1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Действительно, пусть а = 1)щ ~р(8), 6 = йщ (о(1). х(0 р х(0-~р При каждом 1 б Т имеем р(а,б) < р[а,(о(1)]+ р[~р(1),6]. З 1. Обзор некоторых основных утверждений 33 Каждое из слагаемых справа стремится к нулю при сг(1) — О. На основании теоремы о предельном переходе е неравенстве (см. выше теорему 1.3) отсюда получаем р(а, Ь) < О + О = О. Так как, с другой стороны, р(а, Ь) > О, то отсюда заключаем, что р(а, Ь) = О и, значит, а = 6. Единственность предела при а(1) — О установлена.
Аналогично устанавливается единственность предела в случае, когда речь идет о пределе при а(1) — оо. В том частном случае, когда Т = Х, отображение ~р: Т -+ М есть просто последовательность точек метрического пространства М. Точка а метрического пространства М с метрикой р называется пределом последовательности (х„)„ен точек пространства М в том и только в том случае, если р(х„,а) — О при и -+ оо.
Последовательность (х„)„ен точек пространства (М, р) называется сходящейся, если она имеет предел, т. е. существует точка а б М такая, что р(х„, а) -~ О при п — оо. 1.3.5. Пусть дано метрическое пространство М и р — его метрика. Для произвольной точки а Е М положим р,(х) = р(х, а). Определенная так функция р является оценочной функцией с предельным значением р = О.
Действительно,для всякого х б М имеем р(х,р) > О и р(р,р) = О. Функция А(х) = р(х, р), как следует отсюда, удовлетворяет условию Е из п. 1.3.1. Назовем р, оценочной функцией сходимости к точке а. Пусть даны метрические пространства М с метрикой р и Л с метрикой и. Будем говорить, что отображение 1: М -+ Л непрерывно в точке а б М, если 1(а) = йщ Дх) или, что равносильно, если О = йш о [Дх), Да)]. р1л,а) О Перефразируя общее определение предела применительно к данному частному случаю, получим, что отображение 1': М -+ Х непрерывно в точке а б М в том и только в том случае, если для всякого е > О можно указать б > О такое, что для любого х б М, для которого р(1, а) < б, выполняется неравенство р[1(х),Да)] < е.
34 Гл. д. Компактные множества и топологические пространства Отображение <': М вЂ” ~ Ф называется непрерывнь<м, если оно непрерывно в каждой точке х метрического пространства М. Точка а метрического пространства М с метрикой р называется предельной точкой пространства, если для всякого числа 6 > 0 существует точка х Е М такая, что 0 < р(х, р) < 6. Данное определение, как очевидно, равносильно следующему: точка а есть предельная точка метрического пространства (М,р), если каково бы ни было 6 > О, ш а р В(а, 6) в этом пространстве содержит точки, отличные от точки а. Отсюда, в частности, следует, что если а Е М н е я в л я е т с я предельной точкой пространства (М,р), то существует 6 > 0 такое, что шар В(а,6) не содержит точек пространства, отличных от а, т.
е. имеет место равенство В(а,6) = (а). Если а к М есть предельная точка пространства М, то функция р, является оценочной функцией с предельным значением 0 на множестве М ~ (а), получаемом из М и с к л ю ч е н и е м точки а. При этом р,(х) > 0 (неравенство строгое!) для всех х б М ~ (а). Пусть а — предельная точка метрического пространства (М,р). Предположим, что заданы метрическое пространство (Ф, и) и отображение г": М вЂ” Ф.
Точка Ь Е Л называется пределом отображения ~ при х, стремящемся к а, если Ь есть предел ограничения отображения ~ на множестве М ~ (а) при р,(х), стремящемся к нулю. В этом случае будем писать Ь = Бщ 1"(х). ° Теорема 1.6, Пусть даны метрические пространства М с метрикой р и Ф с метрикой и и отображение ~: М вЂ” У. Предположим, что точка р б М является предельной точкой пространства М. Для того чтобы отображение ~ было непрерывно в точке р, необходимо и достаточно, чтобы величина < (р) — значение <' в точке р — было пределом функции 1(х) при х, стремящемся к р по множеству М ~ (р). ° 1.3,6. Имеют место теоремы о замене переменной под знаком предела, формулировки которых приводятся ниже.
(Доказательства этих теорем даны в главе 6.) ° Теорема 1Л, Пусть даны метрические пространства (М,р), (У,«) и (Л,т). Если отображение У: М вЂ” Ж непрерывно в точке а Е М, а отобрал<ение д: Х вЂ” ~ гь непрерывно в точке Ь = 1(а), то суперпозиция (д о ~): х Е М д[<"(х)) есть отображение, непрерывное в точке а. ° ~ Е Обзор некоторых основных утверждений 35 ° Теорема 1.8. Пусть даны метрические пространства (М,р), (Х,и) и [Л,т) и отображения г": М -+ Х и д: Ф Я.
Предположим, что а 6 М есть предельная точка пространства М и функция ~ имеет предел 1ппДх)=ЬЕЛ. Тогда если отображение д; Л вЂ” А непрерывно в точке Ь, то суперпозиция до~: х Е М дух)] имеет предел при х -+ и. При этом имеет место равенство Бгп д[Дх)] = д(Ь). ° ° Теорема 1.9. Пусть даны метрические пространства (М,р), (Л, и) и (Л, т) и отображения г": М вЂ” М и д: Х -+ В. Предположим, что а Е М есть предельная точка пространства М и функция ~ имеет предел БтпДх)=ЬЕХ, причем ~(х) ф Ь при х ~ а. Тогда Ь есть предельная точка метрического пространства (Х, о).
Если отображение д: Ф - В имеет предел Бт д(у), то суперпозиция д о г: х Е М дух)] также имеет предел при х -~ а. При этом имеет место равенство 1пп дух)] = Бт д(д). ° 1.3.7. Пусть М есть метрическое пространство и р — метрика этого пространства. Последовательность (х„)„ен точек пространства М называется 4ундаментальноб, если выполнено следующее условие: для всякого е > 0 существует номер и Е М такой, что для любых п1 > и и пз > и выполняется неравенство р(х„„х„,) ( е. Как показано в главе 6, всякая сходящаяся последовательность точек метрического пространства является фундаментальной. Метрическое пространство (М, р) называется полным, если всякая фундаментальная последовательность точек этого пространства имеет предел.
Иначе говоря, метрическое пространство (М,р) называется 36 Гл. 9. Компактные множества и толологические пространства полным, если в нем верен признан Коши — Больцано суи4ествования предела для последовательностей (глава 2). Отметим о ин важный частный сл чай. Пусть Х есть нормированное векторное пространство и х + [)х() есть норма в этом пространстве. Полагая р(х,у) = Ох — уО для произвольных х, у Е Х, мы получим некоторую метрику в Х.
Будем называть эту метрику естественной метрикой нормированного пространства Х. Нормированное векторное пространство называется полным, если (Х,р) есть полное метрическое пространство. Полное нормированное векторное пространство называется также банаховым пространством по имени польского математика Стефана Банаха — основателя теории банаховых пространств. Понятие банахова пространства принадлежит к числу фундаментальных концепций современной математики и имеет многочисленные применения. ° Теорема 1.10.
Пусть Х и Ъ' есть балахоны пространства. Пусть для линейных отображений у: Х вЂ” Ъ' норма определена равенством [Щ = апр [~р(х)]. Функция у .фр[[ есть норма на множестве ))хЦ<1 Я х'(Х, я') всех ограниченных линейных отображений пространства Х в пространство я', т. е. отображений, для которых Ы < оо, и Я У(Х, я') есть балаково пространство. Доказательство. То, что множество Я 'х. (Х, У) всех ограниченных линейных отображений пространства Х в я есть векторное пространство, доказано ранее (см.
п. 1.2.5). Там же показано, что Ф: у ~ Ы есть норма на этом пространстве. Требуется, таким образом, установить, что это пространство полно, т. е. всякая фундаментальная последовательность линейных отображений пространства Я У(Х, я') является сходящейся. Пусть (1р„) „еи есть произвольная фундаментальная последовательность элементов пространства Я.'х"(Х, я). По определению, это означает, что величина ([у„— у„([ стремится к нулю при и — со и при р — оо.
Требуется доказать, что последовательность (<р„)„ен является сходящейся в пространстве Я х"(Х,'я), т. е. что существует у Е Я х(Х,'я') такое, что [)у„ — у([ — О при и — ~ оо. Возьмем произвольный вектор х Е Х. Для любых номеров р и н имеем О < )(~р„(х) — ср„(х)!) = )([~в„— ~ря)(х))[ < )[ср„— ~р,Д()х[).
При и — оо и р — оо величина фр„— ~р„() стремится к нулю. Отсюда в силу теоремы о зажатой переменной следует, что фр„(х) — ~ря(х))! Ц 1. Обзор некоторых основных утверждений 37 стремится к нулю при и - оо и д -+ оо. Так как пространство Ъ' является полным, отсюда вытекает, что существует предел 1пп р„(х) Е У. Обозначим этот предел через ~р(х). Так как х Е Х было взято произвольно, то, таким образом, определено некоторое отображение ~р: Х вЂ” я'. Покажем, что это отображение линейно и Ц~р„- уЦ -+ О при ю — со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
