1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Предисловие Глава 10 «Основы гладкого анализа» является продолжением главы 7 части первой КМА. Основная задача здесь — доказательство теоремы о неявных функциях и ее приложений к исследованию строения гладких (т. е. дифференцируемых достаточно большое число раз) функций многих переменных. Теорема о неявных функциях выводится из теоремы о достаточных условиях обратимости гладкого отображения.
Последнее доказывается с помощью принципа сжимающих отображений для метрических пространств. Принцип сжимающих отображений имеет многочисленные приложения в математике как в вопросах теоретического, так и прикладного характера (большинство этих приложений касается вопросов, выходящих за рамки данного курса). В числе следствий теоремы о неявных функциях отметим теоремы о функциональной зависимости и независимости системы функций, теорему о строении множества решений системы уравнений. Приводится лемма Морса о строении дважды дифференцируемой вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки, где обращаются в нуль все первые производные.
Рассматриваются вопросы, касающиеся условных экстремумов. В качестве приложения дается аналитическое решение задачи о собственных значениях симметрической матрицы. Глава 11 — «Теория рядов». Здесь рассматриваются простейшие свойства суммы ряда, свойство ее ассоциативности. Каковы условия сходимости данного ряда? На этот вопрос «отвечает» признак Коши— Больцано, имеющий универсальный характер. Выделяется класс абсолютно сходящихся рядов. В конкретных случаях непосредственное применение признака Коши — Больцано связано с определенными трудностями.
Поэтому в математике было предложено большое число признаков, которые позволяют эффективно устанавливать сходимость или расходимость определенных классов рядов. К числу таких признаков относятся признаки Коши, Даламбера, Раабе, Дирихле, Абеля, Лейбница. Доказательства перечисленных признаков осуществляются с помощью теорем сравнения и их следствий.
Изучается операция суммирования, т. е. определения суммы значений функции, заданной на некотором бесконечном множестве, и устанавливаются различные свойства этой операции. Среди разного вида рядов особое место занимают кратные ряды. Здесь рассматриваются так называемые бесконечные произведения н находятся признаки их сходимости или расходимости. Приводится формула Валлиса для вычисления числа я. Интересным объектом (имеющим приложения в теории ортогональных полиномов, теории функций комплексной переменной и в теории приближений) являются цепные дроби. Приводятся необходимые определения и описываются различные обозначения, применяемые при изучении таких дробей. Формулируется критерий Зейделя сходимости цепной дроби.
14 Курс математического анализа, ч. П, кн. 1 Глава 12 — «Функциональные ряды и интегралы, зависящие от параметра». Центральным здесь является понятие равномерной сходимости. В книге оно определяется с помощью равномерной нормы функции. Последняя есть некоторая величина, в определенном смысле характеризующая «размеры функции». Понятие равномерной нормы функции позволяет заменить так называемые «е-6-рассуждения» алгебраическими вычислениями, что упрощает исследование свойств равномерной сходимости. Доказывается теорема об интегрировании и дифференцировании функциональных рядов.
Рассматриваются некоторые примеры. К числу функций, представленных интегралами, зависящими от параметра, относятся бета- и гамма-функции Эйлера; устанавливаются их основные свойства. Рассматривается метод Лапласа асимптотической оценки интеграла, зависящего от параметра, для больших значений параметра. В частности, доказывается формула Стирлинга для п! для больших значений и.
Изучаются степенные ряды и функции, представимые такими рядами. Главы книги сопровождаются задачами. Основную часть из них составляют те, которые включались в разное время в билеты на экзаменах или рассматривались на практических занятиях на механико- математическом факультете Новосибирского государственного университета. При отборе задач автор старался подбирать такие, решение которых способствовало бы лучшему пониманию теоретического материала. В книге принята следующая система нумерации. Главы делятся на параграфы, имеющие порядковую нумерацию.
В свою очередь, каждый параграф разбивается на пункты (или разделы), которые имеют двойную нумерацию: первая цифра — номер параграфа, вторая цифра— порядковая. Формулируемые в книге утверждения (теоремы, леммы и предложения) и формулы имеют — в пределах параграфа — аналогичную двойную нумерацию. Рисунки имеют порядковую нумерацию в пределах главы. В конце книги даны указатель обозначений и предметный указатель. Глава 9 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА я Понятия компактного и предкомпактного мнохсества ° Компактные метрические пространства ° Теорема о декартовом произведении компактных метрических пространств ° Предкомпактность и вполне ограниченность ° Понятие к-сети ° Теоремы Лебега и Бореля об открытом покрытии компактного множества ° Теорема об образе компактного множества при непрерывном отображении ° Теорема Вейерштрасса о наибольшеми наименьшем значениях непрерывной функции на компактных множествах ° Понятие равномерно непрерывной функции ° Теорема Гейне о равномерной непрерывности непрерывных отображений компактных множеств ° Аксиомы толологического пространства ° Понятие топологии на произвольном множестве ° Окрестность точки в толологнческом пространстве ° Понятие непрерывности для отображений топологических пространств ° Теоремы о прообразе открытого (замкнутого) множества относительно непрерывного отображения ° Обшне свойства непрерывных отображений ° Компактные множества в произвольных топологических пространствах ° 1б .
Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства З 1, Обзор некоторых основных утверждений главы 6 (еХурс математического анализа», часть |, книга 2), а также глав 2 и 3 (часть 1, книга 1) ных результатов теории предела. 1.1. ОБ ие сВе ениЯ о метРических ИРОстРАнстВАх 1.1.1. Пусть М есть произвольное множество. Функция р: (х, у) Е б М х М «-«р(х, д) Е зь называется метрикой М, если она удовлетворяет следующим условиям — а к с и о м а м м е т р и к и. М1. Для всякого х б М р(х, х) = О. (1.1) М2.
ДлялюбыххЕМидбМ р(х, у) = р(у, х). (1.2) МЗ. Для любых х б М, у б М и г б М выполняется неравенство р(х, г) < р(х, у) + р(у, г). (1.3) М4. Если лара (х, у), где х Е М и у б М, такова, что р(х, д) = О, то х = у. Метлрическое просглранстпео есть пара (М, р), где М вЂ” множество, а р — метрика, определенная на М. Элементы метрического пространства называются его точками. Для произвольных точек х Е М и у б М величина р(х, у) называется рассглоянием между точками х и у в пространстве (М, р). Далее предполагается, что читатель знаком с материалом, излагаемым в первой части курса. Данная глава по своему содержанию является продолхзеннем главы б (КМА, часть 1, книга 2), посвященной исследованию непрерывных отображений метрических пространств. Для удобства читателя мы приводим здесь определения некоторых основных понятий, введенных в главе б, и формулировки основных результатов, относящихся к ннм.
В частности, напомним определения понятий метрического пространства, предела относительно оценочной функции и приведем формулировки основ- з 1. Обзор некоторых основных утверждений 17 Свойство метрики, выражаемое равенством (1.2), называется ее симметричностью. Неравенство (1.3) далее будем именовать неравенством треугольника. А к с и о м а М4 называется аксиомой точности или аксиомой отделимости метрики.
Отметим некото ые п остые с в о й с т в а м е т и к и непо- с ственно сл ю ие из оп е еления Доказательства формулируемых далее утверждений приводятся в главе б. 1. Для любых двух точек х, у метрического пространства (М, р) выполняется неравенство р(х, у) > О. 11. Для всякого конечного набора точек хв,хм...,х„, и > 2, метрического пространства (М, р) имеет место неравенство р(хо,х„) < ~> р(хь мхе), я=г (1.4) называемое неравенством ломаной. 1П.
Пусть даны две произвольные пары хм уг и хг, уг точек пространства (М, р). Тогда имеет место неравенство ~Р(хм уз) — Р(хг~уз)~ < Р(хг хг) + Р(уг~уг). (1.5) ~р(х,у) — р(х,г)~ < р(у,г). (1.6) Пусть даны метрические пространства (Мы рг) и (Мг, рг). Отображение ~: Мг — ~ Мг называется изометрией пространств (Мг,рг) и (Мг, рг), если ~ есть отображение Мг на Мг и для любых хг б Мг и хг б Мг имеет место равенство Рг(У(хг)~У(хг)) Рг(хгтхг). Если 7': Мг — Мг есть изометрия метрических пространств (Мг, Рг) и (Мг, Рг), то г — взаимно однозначное отображение и обратное отображение 7' ~ также является изометрией этих пространств.
Метрические пространства (Мг,рг) и (Мг,рг) называются изометричными, если существует изометрия этих пространств. Неравенство (1.5) в дальнейшем называется неравенством четырехугольника. 1зГ. Для любых трех точек х, у, г пространства (М, р) имеет место неравенство 18 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства В случае, когда Мг — — Мг — — М и рг — — рг — — р, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
