1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(3.1) Предположим, что задано произвольное семейство (Е,),е с подмножеств Х. Множество индексов Я здесь может быть как конечным, так и бесконечным. Совокупность всех элементов х множества Х, каждый из которых принадлежит хотя бы одному множеству Е„а Е Я, называется объединением множеств семейства (Е,) ец и обозначается символом 0' вез Совокупность всех элементов х множества Х, каждый из которых принадлежит множеству Е, для всех е б Я, называется пересечением множеств семейства (Е,),е с и обозначается символом ° Лемма 3.1. Пусть дано множество Х. Пусть (Е,) вез есть произвольное семейство подмножеств Х. Тогда справедливы равенства с ( Ц в.) = П св., с( П в,) = Ц св.. (3.2) (З.З) Пля всякого множества А С Х выполняются равенства Ап Ц Е, = О(АПЕ,), вя5 вяз АП ПЕ = П('"Е) (ЗА) (3.5) вЕЯ вяз 3 а м е ч а н и е.
Равенства (3.1), (3.2) и (3.3) называются тождествами Моргана (см. также лемму 1.6). ваэ В случае, когда Я есть пустое множество, принято считать, что объединение множеств семейства (Е,),еэ также есть пустое множество, а их пересечение совпадает со всем основным множеством Х. В то время как первое соглашение может показаться достаточно естественным, второе, на первый взгляд, может показаться несколько парадоксальным. На самом деле справедливость данных соглашений может быть обоснована строго логически, но мы не будем на этом останавливаться. 62 Гл.
9. Компактные множества и топологические пространства Доказательство. Пусть дано произвольное семейство (Е,),ез подмножеств пространства Х. Положим '= 0Е ~= ПЕ* (3.6) тЕ ДСхЕ., и мы получаем, следовательно, включение СхРС П СхЕ. (3.7) Теперь предположим, что хб ПСхЕ,. Тогда т б СхЕ, для любого з Е Я и, значит, к ф Е„каково бы ни было з б Я. Таким образом, в данном случае т не принадлежит ни одному из множеств Е„з б Я, и, следовательно, т не принадлежит также и объединению этих множеств.
Мы получаем и б П СхЕ =~ т б СхР вез т. е. имеет место включение П СхЕ С Схр. (3.8) Из соотношений (3.7) и (3.8), очевидно, вытекает равенство (3.2). Если Я = И, то Р = О, ч = Х, СхР = Х. В этом случае равенства (3.2) и (3.3) тривиальным образом в е р н ы, поскольку объединение пустого множества подмножеств Х пусто, а пересечение пустого множества подмножеств Х совпадает с Х. Предположим, что Я ~ О. Пусть множества Р и ч' определены равенствами (3.6). Если х б СхР, то х ф Р и, значит, т не принадлежит ни одному из множеств Е„з б Я, т.
е. х Е СхЕ„каково бы ни было з б Я. Отсюда следует, что з 3. Понятие толологического пространства Равенство (З.З) мы получим как следствие равенств (3.1) и (3.2). Заменяя в равенстве (3.2) Е, на СкЕ„получим Второе равенство получено здесь применением равенства (3.1). Применяя равенство (3.1) еще раз, получим и равенство (3.3) установлено.
Докажем равенство (3.4). Пусть множества Р и Д определены равенствами (3.6). Положим Для всякого з Е Я имеем А й Е, С А и одновременно А О Е, С Р. Отсюда, очевидно, следует, что множество Р' содержится в каждом из множеств А и Р, т. е. Р' С Ай Р. Если х б А О Р, то х б А и одновременно х б Р. Отсюда следует, что х принадлежит по крайней мере одному из множеств Е„з Е Я, и, значит, найдется зо б Т такое, что х б А й Е„.
Отсюда вытекает, что х Е Р'. Так как х Е А П Р было взято произвольно, то тем самым доказано, что А Г1 Р С Р' и, значит, А й Р = Р'. Равенство (3.4) доказано. Если х б А П Ч, то х б А и одновременно х б 9 и, значит, х б Е„ каково бы ни было множество з б Я. Мы получаем, что х б А П Е, для всех з б Я и, значит, Этим доказано, что А О Я С Д'. Обратно, если х б Ч', то х б А О Е, для любого з б Я и, значит, х б А и одновременно х Е Е, для всех з Е Я. Отсюда следует, что х б А и в то же время х Е ч, т.
е. х Е А П ч'. Мы получаем, следовательно, что Я' С А П Я. Отсюда А П ч = Д'. Равенство (3.5) установлено. Лемма доказана. ° 64 Гл. д. Компактные множества и топологические пространства ° Лемма 3.2. Пусть даны множества Х и У и отображение ~: Х вЂ” У. Пусть дано произвольное семейство (Е,),ез подмножеств множества У. Тогда выполняются равенства (3.9) (3.10) Предположим, что даны множества Х, У и Я н отображения У: Х вЂ” У и д: У вЂ” Я. Пусть Ь = д о ~ есть суперпозиция отображений ~ и д. Тогда для всякого множества Е С Я выполняется равенство й '(Е) = У 'Ь '(Е)1 (3.11) Доказательство.
Пусть даны отображение У: Х вЂ” У и семейство (Е,),ез подмножеств У. Положим А=ОЕ В= ЙЕ' Пусть Р = У 1(А), Я = ~ з(В). Положим также " = О У '(Е ) ~' = П ~ '( ') вез Требуется доказать, что Р = Р' и Д = ч'. Возьмем произвольно х Е Р. Тогда у = Дх) Е А и, значит, найдется з б Я такое, что д Е Е,. Отсюда следует, что х е ~ ~(Е,) С Р'. Таким образом, получим хЕР~хЕР'. (3.12) х Е Р' =~ х Е Р. (3.13).
Из предложений (3.12) и (3.13) следует, что Р = Р'. Пусть х Е Я. Тогда у = у(х) Е А и, значит, у Е .Е, для всех з Е Я. Отсюда следует, что х с ~ '(.Е,) для всех з с Я и, значит, х Е Я'. Мы получаем, таким образом, Если х Е Р', то найдется з б Я такое, что х с ~ 1(Е,) и, значит, Дх) с .Е, С А. Отсюда х Е ~ з(А) = Р. Итак, з 3. Понятие топопогического пространства 65 Если х б (3', то х б У 1(Е) для любого з Е Я и, значит, 1(х) б Е, для всех з б Я, т. е. Дх) Е В.
Отсюда х б ~ 1(В) = Ч. Итак, хЕЯ'~хб(~. (3.15) Из предложений (3.14) и (3.15) следует, что Я = 1~'. Теперь докажем равенство (3.11). Пусть даны отображения г': Х -+ У и д: У -~ Я, и пусть Ь = до 7 есть их суперпозиция. Зададим произвольно множество Е С Я. Пусть Р = Ь ~(Е), а Р' = ~ 1[д '(Е)].
Множество Р есть совокупность всех х б Х, для которых Ь(х) Е Е. Множество Р' получается из множества Е в два шага: сначала определяется полный прообраз д 1(Е) множества Е относительно отображения д, а затем находится полный прообраз множества д ~(Е) относительно отображения ~. Этот последний и есть множество Р'. Наша задача состоит в том, чтобы доказать, что Р = Р'. Возьмем произвольно точку х б Р. Тогда согласно определению Р имеем Ь(х) б Е. Далее, по определению сложного отображения Ь(х) = д[г(х)] = д(у), где д = 1"(х). По условию, д(у) = Ь(х) б Е и, значит, и б д 1(Е).
Имеем у = 1(х). Для данного х б Х, таким образом, Г"(х) б д 1(Е) и, значит, х б Р'. Итак, установлено, что х б Р = Ь ~(Е) =~ х б ~ 1[д ~(Е)] = Р'. (3.16) Т Следствие. Пусть дано отображение (': Х вЂ” У. Для всякого множества Е С У выполняется равенство ~ ~(Ст Е) = Сх~ 1(Е) Действительно, пусть Е С У и Г = СуЕ. Согласно лемме 3.2 имеем ~ 1(ЕПГ) = ~ 1(.Е) Пг" 1(Г) и г" 1(ЕОГ) = ~ '(Е) 0 у ~(Г). Но Е П Г = И, Е 0 Г = У. Отсюда вытекает, что ~ 1(Е) П ( 1(Г) = = 1" '(0) = о и 1 '(Е) 0 7" '(Г) = 7" '(У) = Х.
Согласно определению дополнения из доказанного вытекает, что каждое из множеств ~ ~(Е) и ~ 1(Г) является, дополнением другого. Следствие доказано. Т Пусть дано, что х Е Р' = У 1[д '(Е)]. Тогда у =,7(х) б д 1(Е) и, значит, д(у) = д[((х)] е Е. Мы получаем, что справедливо соотношение х Е Р' = 7' 1[д (Е)] =~ х б Ь 1(Е) = Р. (3.17) Из соотношений (3.16) и (3.17), очевидно, вытекает равенство (3.11). Лемма доказана.
° 66 Гл. 9. Компактные мнохсества и топологические пространства 3.2. ОПРЕ ЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА Пусть Х вЂ” произвольное множество, г — совокупность подмножеств Х. Говорят, что совокупность 3' представляет собой топологию на множестве Х, если выполнены следующие условия.
Т1. Пустое множество ю и все множество Х являются элементами Я'. Т2. Объединение любого семейства множеств, принадлежащих Я', является элементом эг. ТЗ. Пересечение любого конечного семейства множеств, принадлежащих г, также является элементом г. Топологическим пространством называется всякая пара (Х, Зг), где Х вЂ” произвольное множество, г — топология в Х. Обычно, говоря о топологическом пространстве, мы будем называть только первую компоненту пары (Х,.эг), указывая отдельно топологию, заданную на множестве Х лишь в тех случаях, когда это необходимо. Множества, принадлежащие Х, называются огпкрытыми множествами тспологическогс пространства (Х, Чг).
Пусть М есть произвольное метрическое пространство. Совокупность всех открытых множеств пространства М, как было показано в главе 6, удовлетворяет условиям Т1, Т2 и ТЗ, так что метрические проспзранства могут служить примером топологических пространств. Предположим, что задано топологическое пространство Х. Множество Г с Х называется замкнутым, если множество Х 1 Г = СхГ является оп1крытым, т. е. СхГ б,!г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
