1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Эйлеровы интегралы 338 338 Оглавление Указатель обозначений Предметный указатель 431 433 З б. Метод Лапласа построения асимптотических представлений. Формула Стирлинга .............. 412 6.1. Основная теорема об асимптотической оценке интеграла 412 6.2. Формула Стирлинга для приближенного вычисления Г(х + 1)-функции при больших значениях аргумента ... 417 З Т, Теоремы о приближении функций полиномами ..
419 7.1. Теорема Стоуна — Вейерштрасса о приближении функций 420 7.2. Приложения теоремы Стоуна — Вейерштрасса ......... 424 Задачи 428 Прекрасные возможности предоставлены также и студенту.... Изведав удовольствие от занятий математикой, он его забудет нескоро, и вот тогда, очень вероятно, математика займет определенное место в его жизни: как предмет любительского увлечения или как инструмент в его профессиональной работе, как профессия или как путь к личной славе. д'.
Пояе. Как решать задачу От автора (ко второй части книги) Предлагаемый вниманию читателя учебник «Курс математического анализа» (КМА), часть ??, состоит из двух книг. Материал этих книг обычно составляет содержание первого и второго семестров лекционного курса, читаемого студентам-математикам второго года обучения. Однозначного ответа на вопрос', чтб есть современный курс математического анализа, по-видимому, не существует.
Автор руководствовался теми соображениями, что в современных математических исследованиях можно найти новые подходы к методике изложения тех или иных тем курса математического анализа. Так, например, теорема о неявных функциях может быть доказана, как это сделано в главе 10, с помощью принципа сжимающих отображений (возможность такого способа изложения данной темы отмечает в классическом учебнике Э. Гурса, вышедшем более 70-ти лет назад). Принцип сжимающих отображений важен и сам по себе — он является теоретической основой разнообразных математических методов, в частности и методов вычислительной математики. Использование понятия равномерной нормы существенно упрощает изложение вопросов, относящихся к понятию равномерной сходимости последовательности функций. Это позволяет свести к минимуму использование техники «б-о-рассуждений», которал обычно доставляет массу трудностей начинающим.
Дифференциальное и интегральное исчисления составляют основу математического образования. В широком смысле «математический Курс математического анализа, ч. 1?, кн. 2 анализ» означает часть современной математики, включающую такие ее разделы, как теория функций комплексной переменной, теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия, теория функций вещественной переменной, функциональный анализ, теория вероятностей и др. Эти направления теоретической математики интенсивно развиваются в наши дни. Одна из основных тем математического анализа — интегральное исчисление. В первой части КМА теория интеграла строится по схеме, условно называемой теорией интеграла в смысле Ньютона. Теория кратного интеграла часто излагается на базе понятия интеграла Римана. В многомерном случае такое изложение оказывается достаточно тяжеловесным.
Оно опирается на понятие меры Жордана множества, которое в современных математических исследованиях практически не используется. Изложение теории кратного интеграла, принятое здесь, следует общей идее, которая может быть изложена следующим образом. Сначала определяется понятие интеграла для некоторых простейших функций. В качестве таковых здесь выбирается класс ступенчатых функций и переменных. Понятие интеграла ступенчатой функции, по существу, относится к элементарной математике. Для произвольной функции п переменных определяется понятие ?1-нормы функции.
Функция 1 считается интегрируемой, если существует последовательность ступенчатых функций (~р„)„ен такая, что ?,|-норма разности у„— 1 стремится к нулю при и — оо. В этом случае интегралы функций ~о„будут сходиться к некоторому общему пределу, который и является интегралом функции ?. В зависимости от того, как определено понятие ?1-нормы, мы получаем ту или иную теорию интегрирования. При некотором выборе ?1-нормы мы приходим к понятию функции, интегрируемой в смысле Римана. В качестве ?,|-нормы можно взять равномерную норму. Отсюда также получается определенная теория интеграла, которая здесь, впрочем, не рассматривается. Определение ?з-нормы, данное здесь, приводит к теории интегрирования Лебега для функций многих переменных.
Такой подход к изучению теории интеграла для функций многих переменных впервые был предложен американским математиком М. Стоуном. Материал изложен со всеми необходимыми подробностями в форме, которая, как показывает опыт преподавания в Новосибирском государственном университете, доступна студентам-математикам второго года обучения. Теория интеграла Лебега есть именно та концепция интеграла, которая работает в современных исследованиях в области математической физики. Традиционно теория интеграла Лебега читалась у математиков на третьем курсе университета. Новое изложение позволило передвинуть эту тему с третьего курса на второй. От автора Теория интегральных формул К. Гаусса и М. В.
Остроградского излагается в книге на базе понятия внешней дифференциальной формы. Такой подход в настоящее время считается общепринятым. В Новосибирском университете эта тема читается с 1963-го года. Дифференциальное и интегральное исчисления имеют большое значение также и с точки зрения приложений математики. Решение многих задач естествознания, в частности механики, физики, химии и других наук, основано на методе математического моделирования различных явлений и процессов. Эти дисциплины представляют собой язык, на котором формулируется большинство законов физики и механики.
Не случайно один из основателей математического анализа И. Ньютон является также основоположником современной физики. Я благодарю всех, кто помог мне с подготовкой и выпуском моего «Курса математического анализа». Благодарю директора издательства Института математики СО РАН Владимира Леонидовича Береснева, сотрудников издательства, научных редакторов, прочитавших отдельные главы второй части учебника: Игоря Александровича Шведова, Владимира Кузьмича Ионина, Эрнеста Ошеровича Рапопорта (глава 9), Александра Дмитриевича Медных (глава 10), Виктора Алексеевича Александрова (глава 11), Сергея Андреевича Трескова (глава 12), Нурлана Слямхановича Даирбекова (глава 13), Александра Сергеевича Романова (глава 14), Сергея Константиновича Водопьянова (глава 15).
Благодарю дирекцию Института математики СО РАН за поддержку в подготовке рукописи КМА, руководство Новосибирского государственного университета и механико-математического факультета НГУ, где я работаю много лет. Я с глубокой благодарностью вспоминаю Анатолия Ивановича Мальцева, Сергея Львовича Соболева, Леонида Витальевича Канторовича и Алексея Андреевича Ляпунова, которые ознакомились с моим первоначальным проектом содержания курса математического анализа на механико-математическом факультете НГУ и в целом одобрили его. Я благодарю Екатерину Григорьевну Решетняк за ее неоценимую помощь при подготовке рукописи этой книги. Издание книги финансировалось Российским фондом фундаментальных исследований (код проекта 99 — 01 — 14013).
Ю. Г. Решетиняк ПРЕДИСЛОВИЕ Часть вторая «Курса математического анализа» (КМА) предназначена прежде всего студентам второго курса университетов. Автор надеется, что эта книга будет полезна и для преподавателей математического анализа. Введение здесь новых для курса математического анализа тем достигнуто без ущерба его традиционному содержанию.
Несколько слов о содержании книги 1 второй части «Курса математического анализа». В главе 9 «Компактные множества и топологические пространства» читатель познакомится с теорией компактных множеств, а также получит начальные представления о некотором абстрактном математическом объекте — топологическом пространстве. Понятие компактного множества возникло в связи с задачей отыскать наиболее широкий класс множеств, для которых верны аналоги теорем Вейерштрасса и Гейне о непрерывных функциях. Таким является класс компактных множеств в метрических пространствах. В доказательствах соответствующих теорем для функций на отрезке, как показывает внимательный анализ, ключевую роль играет следующее свойство замкнутого отрезка в множестве И: из любой последовательности его точек можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит отрезку.
Аналог этого свойства и принимается за исходный пункт при определении компактных множеств в метрических пространствах. Рассматриваются понятия компактного и предкомпактного множеств, понятие е-сети и вполне ограниченного множества в метрическом пространстве. Доказываются теоремы Лебега и Бореля об открытом покрытии компактного множества. Устанавливаются основы свойства непрерывных отображений компактных множеств. Метрические пространства являются частным случаем топологических пространств. Здесь показано, как распространить на общий случай топологических пространств понятие непрерывности и компактности, которые ранее изучались только для метрических пространств. Один из основных принципов, которыми руководствовался автор, — использование понятий и методов современной математики в тех случаях, когда это позволяет упростить изложение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
