х ° ° ° х (М„, р„), либо выражением (М,р) = Х(Мьрь). я=1 1.1.3. Пусть дано метрическое пространство (М, р). Для а Е М и ве- щественного числа т > 0 полагаем В(а,т) = (з Е М [ р(х,а) < т), В(а, т) = (х Е М [ р(з>а) < т), Я(а, т) = (з Е М [ р(з, а) = >.).
з 1. Обзор некоторых основных утверждений 19 Множество В(а, т) называется оптрытььм шаром с центром а и радиусом т. Множество В(а,т) называется замкнутым шаром с центром а и радиусом т, множество Я(а, т) — сферой радиуса т и с центром а. Имеет место равенство В(а, т) = В(а, т) О Я(а, т). В дальнейшем, употребляя слово «шар», мы всегда будем иметь в виду оп»крь»п»ь»й шар, опуская слово <открытый» каждый раз, когда это не может привести к недоразумению.
Часто встречается ситуация, когда рассматриваемое метрическое пространство (М, р) является подмножеством некоторого другого метрического пространства. В этом случае открытый шар, замкнутый шар и сферу в пространстве М будем обозначать соответственно символами Вм(а, т), Вм(а, т), Ям(а, т). Как показано в главе 6, справедливо следующее предложение (нумерация утверждений главы 6, приведенная здесь, изменена в соответствии с нумерацией данной главы). ° Лемма 1.1. Пусть даны метрическое пространство (М, р) и точка а Е М. Тогда для любых чисел т» и тз таких, что О < т» < тз, справедливо включение В(а, т») С В(а, тз).
° Из леммы 1.1 вытекает, что если О < т» < тз, то имеют место включения В(а,т») С В(а,тз), В(а,т») С В(а,тз). Следующее предложение также доказано в главе 6. ° Лемма 1.2. Пусть даны точка а Е М, число т > О и точка яе Е В(а, т). Тогда если О < и < т — р(хе, а), то имеет место включение В(яо, О) С В(а, т). ° 1.1.4. Пусть дано произвольное метрическое пространство М.
Часто возникает необходимость рассмотрения функций, определенных не на всем пространстве М, а на некотором его подмножестве А. В частности, это оказывается необходимым при изучении понятий непрерывности и предела. В связи с этим можно предположить, что понятия непрерывности и предела должны рассматриваться в общей ситуации, когда заданы метрическое пространство и некоторое его подмножество и речь идет о функциях, определенных на этом подмножестве. 20 Гл. 9.
Компактные множества и топологические пространства Можно, однако, избежать возникающей при этом громоздкости построений и рассматривать только те функции, областью определения которых является все метрическое пространство. Для этой цели служит понятие пвдпростпранства. Пусть даны метрическое пространство М с метрикой р и множество А.
Для всякой пары х, у элементов множества А определено число р(х, у). Тем самым на множестве Ах А определена функция рд — — р~д„д. Для этой функции, очевидным образом, выполняются все а к с и о м ы метрики, введенные ранее (см. п. 1.1.1 этого параграфа). Метрическое пространство (А, рд) называется подпространством првстранстпва М. Множество элементов этого пространства есть множество А, и рд(х, у) = р(х, у) для произвольных х, у Е А.
В дальнейшем вместо рд будем писать просто р. ° Лемма 1.3. Пусть даны метрическое пространство М и множество А С М. Тогда для всякой точки х б А и любого числа т > 0 шары Вд(х,т), Вд(х,т) и сфера Бд(х,т) в метрическом пространстве (А,р) допускают представление Вд(х, т) = Вм(х, т) О А, Вд(х, т) = Вм(х, т) О А, Яд(х, т) = Ям(х, т) П А. ° 1.2.
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. НОРМА В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 1.2.1. Векторное пространство есть множество элементов произвольной природы, в котором определены операция сложения элементов и операция умножения на число. Детальное изучение свойств векторных пространств является задачей курса алгебры, а именно, того ее раздела, который называется линейной алгеброй. Векторные пространства, рассматриваемые в математическом анализе, обычно возникают как множества функций, удовлетворяющих определенным условиям. Важный частный случай векторных пространств представляет пространство И".
Его элементами являются всевозможные конечные последовательности х = (хз, хз,..., х„) из и элементов, где хы хз,..., х„ есть произвольные вещественные числа. Числа хм хз,..., х„называются компонентами или новрдинатпами элемента х = (хмхз,...,х„) множества К". Операции сложения элементов и умножения элемента на число в К" определяются следующим образом.
З 1. Обзор некоторых основных утверждений 21 Суммой элементов (хихон>.>.,х„) и (ум уз,..., д„) множества К называется а = (аы гз,..., а„) б К" такое, что при всяком у = 1, 2,..., и выполняется равенство г = х„+ д . Пля х = (хыхз,...,х„) Е И" и Л б К произведение Лх есть у = (уы уз,..., у„) б К" такое, что у = Лх для всякого у = 1, 2,..., и. Справедливы следующее общее предложение и его следствие, доказанные в главе б. ° Теорема 1.1. Пусть даны произвольное множество Е и векторное пространство Х.
Обозначим символом Я(Е, Х) совокупность всех отображений множества Е в пространство Х. Предположим, что операции сложения элементов и умножения на число определены в дг(Е, Х) естественным образом, т. е. сумма двух функций ~: Е -> Х и д: .Е -+ Х есть функция Й: Е -> Х, определенная условием: Ь(х) = Дх) + д(х) для всех х Е Е, а произведение ЛХ функции ~: Š— Х на число Л б К есть функция д: х б Е > ЛДх) для любого х Е Е. Множеством(Е,Х) с определенными так олерациямя сложения и умножения на число представляет, собой векторное пространство. ° Следствие. Пусть даны множество Е, векторное пространство Х над полем К и некоторый непустой класс функций .Ф, имеющих областью определения множество Е, а областью значений — пространство Х.
Тогда если для любых функций ~,д Е -Ф и любых чисел Л,р Е И функция Л~ + рд принадлежит и, то аа является векторным пространством. Ч Теорема 1.1 и ее следствие дают способ проверки того, что то или иное множество функций является векторным пространством. Если задан некоторый класс функций .4Г, определенных на множестве Е и принимающих значения в векторном пространстве Х, то для того, чтобы проверить, что Ф есть векторное пространство, достаточно убедиться, что для любых двух функций ~ и д, принадлежащих множеству Ф', и любых чисел Л,р б К линейная комбинация Лг + рд также является элементом множества .4а'. Векторное пространство И" есть частный случай пространства У(Е, Х), получаемый при некотором специальном выборе множества Е и векторного пространства Х.
Пусть $„ есть отрезок (х Е М ~ и < и) = (1,2,...,и) множества всех натуральных чисел г>. Всякая конечная последовательность (хы хз,..., х„) есть функция, область определения которой есть отрезок $„множества (з(. Совокупность всех вещественных чисел К, как было отмечено выше, представляет собой векторное пространство. Отсюда следует, что пространство К" совпадает с пространством Я(1„, К). 22 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства 1.2.2. Пусть Х есть произвольное векторное пространство. Функция Л: Х -~ К называется нормой, если она удовлетворяет следующим трем условиям — аксиомам нормы. Я.1. Для любых двух векторов х, у Е Х выполняется неравенство Ф(х + у) < Ф(х) + Ф(у).
1з.2. Для всякого х Е Х н любого Л Е К имеет место равенство М(Лх) = ~Л~К(х). Х.З. Если для вектора х Е Х имеет место равенство й(х) = О, то х есть нулевой вектор пространства Х. Пусть Х: Х -+ К есть норма. Тогда Х(О) = О и Х(х) > О для всякого х Е Х. Векторное пространство Х называется нормированным, если в нем задана некоторая норма. Формально, нормированное векторное пространство есть пара (Х, 1У ), где Х есть векторное пространство, а Х— норма в этом пространстве. Если Л есть норма в нормированном векторном пространстве Х, то для х Е Х величина 1У(х) называется нормой вектора х. Норма вектора х обозначается символом ~х~к или каким-либо другим символом, аналогичным знаку модуля числа, например символами 'ОхЙ, Шх)((, ~х~ и им подобными.
Пусть Х = К. В множестве К определены операции сложения и умножения элементов, и К является векторным пространством. Функция Х(х) = ~х~, очевидно, удовлетворяет условиям Н.1, Н.2 и Я.З и, значит, является нормой в К, как в векторном пространстве. Множество К, таким образом, представляет собой и р и м е р нормированноео векторноев пространства над полем К. Норма произвольного числа х Е К есть просто его абсолютная величина. Нижеслед ю ая лемма полезна и и и ове ке того что та или иная нк ия на векто ном и ост анстве является но мой. ° Лемма 1.4. Пусть Х есть векторное пространство н Р: Х -+ К— неотрицательная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
