1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 14
Текст из файла (страница 14)
° Лемма З.З. Совокупность гг всех замкнутых множеств толологического пространства Х обладает следующими свойствами. Г1. Пустое множество и все пространство Х принадлежат гг. Г2. Пересечение любого семейства множеств из гг принадлежит гг. ГЗ. Объединение любого конечного семейства множеств, принадлежащих г, также принадлежит гГ.
Локазательство. Имеем СхИ = Х и СхХ = ю, откуда следует, что пустое множество и все пространство Х являются замкнутыми множествами в топологическом пространстве Х, и справедливость предложения Г1, таким образом, установлена. Пусть (Г,)м н есть произвольное семейство замкнутых множеств в Х. Обозначим символом Г пересечение множеств данного семейства. Имеем с г=с (Пг)=Цс г.. вяз всс з 3. Понятие толологического пространства 67 Каждое из множеств СхГ, является открытым, и, значит, в силу условия Т2 определения топологнческого пространства объединение множеств СкГ, представляет собой открытое множество. Таким образом, мы получаем, что дополнение множества Г есть открытое множество в Х и, значит, само множество Г является замкнутым. Справедливость утверждения Р2, таким образом, установлена.
Пусть (Г,),ез — произвольное конечное семейство замкнутых множеств пространства Х и à — их объединение. Тогда имеем Каждое из множеств СхГ, является открытым, и, значит, в силу условия ТЗ определения топологнческого пространства пересечение множеств СкГ, представляет собой открытое множество. Таким образом, мы получаем, что дополнение множества Г есть открытое множество в Х и, значит, само множество Г является замкнутым. Справедливость утверждения ГЗ тем самым установлена. Лемма доказана.
° Пусть Х есть произвольное топологическое пространство, Я— топология в этом пространстве. Предположим, что задано множество У С Х. Пусть Ру есть совокупность всех множеств вида У П У, где 17 е 3'. ° Лемма ЗА. Для всякого множества У в толологическом пространстве Х совокупность множеств Зу представляет собой топологию в множестве У. 3 а м е ч а н и е. Топология Ху называется топологией, индуцированной в У. Множество У, наделенное индуцированной топологией, называется подпрострвнствон топологичеснвгв пространства Х. Доказательство леммы.
Мы должны показать, что условия Т1, Т2 и ТЗ будут выполняться, если в их формулировках заменить Х на У, а .У' заменить на Ху. Имеем о П У = ю и Х П У = У, и выполнение условия Т1, таким образом, установлено. Пусть (Ъ",),ез есть произвольное семейство подмножеств У, принадлежащих Ху.
Тогда при каждом в Е Я будем иметь: У, = 17, П У, где 17, Е Х. Согласно лемме 3.1 имеем 68 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства Множество У = О У, принадлежит 3", откуда следует, что мнолен жество упи= Цр, ~ез принадлежит Лгу. Выполнение условия Т2, таким образом, установлено. Предположим, что ($',),ез есть произвольное конечное семейство множеств из Як. При каждом в Е В будем иметь Р; = У П У„где У, Е .г. Имеем в=П~ =П~ ~ =~ (Пеф 8ез вез 8ЕБ В силу условия ТЗ множество Н = П У, принадлежит 3'. Так 8ез как 6 = У П Н, то, следовательно, 0 б Уу.
Тем самым установлено, что условие ТЗ в нашем случае также выполняется. Лемма доказана. ° Пусть дано топологическое пространство (Х, г). Семейство множеств Я называется базой тополоеического пространства Х, если всякое множество У Е Я является открытым и любое открытое множество пространства Х может быть представлено как объединение некоторого подсемейства множеств, принадлежащих Я.
Наглядно, семейство открытых множеств Я является базой, если множества из Я образуют набор «кирпичей», из которых может быть сложено любое открытое множество пространства Х. Пусть, например, Х есть метрическое пространство (М, р). Множество всех открытых шаров пространства М является базой М как топологического пространства. Действительно, всякий шар в метрическом пространстве представляет собой открытое множество. Пусть У вЂ” произвольное открытое множество в метрическом пространстве (М, р).
Обозначим через Г объединение всех шаров, содержащихся в У. Очевидно, Г С У. С другой стороны, для всякой точки х Е У можно указать шар В(х,б) с центром в этой точке, содержащийся в множестве У. Точка х принадлежит шару В(х,б), который, в свою очередь, содержится в множестве Г. Отсюда следует, что х Е Г. Так как точка х Е У была взята произвольно, то мы получаем, что У С Г и, значит, У = Г. з 3. Понятие тонологического пространства 69 оказанное п ложение можно сулить. 11 Можно доказать, что уже совокупность всех шаров вида В х, — ), где п — произвольное натуральное число, образует базу метрического пространства (вй,р). Говорят, что Х есть пространство со счетной базой, если топологическое пространство Х имеет базу, состоящую из не более чем счетного множества элементов.
(Рассмотрение многих вопросов упрощается, если данное топологическое пространство является пространством со счетной базой.) ° Лемма З.б, Пространство К" является пространством со счетной базой. Доказательство. Точку р = (р|,рз,...,р„) пространства К" будем называть рациональной, если числа ры рз,..., р„все рациональ- 1~ ны. Совокупность всех шаров в пространстве К" вида В ~р, — ), т) где р есть рациональная точка К", а т Е Х, будем обозначать символом Е. Пусть Я" есть множество всех рациональных точек р = (р1, рз,...
...,р„) пространства К". Множество Я" есть декартово произведение и экземпляров множества всех рациональных чисел Я. Так как множество всех рациональных чисел счетно, то Ц" счетно. Множество Щ" х Х также является счетным. Каждой паре (р,т) Е / 1~ б Я" х Х, где р есть рациональная точка К", сопоставим шар В ~р, — ), т принадлежащий множеству шаров Е.
Мы получаем, как очевидно, биективиое соответствие между множеством Е и счетным множеством Я" х Х. В частности, получаем, что Е есть счетное множество. Докажем, что Е есть база пространства К". Пусть У есть произвольное непустое открытое подмножество К". Пусть Г есть объединение всех рациональных шаров, принадлежащих Е и содержащихся в У. Требуется доказать, что Г = У. Из определения Г очевидно, что Г С У.
Возьмем произвольно точку х б У. Тогда найдется б > 0 такое, что шар В(х, б) С У. 2 Пусть т б Х таково, что — ( б. Пусть х = (х|,хз,...,х„). При каждом ~ = 1,2,..., и найдется рациональное число р, такое, что 1 ( з/) 70 Гл. 9. Компактные множества н топологическне пространства 1 Пусть р = (рырз,...,р„) и г = —. Шар В(р,г) принадлежит Е. Имеем ~р — х! = Х:' 1 2 (р; — хЛз < — = — = г < —. ~(тзп- т- т 1=1 Отсюда следует, что х б В(р, г) С Г.
Для всякого х' Е В(р, г) имеем 1 1 2 ~х' — х) < (х' — р~ + (р — х) < — + — = — < б, т т т и, значит, если х' б В(р, т), то ~х' — х~ < б, т. е. В(р, г) С В(х, б). По условию, В(х,б) С П. Следовательно, шар В(р,г) содержится в о'. Отсюда вытекает, что выбранная точка х е П принадлежит множеству Г. Так как х б о' было выбрано произвольно, то тем самым доказано, что П С Г и, значит, П = Г. Мы получаем, таким образом, что всякое открытое множество в К" может быть представлено как объединение некоторого множества шаров, принадлежащих Е, и, следовательно, Е есть база пространства К".
Как показано в начале доказательства леммы, множество шаров Е является счетным. Лемма доказана полностью. ° Один из способов введения топологии на множестве состоит в з анин некото ой базы топологии. Пусть даны множество Х и множество Я подмножеств Х. Предположим, что выполнены следующие условия. В1. Для всякой точки х Е Х существует множество П е Я такое, что х Е У. В2. Для всякой точки х Е Х для любых множеств П Е Я и У е М таких, что х б П О У, существует множество ИГ б Я такое, что х б И' и И'СУПУ. ф Предложение 3.1.
Ясли М есть база некоторой топологии в множестве Х, то для М условия В1 и В2 выполняются. Доказательство. Предположим, что в Х задана некоторая топология и Я есть база этой топологии. Тогда согласно определению базы всякое открытое множество в Х может быть представлено как объединение множеств, принадлежащих Я. В частности, Х является объединением множеств из Я. Отсюда следует, что всякая точка х Е Х принадлежит некоторому множеству П е М, так что условие В1 для М выполняется. Пусть х б П О У.
Множество П Г1 У является открытым, и, значит, согласно определению базы топологии оно является объединением з 3. Понятие топологнческого пространства некоторого множества множеств, принадлежащих Я. Отсюда следует, что найдется множество И~ Е Я такое, что И' С У й И и в то же время х Е И'. Выполнение условия В2, таким образом, также установлено, Предложение доказано. ф Предположим, что в множестве Х задана совокупность Я подмножеств Х, удовлетворяющая условиям В1 и В2. Обозначим через Лг~ совокупность всех множеств 6 С Х, каждое из которых удовлетворяет следующему условию: для всякого х Е 6 существует множество У е Я такое, что х Е У и У содержится в множестве 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
