1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Топологические пространства Х и У называются гвмевморфными или твпвлогически эквивалентными, если существует гомеоморфизм 1: Х вЂ” ~ У пространств Х и У. Тождественное отображение топологического пространства Х, очевидно, есть гомеоморфизм. Мы получаем, следовательно, что всякое топологическое пространство гомеоморфно самому себе. Если Х гомеоморфно У и 1: Х вЂ” У есть гомеоморфизм этих пространств, то обратное отображение 1 1 есть гомеоморфизм пространств У и Х. Отсюда получаем, что также и пространство У, гомеоморфно Х. Пусть даны топологические пространства Х, У и Я.
Тогда если (: Х вЂ” У есть гомеоморфизм пространств Х и У, а д: У -+ Я— гомеоморфизм пространств У и Я, то сложное отображение Ь = д о 1 представляет собой гомеоморфизм пространств Х и Я. Действительно, так как ~ и д есть взаимно однозначные отображения, то и Ь взаимно однозначно. Далее, ~ отображает Х на У, а д отображает 1' на Я. Отсюда следует, что Ь отображает Х на 2.
Имеем, очевидно, Ь ~ = ~ 1 о д 1. Отображения ~ и ~ ~, д и д 1 непрерывны. Отсюда в силу теоремы 4А следует, что отображения Ь и Ь 1 также непрерывны и, значит, Ь = д о ( есть гомеоморфизм пространств Х и 2. Из сказанного, в частности, следует, что если пространство Х гомеоморфно У, а У гомеоморфно Я, то пространство Х гомеоморфно Я. З 4. Непрерывные отображения топологических пространств 81 Пусть Х и У вЂ” произвольные топологические пространства и 1: Х вЂ” У есть гомеоморфизм этих пространств.
Тогда если о есть открытое множество в Х, то 11о') является открытым множеством в пространстве У. И аналогично, образ всякого замкнутого множества пространства Х есть замкнутое множество пространства У. Действительно, пусть д = 1' ~. Отображение д непрерывно, и для всякого множества Е с Х справедливо равенство г"1Е) = д з(Е). Отсюда следует, что если Š— открытое множество в Х, то 1(Е) является открытым в У, а если Š— замкнутое множество в Х, то 11Е) есть замкнутое множество в У.
Сказанное позволяет указать некоторый с и о с о б з а д а н и я топологии на произвольном множестве. ° Лемма 4.4. Пусть даны множества Х и У и биективное отображение 1: Х -~ У. Предположим, что в Х введена некоторая топология 3~. Пусть гу есть совокупность всех множеств о' С У, представимых в виде Н = Д0), где 0 Е 3~. Совокупность множеств 3~~ представляет собой некоторую топологию в множестве У, и отображение ~ является гомеоморфизмом топо- логических пространств (Х, 3~) и (У, Зу).
Если ~з . 'Х вЂ” У и 1з: Х вЂ” У вЂ” два биективных отображения, то топологии,Уу, и ~~, совпадают в том и только в том случае, если отображение ~р = 1 1 о Ь есть гомеоморфизм пространства Х. Яоказательство. Пусть даны топологическое пространство Х, множество У и биективное отображение ~: Х вЂ” У.
Пусть ~~ есть некоторое множество подмножеств У, определенное, как указано в формулировке леммы. Так как 1 биективно, то ДХ) = У. Ясно также, что ДЯ) = О. Мы видим, что У Е Л~~ и О Е Л~~, так что условие Т1 определения топологии для совокупности ~~ подмножеств У выполняется. Положим д = г" '. Тогда в силу биективности г" для всякого Е с Х множество 11Е) есть совокупность всех у Е У, для которых д(у) Е Е, т.
е. 11Е) = д ~(Е). Используя утверждение леммы 4.1, отсюда нетрудно заключить, что объединение любого семейства множеств, принадлежащих .!~~, также принадлежит 3~ и пересечение любого конечного семейства множеств из ~~ также является элементом Л~~. Следовательно, мы получаем, что и аксиомы Т2 и ТЗ для совокупности множеств 3~~ выполнены. Отображение 1 является гомеоморфизмом топологических пространств (Х, Я) и (У,,д~~).
Действительно, пусть У Е ~~. Тогда найдется Н Е Х такое, что У = ДН). В силу биективности отображения 1 отсюда следует, что Н = 1 ~(У). 82 Гл. 9. Компактные множества и толологические пространства Мы получаем, что для отображения У полный прообраз всякого множества, открытого в топологии 3~~, есть открытое множество в пространстве Х. Согласно теореме 4.2 отсюда следует, что отображение г" непрерывно. Пусть д = г' 1. Для всякого П Е Я имеем д ~(П) = г(П) Е .'уу. В силу теоремы 4.2 отсюда заключаем, что отображение д = г" также непрерывно. Этим доказано, что г" есть гомсоморфизм пространств (Х, Х) и (У, д~~). Пусть 1з и гз есть биективные отображения пространства Х на множество У. На множестве У определены топологии,У), и Я),.
Предположим, что эти топологии совпадают. Тогда каждое из отображений уз . Х вЂ” У и ~ 1: У вЂ” Х есть гомеоморфизм. Значит, их суперпозиция с ~з есть гомеоморфизм пространства Х. Обратно, предположим, что биективные отображения 11 . Х -~ У и ~з. Х -~ У таковы, что отображение ~р = ~ 1 в Л есть гомеоморфизм пространства Х. Имеем Ь = Л о ~р. Пусть У есть произвольное открытое множество в пространстве Х.
Имеем ЯП) = Яр(У)1. Так как ~р есть гомеоморфизм, то множество У = у(сГ) является открытым. Отсюда множество ЯП) = ЯЪ') е Е .'.~~,. Следовательно, мы получаем ~~, С 3'у,. Так как х есть гомеоморфизм, то и отображение ~р ' = 1 ~ с ~з также есть гомеоморфизм. Меняя в проделанных рассуждениях 11 и гз местами, получим, что Уу, С 3~~, и, значит, Яу, = Уу,. Лемма доказана.
° Пусть даны топологические пространства Х и У и множества А С Х и В С У. Будем говорить, что множества А и В гомеоморфны, если А и В, как надпространства пространств Х и У, представляют собой гомеоморфные топологические пространства.
П иве ем п име ы иллюст и ю е вве енные понятия. 1Тример 1. Отрезок (О, 1) и множество всех вещественных чисел К х гомеоморфны. Действительно, для х Е (0,1) положим г"(х) = 1 — х 1 Имеем г"'(х) = . Отсюда видно, что функция г' является строго (1 — х)з возрастающей в промежутке (0,1). При х — 0 функция Дх) — О, при х -+ 1 функция 1(х) -+ оо. Отсюда вытекает, что 1 отображает промежуток (О, 1) на промежуток (О, оо). В силу теоремы об обратной функции для функций одной переменной (теорема 4.3, глава 2) г" есть гомеоморфизм промежутков (О, 1) и (О, оо).
Теперь рассмотрим функцию д: х ~ 1пх. Эта функция, как мы знаем, отображает промежуток (О, оо) на множество К. В силу свойств З 4. Непрерывные отображения топологическнх пространств 83 логарифмической и показательной функций (см. главу 3, 21) д представляет гомеоморфизм промежутка (О,оо) и множества К. Функция х Ь = д о ~: х Е (0,1) 1п ( 1 представляет гомеоморфизм отрезка ~1 — хт (О, 1) и множества всех вещественных чисел К. Пример д. Пусть ~ есть непрерывная строго возрастающая функция, определенная в промежутке(0,1) такая,что Ьп Дх) = — оо, 1пп Дх) = оо.
Доопределим функцию У, полагая ДО) = -со и Д1) = со. В результате мы получим биективное отображение ~ промежутка [О, Ц на расширенную числовую прямую Й. Определим некоторую топологию в Й путем соглашения, что отображение г есть гомеоморфизм промежутка [О, Ц, наделенного топологией, индуцированной из К, и множества Й. Построенная топология не зависит от выбора функции г'. Действительно, если д — произвольная другая функция, удовлетворяющая аналогичным условиям, то г" ~ о д есть непрерывная строго возрастающая функция на промежутке [О, Ц и, значит, представляет гомеоморфизм отрезка [О, Ц как топологического пространства. Пример 3. Пусть [[ [[ есть произвольная норма в пространстве К".
Пусть А есть открытый шар с центром 0 и радиусом т > 0 относительно нормы [[. ][, т. е. А = (х б К" [ [[х[[ < т). Покажем, что множество А гомеоморфно шару В(0, 1) пространства К". Для х Е К" положим у(0) = О, а в случае если х ~ О, то пусть у(х) = — х.
Покажем, что функция у непрерывна. В силу теоремы 3.2 Ы г[х[ существует постоянная А < оо такая, что для всякого вектора х Е К" выполняются неравенства Ь [х[ < [[х[[ < Х[х[. Для любых х2, х2 Е К" выполняются неравенства [[х2[ — [хз[[ < [х2 — хз[ [[[Х1[[ — ][Х2[[! ( [[Х1 22[[ < ~[Х1 Х2]! ' 84 Гл.
9. Компактные множества и топологические пространства откуда следует, что функции х ~ !х! и х ~ !!х!! непрерывны в К". Отсюда, очевидно, вытекает, что функция ~р непрерывна в каждой точке х ~ О. Итак, мы имеем !~р(х)! = — < — !х!, !!х!! т т откуда следует непрерывность ~о в точке О. Докажем, что р есть взаимно однозначное отображение К" на себя. Для этого достаточно установить, что уравнение ~р(х) = у (4.1) однозначно разрешимо при любом у Е К". Если х удовлетворяет уравнению (4.1), то !у! = — „. !!х!! (4.2) Отсюда следует, что если у = О, то !!х!! = 0 и, значит, в этом случае уравнение (4.1) имеет е д и н с т в е н н о е решение х = О. Пусть у ~ О. Если векторы х и у в К" таковы, что х ~ 0 и у = Лх, где Л > О, то !у! = Л!х! и !!у!! = Л!!х!!. Отсюда вытекает, что для данных векторов х и у выполняется равенство !х! !у! !!х!! !!у!! Ввиду сказанного, из равенства (4.1) следует, что г!х! у !у! х = — у = — у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
