1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Множество Е С М называется е-сетпью множества А, если для любой точки х б А можно указать у б Е такое, что р(х,у) ( е. Данное условие, очевидно, равносильно следующему: семейство шаров (В(у, е))„ен является покрытием множества А. Множество А в пространстве (М, р) называется вполне ограниченныж, если для всякого е > 0 существует конечное множество Е, которое является е-сетью множества А. Иначе говоря, множество А в метрическом пространстве М вполне ограничено, если для любого е > 0 можно указать конечное ннвхеесшвв Е такое, что для всякой точки х Е А найдется точка х' Е Е, расстояние которой до х меньше е. Наглядно (см.

рис. 1) можно характеризовать вполне ограниченные множества как такие, которые с любой степенью точности приближаются конечными множествами. Рис. 1 Если множество Е является е-сетью множества А С М, то, как очевидно, Е будет е-сетью также и для любого подмножества А. Отсюда, в частности, вытекает, что если множество А вполне ограничено, то и любое множество Е С А является вполне ограниченным. Пусть множество Е есть е-сеть множества А. Тогда если мы исключим из Е те точки у, для которых в шаре В(у,е) нет точек множества А, то оставшиеся точки также будут составлять е-сеть множества А.

Действительно, пусть Е' есть совокупность всех у Е Е, для которых шар В(у,е) содержит точки множества А. Для всякой точки З 2. Критерий предкомлактиости. Теоремы Лебега и Бореля 47 х б А, по определению, найдется точка у б Е такая, что р(х, у) < е.

Эта точка у, очевидно, принадлежит множеству Е', и тем самым доказано, что Е' есть е-сеть множества А. Предположим, что множество А С М является вполне ограниченным в пространстве (М, р). Тогда для любого е > О существует конечное множество Н, которое содержится в А'и является е-сетью множества А. Действительно, пусть А есть вполне ограниченное множество.

Зададим пРоизвольно е > О. Положим е1 — — е7'2. ПУсть Е = (Уы Уз,..., У,) есть конечное множество, которое является е1-сетью множества А. В силу предыдущего замечания мы можем считать, что для всякого и = 1, 2,..., г шар В(уь, е1) содержит точки множества А. При каждом и = 1,2,..., т выберем точку хе Е А такую, что р(хм уь) < еы и пусть (хы хз1 ° ° ° ~ хе) ° Покажем, что Н есть е-сеть множества А. Действительно, возьмем произвольно точку х б А.

Тогда так как Е есть е1-сеть множества А, то найдется уь Е Е такое, что р(х, уь) < еы Имеем р(х, хь) < р(х, уь) + р(уь, хь) < ез + е1 — — е, и тем самым доказано, что Н является е-сетью множества А. Ранее была введена еще одна характеристика множеств в произвольном метрическом пространстве. Напомним, что множество А в пространстве М называется предкомпактпым, если из всякой последовательности (х„)„еи точек множества А можно извлечь подпоследовательность, которая является фундаментальной последовательностью в пространстве М. Опишем о н п ост ю конст кцию кото ая оказывается полез- ной во многих воп осах тео ии множеств. Пусть М есть произвольное множество и (х„)„ен — последовательность его элементов.

Ее подпоеледовательноетью далее мы будем называть всякую последовательность вида (х„бО)„еи, где (п(и))„ем, есть строго возрастающая последовательность элементов множества Мы т. е. п(1) < п(2) « ... п(и) < п(и + 1) < .... 3 а м е ч а н и е. Ранее под термином «подпоследовательность» понималась всякая последовательность вида (х„~„~) „еи, у которой область определения есть множество Х, а последовательность номеров (п(м)) „еи строго возрастающая.

Ясно, что подпоследовательность в смысле старого определения является также и подпоследовательностью в смысле определения, которое дано здесь. 48 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства ° Лемма 2,1 (лемма о канторовской диагональной конструкции). Пусть дана произвольная последовательность (ха)аен.

Предположим, ЧтО Прн КаждОМ И Е Х ОПрЕдЕЛЕНа ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ (Х,а)аяа1 тая, что выполнены следующие условия: 1) ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ (Х1 а)аяи СОВПадаЕт С ИСХОдНОй ПОСЛЕдОВательпостью (ха)аен, т. е. Х1 „— — ха длЯ любого и Е Х; 2) ПРИ КажДОМ т Е Х ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСХЬ (Х +1 а)аЕН ЯВЛЯЕТСЯ подпоследовательпостью для последовательности (х а)аян. Тогда, каково бы ни было ти Е Х, последовательность (х„та)„ен является подпоследовательпостью последовательности (х а)„ЕН. В частности, (х„та)„ен есть подпоследоватепьпость исходной последовательности (ха)аяи. 3 а м е ч а н и е.

Построим некоторую бесконечную таблицу следующего вида: Х1,1т Х1,2т ' ' ' Х1,ат Х21т Х22) ''' Х2,ат Хат,1т Хат,2т ' ' ' Хта,ат При каждом ти Е Х элементы, стоящие в из-й строке этой таблицы, образованы членами последовательности (х а)аен, расположенными в порядке их номеров. Очевидно, (х„,„)„еи есть последовательность, образованная элементами, стоящими на диагонали этой бесконечной таблицы.

Доказательство. Сначала покажем, что для любых ти Е Х и г Е Х последовательность (х +„а)аен есть подпоследовательность (х а)аен. Для г = 1 это верно в силу определения последовательности (Хат+1,а)аен. Предположим, что для некоторого т Е Х доказано, что (х +, а)аен есть подпоследовательность последовательности (х а)аен. Это означает, что х +„а — — х „т„1, где р,: Х вЂ” т Х, есть строго возрастающая функция. По условию имеем х +а+1 „= х .1,„та1т где тт: Х вЂ” Х вЂ” строго возрастающая функция. Заменяя в равенстве х +,„— — х „„1„1 и на и(и), получим х +„+1„—— х +,„т„1= х „т,т„1~ = х где р,+1(и) =,и,[и(и)].

Функция р„+1, очевидно, является строго возРаСтаЮЩЕй, И тЕМ СаМЫМ ДОКаЗаНО, ЧтО (Х +„+1 а)аяи ЕСтъ ПОДПОСЛЕДО- вательность последовательности (хта а)аен. з 2. Критерий предкомпактности. Теоремы Лебега и Бореля 49 По индукции из доказанного следует, что (х .~, „)„еи при каждом т Е >з есть подпоследовательность (х „)„ен. В частности, мы получаем, что х +, +, — — х з >,> при каждом т > 1, где Л (т) = р„(ти+т), Л (т) есть натуральное число.

Покажем, что функция Л строго возрастающая. Имеем р„.~~(п) = = р,[и(п)). Отсюда получаем, что Л (п+ т+ 1) = и,+>(п+ >-+ 1) = = д„[и(тп + т + 1)]. Так как функция и: > > — > > строго возрастающая, то и(т+ т+ 1)) > т+ т+ 1, откуда получаем Л (т+ 1) > р„(>и+ т+ 1) > р (т+ т) = Л (т). Этим установлено, что Л: > > — >"> есть строго возрастающая функция. Положим Л (О) = т. При каждом п > т выполняется равенство х„„= х„> >„р Это равенство, очевидно, выполняется также и в случае и = т.

Функция п > Л (п — т) строго возрастающая, откуда следует, что последовательность (х„,„)„ен есть подпоследовательность последовательности (х „)„еи. Лемма доказана. ° ° Теорема 2.1 (теорема Хаусдорфа). Для того чтобы множество А в метрическом пространстве (М, р) было вполне ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы оно было предкомпактно. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что множество .Е в пространстве (М,р) является вполне ограниченным.

Требуется доказать, что оно предкомпактно, т. е. из всякой последовательности его элементов можно извлечь фундаментальную подпоследовательность. Пусть Е >. М есть вполне ограниченное множество, (х„)„е>ч есть произвольная последовательность его элементов. Докажем, что для всякого е > 0 найдется подпоследовательность (х„,)вен такая, что для любых двух ее членов хем и х„„„выполняется неравенство р(хтм>х», ) < Е. Действительно, пусть дано е > О. Так как множество Е, по условию, вполне ограничено, то оно имеет конечную е/2-сеть (см.

выше). Пусть множество А = (аы аз,..., а„) представляет конечную е/2-сеть множества Е. Согласно определению того, чтб есть е/2-сеть множества, это означает, что для всякой точки х б Е найдется номер г такой, что р(х,а;) < е/2. Пусть У; есть множество тех значений и, для которых р(х„, а;) < < е/2. Всякий номер и Е >> принадлежит хотя бы одному из множеств Х;. При каждом г имеем о>; С >">.

Следовательно, 50 Гл. 9..Компактные множества и топологические пространства Из этого равенства очевидно следует, что по крайней мере одно из множеств Х; бесконечно. Предположим, что множество Ф;, является таковым. Занумеруем элементы множества Ф;, в порядке следования, и пусть иь есть его элемент с номером к, к = 1, 2,....

Покажем, что подпоследовательность х„„и есть требуемая. Действительно, при каждом /с = 1,2,... точка иь принадлежит множеству Ф;, и, значит, имеет место неравенство Отсюда следует, что для любых номеров к1 и кг выполняются неравен- ства р(х„, ,х„, ) < р(х,„ , а;,) + р(а;„ х„, ) < е/2 + е/2 < е, что и доказывает, что данная подпоследовательность есть искомая. Требуемую фундаментальную подпоследовательность мы получим, применяя лемму о канторовской диагональной конструкции (см.

лемму 2.1). Для каждого т б г1 определим некоторую подпоследовательность (х „)„ен. Полагаем прежде всего х> „= х„при всяком и б Х. Предположим, что для некоторого т б М последовательность 1 (х „), р = 1,2,..., определена. Положим е = —. По доказанному т+1 из последовательности (х,„) „ек можно извлечь подпоследовательность (х „„)„ен, для которой для любых и>, пз выполняется неравенство Полагаем х +з „вЂ” — х в„для каждого и = 1,2,....

По индукции для каждого т описанным построением определена последовательность (х,„), с> = 1,2,..., точек множества Е. При этом каждая следующая последовательность является подпоследовательностью для предыдущей. Из построения следует также, что если т > 1, то для любых И, рз к М выполняется неравенство 1 р(х „„х,„,) < —. Согласно ле ме о канторовской диагональной конструкции (лемма 2.1) последовательность (х, ) ен является подпоследовательностью исходной последовательности (х„)„еи. З 2. Критерий лредкомлактиости.

Теоремы Лебега и Бореля 51 Докажем, что эта подпоследовательность фундаментальная. Зада- 1 дим произвольно е ) О и найдем по нему то > 1 такое, что — < г. то Пусть т1 > то и тз > то — натуральные числа. Тогда согласно лемме о кантороеской диагональной конструкции х „, и х,, есть члены последовательности (х „„)„ен и, значит, 1 р(х „,,х „,) « — е. то Так как е > О произвольно и для выполнения последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы выполнялись неравенства т, > то и тз > то, то тем самым установлено, что последовательность (х ) ек фундаментальная.

Таким образом, установлено, что множество Е предкомпактно и необходимость условия доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть множество Е С М предкомпактно. Предположим, что Е не является вполне ограниченным в пространстве (М, р). Это означает, что не для всякого г > О можно указать конечное множество Н С М, которое было бы г-сетью множества Е. Следовательно, найдется число е > О, для которого в пространстве (М, р) не может быть построена конечная г-сеть множества Е.

Характеристики

Список файлов книги