1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Зададим произвольно числа а и д и векторы х, у Е Х. В силу линейности отображений у„при всяком и Е Ы имеем Я„= ~р„(ах + ~3у) — а~а„(х) — До„(у) = О. Положим В = у(ах + Ду) — а~р(х) — фу(у). При всяком и имеем 0<ЦйЦ=Ц11,— ВЦ< < Цу„(ах+ ~9у) — у(ах+Зу)Ц+/а/Цу„(х) — ср(х)Ц+ ЯЦЕК„(у) — ср(у)Ц. Фиксируем произвольно значение и > К. Для всякого х е Х и любого р > К имеет место неравенство Ц~р„(х) — у„(х)Ц < Ц~р„— ~р„ЦЦхЦ < — ЦхЦ.
Переходя в неравенстве 2 к пределу при р — + оо, получим, что для любого х Е Х выполняется неравенство Цр„(х) — ~р(х)Ц < -ЦхЦ. (1.16) Каждое слагаемое справа стремится к нулю при и ~ оо, откуда вытекает, что В = О. Так как векторы х, у Е Х и числа а и 11 были взяты произвольно, то тем самым линейность отображения ~р установлена. Осталось доказать, что норма линейного отображения у конечна и Цу>„ — ~рЦ вЂ” О при и -+ оо.
Зададим произвольно е > О и найдем по нему число К < оо такое, что если и > К и р > К, то 38 Гл. 9. Компактные множества и толологические пространства Отображение ~о„— ~р, следовательно, принадлежит классу Я У(Х,7) и, значит, также и р = р. — (у. — ~р) Е йй Р(Х,Ъ). В силу произвольности х Е Х из неравенства (1.16) вытекает, что е !! р. — р!! «- в 2 Единственное условие, которому при этом должен удовлетворять номер ц, содержится в неравенстве и > К. В силу произвольности в > О тем самым установлено, что !!р„— ~р!! — О при и — оо. Таким образом, для всякой фундаментальной последовательности (~р„)„ен отображений, принадлежащих множеству ЖУ'(Х, У), существует ~р Е Я Р(Х,У) такое, что !!~о„— 1в!! -+ О при и — оо.
Согласно определению это и означает, что Я.Р(Х, з) есть полное нормированное векторное пространство. Теорема доказана. ° 3 а м е ч а н и е 1. При доказательстве теоремы, как можно видеть, использовалась только полнота пространства У. Полнота пространства Х явно не использовалась. Поэтому теорема остается верной, если в ее формулировке опустить условие полноты пространства Х. 3 а м е ч а н и е 2. Теорема может быть получена так же, как следствие теоремы, доказываемой в главе 12.
° Теорема 1.11, Пусть М есть полное метрическое пространство, Т вЂ” произвольное множество с оценочной функцией Л, имеющей предельное значение р. Для того чтобы отображение ~р: Т -~ М имело предел лри Л(1) -+ р, необходимо я достаточно, чтобы для всякого е > О существовала окрестность У числа р в множестве К такал, что для любых г',1в Е Т, для которых Л(8') Е У и Л(1н) Е У, выполняется неравенство р! р(г'), ~р(1и)! ( в. ° П уведем ез льтаты касающиеся важного частного сл чая нк ий со значениями в п ост анстве К". (Доказательства этих результатов приводятся в главе 6.) Пусть М есть произвольное множество. Предположим, что задано отображение 1': М вЂ” К". Тогда для всякого х Е М определен вектор 1(х) в пространстве К".
Пусть Ях), 1 = 1, 2,..., п, есть 1-я компонента вектора 1(х). Тем самым на множестве М определена система из п вещественных функций Ях). Будем называть их компонентами вектор-функции 1(х). ° Теорема 1.12. Предположим, что на множестве М задана оценочная функция Л(х) с предельным значением р. Пусть дано отображение ~: М вЂ” К" и вещественные функции Л, г' = 1, 2,..., п, есть компоненты вектор-функцин 1'. Тогда для того, чтобы вектор Л = (ЛыЛз,...,Л„) был пределом ~(х) лри Л(х) — р, необходимо и достаточно, чтобы лри каждом 1 = 1,2,...,и выполнялось равенство Л; = йгп Л(х).
° л(ж) р З 1. Обзор некоторых основных утверждений 39 Следствие. Предположим, что М есть метрическое пространство н а — произвольная точка М. Тогда отображение 1' М -+ К" является непрерывным в точке а в том и только в том случае, если каждая из его компонент Г1, !з,..., Г„непрерывна в этой точке. Т ММ1хмзх'''хм есть полное метрическое пространство. Яоказлтельство. Требуется доказать, что всякая фундаментальная последовательность точек пространства (М, р) имеет предел.
Пусть (х„)„ен есть произвольная фундаментальная последовательность точек пространства (М, р). Пусть х„= (х! „,хз,„,...,х„„), где хь,„б М1, при каждом и = 1,2,..., п. Таким образом, для каждого х = 1, 2,..., и определена некоторая последовательность (хь,„)„ен точек пространства Мы Докажем, что каждая из этих последовательностей является фундаментальной. Зададим произвольное е > О.
Так как, по условию,последовательность (х„) „ен фундаментальная, то найдется номер р такой, что для любых и! > р и из > р выполняется неравенство р(х„„х„,) < е. При каждом /с = 1, 2,..., и имеем > Рь(хь,н, хь,и,). р(х„„х„,) = Отсюда видно, что при всяком Й для любых и1 > Р и из > Р выполняется неравенство рь(хь „„ хь „,) < е. Поскольку е > О было взято произвольно, то тем самым установлено,что последовательность (хь,„)„ен точек пространства Мь является фундаментальной. Так как по условию теоремы каждое из пространств Мь является полным, то мы получаем, что при всяком й = 1,2,..., и существует точка а! Е М! такая, что Бт х1„= ам и- со Пусть а = (а1, аз,..., а„).
Имеем р(х„, а) = ! [р;(х;,„, а1)]з 1=1 ° Теорема 1.13. Пусть даны метрические пространства (М;, р;), ! = 1,2,...,п, и (М,р) есть их декартово произведение. Тогда если каждое из пространств М;, ! = 1,2,..., п, является полным, то 40 Гл. 9. Компактные множества и толологические пространства Каждое из слагаемых под знаком квадратного корня стремится к нулю при и — оо.
Отсюда следует, что р(х„,а) — 0 при и -+ оо и, значит, а пп 1пп х„. п сс Фундаментальная последовательность (х„)„ен в пространстве М была выбрана произвольно. Мы получаем, таким образом, что всякая фундаментальная последовательность пространства (М,р) = (М1,рз) х (Мз>рз) х . х (Мп,рп) является сходящейся.
Тем самым полнота пространства (М, р) установлена. Теорема доказана. ° 1.4. ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 1.4.1. Приведем сначала некоторые общие сведения относительно открытых и замкнутых множеств в произвольном метрическом пространстве. Их доказательства используют некоторое общее утверждение относительно операций над множествами, которое потребуется нам также и в теории интеграла. Пусть дано произвольное множество М, Для множества А С М множество М ~ А называется дополнением множества А в М.
Дополнение множества А в М обозначается символом СМА. Когда недоразумение невозможно, индекс М в этой записи опускается. ° Лемма 1.В (о тождествах Моргана). Пусть дало множество М. Для всякого множества А С М справедливо равенство С(СА) = А. (1.17) Пусть (А>)>ет есть произвольное семейство подмножеств М.
Тогда имеют место равенства с('С и,) = П сп„ 1ет 3ЕТ с(ПА) = ИСА ° 1ет >ет (1.18) (1.19) 3 а м е ч а н и е. Равенства (1.17), (1.18) и (1.19) называются тождествами Моргана. ° Лемма 1.7. Пусть даны произвольные множества Р и Я н отображение ~: Р -> Я. Тогда для всякого множества Е С Я имеет место равенство 1' 'Я >1 Е) = Р >1 ~ 1(Е). ° з 1. Обзор некоторых основных утверждений П уведем оп еления и пе ечислим без оказательства основные свойства некого ых специальных по множеств п оизвольных мет и- ческих п ост анств.
Пусть М есть метрическое пространство, р — его метрика. Пусть дано множество 0 С М. Точка х Е М называется внутренней точкой множества с', если существует в > 0 такое, что шар В(х, в) содержит- сявС. Множество У с М называется открытым множеством метрического пространства (М, р), если все его точки внутренние. Из определения следует, что М есть открытое множество пространства (М, р). По формальным соображениям пустое множество также удобно считать открытым множеством пространства (М, р). Всякий шар В(а, г) в метрическом пространстве (М, р), как показано в главе 6, есть открытое множество данного пространства. (Это следует из леммы 1.2 (см.
выше).) Множество А С М называется замкнутым множеством метрического пространства (М, р), если его дополнение СмА является открытым множеством пространства (М, р). Из определения следует, что множество М всех точек метрического пространства (М, р) является замкнутым множеством этого пространства, так как множество СМ пусто и, значит, является открытым множеством. Пустое множество Я является замкнутым множеством пространства (М,р), поскольку СЯ = М есть открытое множество пространства (М, р). 1.4.2. Следующая теорема, доказательство которой приводится в главе 6, объясняет связь понятия замкнутого множества с понятием предела последовательности.
° Теорема 1.14. (критерий замкнутости множества в метрическом пространстве). Пусть дано метрическое пространство (М, р). Для того чтобы множество А было замкнутым в этом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы оно имело следующее свойство: для всякой сходя- шейся последовательности точек пространства (М, р), все члены которой являются элементами множества А, предел этой последовательности также принадлежит множеству А. ° Все дальнейшие рассуждения относятся именно к произвольно заданному метрическому пространству (М,р).
Имеют место следующие утверждения. ° Теорема 1.15. Объединение любого семейства открытых множеств метрического пространства есть открытое множество. Пересечение конечного числа открытых множеств является открытым множеством. ° 42 Гл. 9. Компактные множества и толологическне пространства ° Теорема 1.16. Пересечение любого семейства замкнутых множеств метрического пространства есть замкнутое множество. Объединение любого конечного мнохества замкнутых множеств является замкнутым множеством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
