1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пустое множество также будем считать принадлежащим к Уу. ° Теорема З.Х. Пусть Я н Яу есть совокупности подмножеств Х, удовлетворяюшие условиям, указалпым выше. Тогда Зъ~ представляет собой топологию в множестве Х и совокупность множеств Я является базой этой топологии. Доказательство, Пусть Я есть совокупность подмножеств Х, удовлетворяющая условиям В1 и В2, и ЗЪ определено по Я, как указано выше.
Требуется доказать, что Яу есть топология в Х, т. е. для нее выполняются условия Т1, Т2 и ТЗ и Я есть база этой топологии. Пустое множество, по определению, принадлежит множеству Ху. Для всякой точки х Е Х согласно условию В1 существует множество У Е Я такое, что х Е У. Отсюда вытекает, что Х б Яу. Выполнение аксиомы Т1 для совокупности множеств Ху, таким образом, установлено.
Пусть (6~)сен есть произвольное семейство множеств, принадлежащих уу, и 6= Ц6,. Ин Возьмем произвольно точку х Е 6. Для нее найдется со Е Е такое, что х Е 6с,. Так как 6~, б Яу, то найдется множество У ~ Я такое, что х Е У С 6с,. Так как 6~, С 6, то У С 6.
Мы получаем, таким образом, что для всякого х Е 6 можно указать множество У б Я такое, что х Е У С 6. Это означает, что 6 б Яу. Таким образом, мы получаем, что объединение любого семейства множеств (6~)~ен, принадлежащих Зм, также принадлежит Лг~, так что аксиома Т2 для совокупности множеств 3'а выполнена. Пусть 61 и 6з — два произвольных множества, принадлежащих Я~у. Если 61 О 6з — — О, то 61 й бз Е Яу.
Предположим, что 61 й 6з ~ ьз. Возьмем произвольно точку х Е 61 й 6з. Тогда х е 61 72 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства и одновременно х Е 6з. Согласно определению понятия того, чтб значит, что множество принадлежит классу 3'у, найдутся множества У и И, принадлежащие М и такие, что х Е У с 61 и в то же время х Е И С 6з. В силу условия В2 найдется множество И' Е Я такое, что х Е И", а И' С У О 1т.
Очевидно, И' с 6т П 6з. Точка х Е 6з Й 6з была взята произвольно. Таким образом, для всякой точки х Е 61 О 6з существует множество И' Е Я такое, что х Е Ит т. 61 и 6з. Это означает, что б, П6я Е 3',у. Итак, пересечение любых двух множеств из Ям также принадлежит Ху. Отсюда легко следует, что пересечение любого конечного числа множеств из Зту также принадлежит яу. Доказательство — индукцией по числу элементов пересечения— ввиду очевидности мы опускаем. Итак, нами доказано, что аксиома ТЗ для совокупности множеств Лги также выполняется.
Таким образом, Лт~ действительно есть топология в множестве Х. Докажем, что М является базой этой топологии. Прежде всего заметим, что если У Е Я, то для всякой точки х Е У можно указать множество 6 Е М такое, что х Е 6 С У. Именно, множество 6 = У, очевидно, удовлетворяет этому условию. Это означает, что если У Е Я, то У Е Зу, т. е. всякое множество У Е Я является открытым в Х в смысле данной топологии. Пусть 6 Е Ху.
Для всякой точки х Е 6 найдется множество У Е Я такое, что х Е У и У С 6. Отсюда вытекает, что объединение всех множеств У 6 Я, содержащихся в 6, совпадает с 6. Таким образом, всякое множество 6 Е Яу является объединением некоторого множества множеств, принадлежащих М. Мы видим, что совокупность множеств Я по отношению к топологии Лгу удовлетворяет обоим условиям определения базы топологии. Теорема доказана. ° Всякая совокупность М подмножеств множества Х, удовлетворяющая условиям В1 и В2, называется базой е множестве Х. Совокупность множеств Яу, определенная по М, как описано выше, называется тпопологией, порожденной отпой базой. З 4.
Непрерывные отображения топологических пространств 73 34. Непрерывные отображения топологических пространств и компактные множества Ниже исследуются понятия непрерывности и предела для отображений произвольных топологических пространств. В данной обшей ситуации эти понятия вводятся путем требования выполнения условий, которые для случая метрических пространств устанавливаются как следствие исходных определений. Пля отображений метрических пространств определение, которое приводится здесь, равносильно нашему прежнему определению.
Понятие компактного множества распространяется на случай множеств в произвольных топологических пространствах. При этом за основу для определения того, чтб есть компактное мнохсество в произвольном топологическом пространстве, берется свойство, устанавливаемое теоремой Бореля об открытом покрытии. Как было показано в 13, свойство, выражаемое теоремой Бореля, является характеристическим для компактных множеств в метрических пространствах.
Это свойство мы принимаем за основное при определении рассматриваемого класса компактных множеств в произвольном топологи ческом врос транстве. 4.1. ОПРЕ ЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРЕ ЕЛА ЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Зададим произвольно топологическое пространство Х. Пусть 9' есть топология этого пространства. Возьмем произвольно точку р Е Х. Отнрыпзой онресгпносгпью томки р называется всякое открытое множество У пространства Х, содержащее точку р. Множество С С Х называется окрестноспзью пзочни р в пространстве Х, если 0 содержит в себе некоторую открытую окрестность точки р.
Иначе говоря, множество 0 С Х называется окресгпностпью гпочкир, если существует открытое множество У такое, что р б У, а У С 6. Совокупность всех окрестностей точки р пространства Х будем обозначать символом сгх(р). Наша ближайшая задача — определить понятия непрерывности и предела для отображений топологических пространств. Сначала покажем, как можно определить понятие непрерывности для отображений метрических пространств, используя только те понятия, которые мы имеем в общем случае произвольного топологического пространства. ° Лемма 4.1. Пусть дано множество 0 в топологическом пространстве Х.
Если 0 является окрестностью каждой своей точки, то С есть открытое множество пространства. 74 Гл. 9. Компактные множества и гопологнческие пространства Доказательство. Пусть множество 6 С Х является окрестностью каждой своей точки. Это означает, что для всякой точки х е 6 существует открытое множество П, такое, что х Е У, и П, С 6. Тем самым определено некоторое семейство открытых множеств (П,),ео. Пусть 6' есть объединение множеств этого семейства.
В силу аксиомы Т2 множество 6' открытое. Так как о', С 6 при всяком х Е П, то, очевидно, также и множество 6' С 6. Для всякой точки х Е 6 существует множество данного семейства, которому принадлежит эта точка х. Именно, множество о', обладает требуемым свойством.
Отсюда следует, что хей Принимая во внимание, что 6' С 6, получаем 6 = 6'. В частности, отсюда вытекает, что множество 6 открытое. Лемма доказана.' ° ° Лемма 4.2. Пусть даны метрические пространства: М с метрикой р, Ф с метрикой а н отображение У: М вЂ” Ф. Для того чтобы отображение ) было непрерывно в точке р Е М, необходимо н достаточно, чтобы для всякой окрестности Ъ' точки д = ~(р) и пространстве Ф множество ~ ~(Ъ') было окрестностью точки р в пространстве М.
3 а м е ч а н и е. Термин «окрестность» в данной лемме понимается в смысле определения, сформулированного выше. Иначе говоря, множество Ъ' считается окрестностью точки о Е л в том н только в том случае, если Р содержит в себе открытое подмножество пространства Л, которому принадлежит точка д, и аналогично для пространства М и точки р. Доказательство леммы. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что отображение г непрерывно в точке р Е М. Зададим произвольно окрестность Ъ' точки д = Др). Согласно определению окрестности найдется открытое множество 6 пространства л' такое, что е' Э 6 и в то же время о Е 6. Согласно определению открытого множества в метрическом пространстве найдется е ) О такое, что шар Вн(д,е) содержится в множестве 6.
Условие — функция ~ непрерывна в точке р — согласно данному ранее определению означает, что о~)(х),д) -+ О при р(х,р) — ~ О. Из определения предела следует, что найдется б > О такое, что для всякого х Е М, для которого р(х, р) < б, выполняется неравенство з 4. Непрерывные отображения топологических пространств 75 Рассмотрим шар Вм(р,б) в пространстве (М,р). Этот шар содержится в множестве 7" '(У).
Пействительно, если х Е Вм(р,б), то р(х, р) < б и, значит, а[Дх), д] < с, т. е. Дх) Е Вн(с7, с) С 1'. Итак, Дх) Е У для всякого х Е Вм(р,б). Это означает, что все точки шара Вм(р, б) принадлежат множеству 7" 1(У), т. е. Вм(р,б) С 7" '(У). Шар Вм(р, б) представляет собой открытое множество в пространстве М, р Е Вм(р,б), и, следовательно, множество 7' 1(У) является окрестностью точки р. Необходимость условия леммы, таким образом, доказана.
Докажем д о с т а т о ч н о с т ь условия. Предположим, что отображение 7": М вЂ” У таково, что для всякой окрестности У точки д множество 7" 1(У) является окрестностью точки р. Зададим произвольно с > 0 и положим 1' = Вн(~7, с). Шар Вн(д, с) представляет собой открытое множество в пространстве (Х, о), точка д ему принадлежит. Это означает, что У есть окрестность точки д. В силу сделанного предположения отсюда вытекает, что множество 7 з(У) является окрестностью точки р в пространстве (М, р). Согласно определению окрестности найдется открытое множество (7 С 7" (У) такое, что р Е У, и, как следует из определения открытого множества в метрическом пространстве, найдется б > 0 такое, что шар Вм(р, б) С У. Очевидно, Вм(р, б) С 7" '(У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
