1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть го есть одно из таких значений г ) О. Построим некоторую последовательность (х„)„ен точек множества Е. Точку х1 выбираем произвольно. Предположим, что для некоторого и б уточки хь определены для всех к = 1,2,..., ю . Пусть Н„= (хы хз,..., х„). Множество Н„конечно. Согласно предположению множество Е не имеет конечной го-сети. Значит, и множество Н„не является таковым.
Поэтому в Е есть хотя бы одна точка х, для которой нельзя указать у б Н такое, что р(х,у) < ео. Выберем одну из таких точек х произвольным образом и обозначим ее через х„+1. Из определения х„+1 вытекает, что р(х„+м хь) > го для любого и = 1, 2,..., и. В силу принципа математической индукции последовательность (х„)„ен построена.
При этом если им из Е М таковы, что из ф из, то р(х„„х„,) > го. Действительно, пусть, для определенности, из < из. Положим и = и„и = из — 1. Тогда из — и+ 1, 1 < и = и1 < и и, значит, р(х„„х„,) = р(х„+мхе) > ео. Докажем, что из построенной последовательности нельзя извлечь фундаментальную подпоследовательность. Действительно, пусть (х„, )ьек — произвольная ее подпоследовательность. Здесь (иь)ьек есть 52 Гл. 9. Компактные мнонсества и топологические пространства строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда, каково бы ни было ко б Х, для любого й > йо имеет место неравенство р(х„,,х„, ) > ео.
Это означает, что для е = со не существует номера ко, который отвечал бы этому с > 0 согласно определению фундаментальной последовательности. Таким образом, нами установлено, что если множество Е С М не является вполне ограниченным, то существует такая последовательность его элементов, из которой невозможно извлечь фундаментальную подпоследовательность. Мы получаем противоречие,и, следовательно, множество Е вполне ограничено. Теорема доказана полностью. ° Следствие. Пусть М есть полное метрическое пространство. Для того чтобы множество А С М было компактно, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограничено и замкнуто. Доказательство.
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть А есть компактное множество. Тогда оно является замкнутым множеством пространства М. Из всякой последовательности элементов множества М можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Любая сходящаяся последовательность является фундаментальной, так что всякое компактное множество является предкомпактным. В силу пзеоремы Хаусдорфа (теорема 2.1) отсюда вытекает, что множество А вполне ограничено.
Необходимость условия следствия доказана. Докажем его д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что метрическое пространство М полно, и пусть А есть произвольное замкнутое вполне ограниченное множество пространства М. Пусть (х„)„ен есть произвольная последовательность точек множества А. Так как А вполне ограничено, то в силу теоремы Хаусдорфа из данной последовательности можно извлечь фундаментальную подпоследовательность. Так как пространство М, по условию, полное, то эта подпоследовательность является сходящейся. А так как множество А замкнутое, то предел данной подпоследовательности принадлежит множеству А.
Таким образом, мы получаем, что из всякой последовательности точек множества А можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит А. Согласно определению компактного множества это означает, что множество А компактно. Следствие док азино. З 2. Критерий предкомпактности. Теоремы Лебега и Бореля 53 2.2. ОмпАктнОсть НРОизве ениЯ кОмпАктных мнОжестВ Докажем, что произведение компактных множеств снова является компактным множеством. ° Лемма 2.1.
Пусть даны метрические пространства (М;, р;), г = 1,2,..., т. Пусть (М, р) есть их декартово произведение. Предположим, что при каждом г' = 1,2,..., т задано множество А; С М;. Тогда если каждое из множеств А; вполне ограничено, то А = А1 х хАз х х А С М есть вполне ограниченное множество пространства (М, р). Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Зададим е произвольно е > О. Пусть е1 —— —. з/т Согласно предположению множества А;, 1 = 1, 2,..., гп, являются вполне ограниченными и, значит, при каждом з найдется конечное множество Н; С М, которое является епсетью множества А;. Пусть Н = Нз х Нз х х Н .
Множество Н, очевидно, конечно. Докажем, что оно является е-сетью множества А = А1 х Аз х . х хА пространства М. Действительно, пусть х = (хыхз,...,х ) есть произвольный элемент множества А. При каждом г' = 1, 2,..., т имеем зн Е А;. Так как Н; есть емсеть множества А;, то найдется у; ЕН; такое, что р;(х;, у;) ( е1. Положим у = (уы уз,..., у ). Точка у множества М принадлежит множеству Н.
Имеем Так как точка з Е А была взята произвольно, то, ела>вательно, мы получаем, что множество Н является е-сетью множества А. Таким образом, мы получаем, что для всякого е > 0 существует конечная е-сеть множества А. По определению, это и означает, что множество А вполне ограничено. Лемма доказана. ° ° Теорема 2.2. Пусть даны метрические пространства (М;,р;), 1= 1,2,..., т, и пусть (М, р) есть их декартово произведение. Предположим, что при каждом з' = 1, 2,..., ти задано множество А; С М;. Тогда если каждое из множеств А; компактно, то А = А1 х Аз х .. х А с М есть компактное множество пространства (М, р). Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда А; = М; при каждом г' = 1,2,...,т.
В силу компактности каждое из метрических пространств М; является полным метрическим пространством. 54 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства Отсюда согласно теореме 1.20 из З1 этой главы следует, что метрическое пространство (М,р) также является полным. Следствие пзеоремы Хаусдорфа позволяет заключить, что каждое из множеств М;, 1 = 1, 2,..., т, вполне ограничено. Значит, согласно лемме 2.1 М есть вполне ограниченное множество пространства (М, р).
Так как М есть в то же время замкнутое множество этого пространства, то в силу следствия гиеоремы Хаусдорфа множество М компактно, т. е. (М,р) есть компактное метрическое пространство. Об ий сл чай сво ится к ассмот енном . Пусть даны метрические пространства (М;, К;) и множества А; С М;. Предположим, что каждое из множеств А; компактно.
Тогда при каждом г' метрическое пространство (А;, р;) — подпространство пространства (М;, К,)— является компактным пространством (см. выше). В силу доказанного отсюда следует, что декартово произведение пространств (А;, р;) компактно. Таким образом, (А,р), где А = Аз х Аз х ° ° ° х А С М, есть компактное метрическое пространство и, значит, А есть компактное множество пространства (М, р). Теорема доказана. ° Следствие 1. Всякий замкнутый куб фа,г) пространства К" является компактным множеством в К". Действительно, пусть а = (аы аз,..., а„).
Тогда фа, т) = [а~ — т, а~ + г] х «аз — г,аз + г] х ° х [а„— г, а„+ г]. Каждый из отрезков [а; — г,а; + г], 1 = 1,2,...,п, есть компактное множество пространства К. В силу теоремы 2.2 отсюда следует компактность фа,г). Следствие 1 доказано. Следствие 2. Всякое ограниченное множество пространства К" вполне ограничено.
Всякое ограниченное замкнутое множество пространства К" компактно. Действительно, пусть А есть произвольное ограниченное множество пространства К". Тогда найдется такое конечное Л > О, что для всех т Е А выполняется неравенство ]х[ < Л. Очевидно, А С 9(0, Л) и, значит, А вполне ограничено. Если множество А С К" ограничено и замкнуто, то, как следует из доказанного, оно является вполне ограниченным и замкнутым множеством в К".
Так как пространство К" полно, то А есть компактное множество. Следствие 2 доказано. З2. Критерий предкомпактности. Теоремы Лебега н Бореля бб 2.3. ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА ОБ ОТКРЫТОМ ПОКРЫТИИ Пусть даны множество А в метрическом пространстве (М, р) и некоторое семейство множеств (ЕЕ С М)вен. Говорят, что семейство (Е~)~ен покрывает множество А или, иначе, является покрытием А, если каждая точка х б А принадлежит по крайней мере одному из множеств этого семейства. Данное условие, как очевидно, равносильно требованию, что имеет место включение Ас ИЕ~. Ин Покрытие (Е~)~ен называется открытым, если каждое из множеств Е~ является открытым.
° Теорема 2.3 (теорема Лебега об открытом покрытии). Пусть А есть компактное множество в метрическом пространстве (М, р). Для всякого открытого покрытия (Ус)сен мнонсества А существует число б > О такое, что для любой точки х Е А можно указать такое С б Б, что замкнутый шар В(х, б) будет содержаться в множестве Ус. 3 а м е ч а н и е. Число б > О, существование которого устанавливается данной теоремой, будем называть числам Лебега покрытия (У~)Ген множества А. Доказательство теоремы.
Пусть даны компактное множество А пространства (М, р) н его открытое покрытие (У~)~ен. Предположим, вопреки доказываемому, что число 6 > О, удовлетворяющее условиям теоремы, не существует. Зададим произвольно число и б Х. Тогда найдется точка х„б А такая, что шар В(х„,1/у) не содержится ни в одном из множеств У~, где с Е Е. Действительно, если бы такой точки в множестве А не нашлось, то для всякой точки х б А шар В(х, 1/и) содержался бы в одном из множеств УС, где С б Б, и, стало быть, 6 = 1/и > О и было бы требуемым числом.
По предположению, однако, такое д > О не существует. Полагая и = 1, 2,..., мы получим некоторую последовательность (х„)„ен точек множества А такую, что при каждом и Е Гз шар В(х„, 1/и) не содержится ни в одном из множеств УС (С б Б). Множество А, по условию, компактно, и, значит, из последовательности (х„) „ен можно извлечь некоторую сходящуюся подпоследовательность (х„„)ьен, предел которой принадлежит А. бб Гл. 9. Компактные множества и толологические пространства Пусть хо — — 1пп х„,, хо Е А. Положим уь = х„,, бь = 1/иь.
Имеем ь оо р(уь, хо) — О, бь — О при а — оо. Пусть со Е Е таково, что хо Е бг,. Так как множество У~, открытое, то найдется бо > О такое, что шар В(хо, бо) содержится в У~,. Пусть йо таково, что бь < бо/2, р(уь, хо) < бо/2 при >с > /со. Возьмем произвольно й > йо и рассмотрим шар В = В(х„,,1/иь) = В(уь, бь). В силу выбора точки х„, шар В не содержится ни в одном из множеств У~, б Е Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
