1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 80
Текст из файла (страница 80)
12.9. Исследовать, при каких комплексных в сходится рял [1+,„~ 1 12.10. Выяснить область сходимости ряла [-+ ~,— „1 1+* 1 =о,г,г,... 12.11. Определить, при каких а и )? схолится ряд ]п вш п~т]«Е)ч. 12.12. При каких о1, аг,..., а, р1, Рг,..., Д«сходится ряд с общим членом «/г 12.13, Исследовать сходимость ряда [*~),„, а > О, х« — — ] (вше)" 1(е. о 1 12.14. Исследовать схолимость ряда ~е«]«еи, где е« = ] ?+ — Ыя. При каких о а > О сходится ряд [х«? «ЕХ Гл.
12. Ф нкциональные яды н ннтег алы 2тт 12.15. пусть ?н т х -* — г. исследовать последовательность (Да)„е1ч на 1+в равномерную сходимость в отрезке [ — 1, 1]. 12.16. Доказать, что ряд [(-1)" х+ч1 сходится равномерно на всяком п 1а,Я сегменте [а, Ь] С К. Будет ли он абсолютно сходящимся? Пусть Х, 1т' и Е естпь произвольные банаховы пространства. Отпображение и: Х х Ът Е называется билинейной функцией, если оно удовлетворяетп следующему условию: А) для любых векторов хг,хг б Х, у б ')( и любых чисел а, б б К имеет место равенство и(ох1+ттхг, у) = ети(х1, у)+ +Пи(хг, у), и для любых векторов х б Х, у1, уг б У и чисел тт, Д б К имеем и(кт ау1 + ттуг) Сти(Х~ У1) + Фи(Х~ У2)' Билинейная функция и: Х х ч1тт — Е называется оераниченной, если она удовлетворяет следующему условию: В) существует постоянная Т < со такая, что для любых векторов х б Х и У б 11' выполняетпся неравенство ][и(х, у) [[И < 1,]]х[]к[[у]]у.
12.17. Пусть и: Х х тт' — Е есть ограниченная билинейная функция. Доказать, что среди постоянных Т, для которых выполняется неравенство условия В, существует наименьшая. (Наименьшая из таких постоянных называется нормой билинейной функции и и обозначается символом ][и[[.) 12.18. Доказать следующий абстрактный аналог признака Дирихле.
Пусть даны банаховы пространства Х, Ъ' и Е и ограниченная билинейная функция и: Х Х Ъ'- Е. ПУСТЬ (Х„)нл1Ч ЕСТЬ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ С ОГРаНИЧЕННОй ВаРнаЦИЕй ВЕКТОРОВ ПРОСтРаиетна Х (т. Е. СУММа ~, ]]Хп — Х„+1][ < ОО), (У„)аяк— пж1 последовательность векторов пространства тт". Тогда если 1пп х„= 0 и по- следовательность 2 у„ , и = 1,2,..., является ограниченной, то ряд 1=1 у и(хтт У1) + и(хг> Уг) + + и(хн, уа) +... в пространстве Е сходится. 12.19. Функция у": [ — 1, 1] — К дифференцируема в точке х = 0 и ?'(0) = О. Положим уп(х) = п[у'(х/и) — ?'(О)].
Доказать, что ?н:2 0 в [ — 1, 1] при и — т со. 12.20. Дана функция и переменных у: П вЂ” К™, где П вЂ” открытое множество в К", а — точка множества П и б ) 0 таково, что замкнутый шар В(а,б) содержится в множестве П. Доказать, что линейное отображение 1: К" — К является дифференциалом функции у' в точке а в том и только в том случае, если отношение 1 [1(а+?1Х) — ? (а)] при?т - 0 сходится к 1 (Х) равномерно на шаре В(а, б). 12.21.
Даны множество А и последовательности функций (1„: А — К)ве1ч, (д„: А — К)аеьь равномерно сходящиеся на А при п — оо к функциям 1о: А — К и до: А -+ К соответственно. Доказать, что: а) штп(1'а, д„) л :л щтп(Уотдо) на А при и - оо; б) ~„+ д„=г Уо + до на А при и -+ оо; 2 2 2 2 в) га да '-2 Уо ° до на А при и — оо. 12.22. Даны множество А и последовательность функций ф,: А - К)ае1ч, равномерно сходящаяся при п — оо к функции уо. А — К. Доказатьь что 1П? уа(Х) - 1П1 га(Х), Вцр?в(Х) — Вцр уа(Х) Прн П вЂ” ОО.
вЕА веА хЕА хЕА Задачи 429 12.23. Функции (Т'„: [а,Ь) — К)„еи непрерывны, и („~ ~ на (а,6) при п — ~ оо. Доказать, что существует непрерывная функция Г: [а, 6] — ~ К такая, что Г[1, 61 — — У и 1„(а) — Г(а), Б (6) — Г(Ь) при п — со. 12.24. Пусть У: [а,6) -~ К вЂ” непрерывная функция.
Обозначим через 1„(х) точную нижнюю границу у на множестве [х — ~~,х+ ] О [а,6). Доказать, что функция у„непрерывна и 1О =3 у на [а, 6] при и — со. 12.25. Пусть (1О: А — ~ К)„еи — последовательность функций такая, что '=Ф уо на А при и -~ оо, Г: К - К вЂ” равномерно непрерывная функция. Доказать, что Го ~„':3 Г о (о на А при и -~ оо. 12.26. Функции т'„: [ — 1,1) — К непрерывны в точке х = О, и ~О -О уо на [ — 1, 1] при п - со.
Доказать, что 1'„(хе) — ~ 1о(0) для всякой последова тельности (х„)„ЕИ такой, что х„- 0 при п — оо. 12.27. Функции 1„: [а, 6] — К сходятся поточечно к функции уо . [а, 6] — ~ К. Доказать, что если Т„все дифференцируемы на [а, 6] и ]у",,(х) ~ < М при всех и Е Г(, х Е [а, 6], то УО -О Ь на [а, 6) при п -~ оо. 12.28. Пусть (1„: К -~ К)„еи — последовательность неотрицательных непрерывных функций, поточечно сходящаяся к непрерывной функции уо: К— К. Доказать, что если последовательность 1„(х) возрастающая при каждом х и 1цп Б(х) = 1пп Б(х) = 0 при каждом п, то У„':3 Хо на К.
Π— ~ — ОО Х +ОО 12.29. Пусть А есть непустое компактное множество в метрическом пространстве (М, р). Предположим, что последовательность непрерывных функций ( 1О: А — К) „ем такова, что для всякой сходящейся последовательности (х„)„еп точек множества А существует конечный предел 1!щ ~О(х„). Доз ОО казать, что тогда последовательность фУнкций (1О)„еп ЯвлЯетсЯ РавномеРно сходящейся на множестве А. 12.30. Дано число а > 1. Определим последовательность функций (ТО)„Еи следующим образом.
Для х Е [0,1) полагаем Т1(х) = —,*, и для произвольного и для х Е [а",а" ] значение ~з(х) определяется равенством ~з(х) = и+ у(ха "). При каждом и Е О( функция ~„+1 определяется по ~„по формуле ~„+1 = = ~~(х ). Доказать, что последовательность функций является возрастающей и у,(х) ~ 1ояв х на промежутке [О, оо) при и — оо. 12.31. Пусть Т и Я вЂ” произвольные множества и В = Т х Я есть их прямое произведение. Доказать, что если функции 1: Т вЂ” ~ К и д: Я вЂ” К суммируемы по множествам Т и Я соответственно, то функция Ь(1, в) = Я)д(в) суммируема по множеству В.
При этом 1. м;)=[~до)[~доф (Кв)ЕЙ 1ЕТ ОЕО 12.32. Пусть Х есть произвольное банахово пространство, М.хО(Х, Х) есть множество ограниченных линейных отображений пространства Х в себя, Š— тождественное отображение пространства Х в себя. Пусть степенной 430 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы ряд [аая")„ене имеет радиус сходимости т > О. Доказать, что для всякого Х б Я.Ы(Х, Х) такою, что ))Х)( < г, ряд аоЕ+ пгХ + агХ +... а„Х" + .. является сходящимся. (Х" определяется по индукции по правилам: Х = Х и Х"+~ = Х о Х" = Х" о Х прн каждом и б Х) 12.33.. Пусть Х вЂ” произвольная квадратная матрица порядка и.
Для г б В положим ехр1Х = Е+ гХ + — Х + ° ° + — Х +.... Р г 2! ьй Доказать, что ряд сходится, каковы бы ни были Х и 1. Доказать, что функция 1 ~-~ ехргХ дифференцируема для всех г б К, причем ее производная ~~ ехргХ = Х(ехргХ) = (ехргХ)Х. Доказать, что для любых г, и б К имеет место следующее равенство: ехргХехриХ = ехр(1+ и)Х.
12.34. Пусть М есть метрическое пространство. Для произвольного множества А С М для любого г' > О пусть В(А, т) есть объединение всех шаров радиуса г, центры которых принадлежат А. Множество А с М назовем ограниченным, если оно содержится в некотором шаре В(а, г). Пусть Ьм Ег С М есть ограниченные множества. Обозначим символом Л(Ем Ег) точную нижнюю границу чисел г > О таких, что Ег С В(Ег, г) и Ег С В(Емг).
Доказать, что величина В(Ем Ег), определенная так для всякой пары ограниченных множеств пространства М, удовлетворяет аксиомам метрики М1, М2 и МЗ. Доказать, что если Ег и Ег — замкнутые множества, то из равенства Я(Ем Ег) = 0 следует, что Ег — — Ег. Доказать, что если М, есть компактное метрическое пространство, то множество и(М) всех замкнутых подмножеств М с метрикой Я, определенной выше, также является компактным метрическим пространством.
— —, значение, 294 прждмктный ~кАЗАтвль Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, 304 База топологического пространства, 68 Бета-функция, 405, 407, 410 Вектор, касательный в точке множества, 151 — многообразия касательный, 155, 172 Вектор-функция, 126 Гамма-функция, 405, 407, 411 Гессиан, 190 Гиперповерхностькоординатная, 111 Гомеоморфизм дифференцируемый класса С', 10Т вЂ” пространств, 80 Градиент функции, 102, 138 Граница нижняя точная, 28 Диффеоморфизм, 134 — класса С", 10Т Дифференцирование функций, представимых несобственными интегралами, 396 Дополнение множества, 40 Дробь цепная бесконечная, 292 — — — (непрерывная), 289 Дробь цепная бесконечная, признак сходимости Зейделя, 298 — — конечная, 292 — — периодическая бесконечная, 307 — — правильная бесконечная, 304 — †, л-е звено, 292 — —, нулевое звено, 292 — —, подходюцие дроби, 294 — —, скорость сходимости последовательности подходящих дробей, 306 — —, частные знаменатели, 292 — —, частные числители, 292 — —, члены л-го знена, 292 Задача об условном экстремуме, 168 Значение бесконечного произведения, 280 — гамма-функции, 409 — оценочной функции предельное, 28, 29 Изометрия пространств К" х К~ и К~+ каноническая, 24 Интеграл, зависящий от параметра, 386 Интегралы эйлеровы, 405 Интегрирование функций, представимых несобственными интегралами, 396 434 Интегрируемость функции на замкнутых промежутках, 380 — — по замкнутому промежутку, 376 Интервал к-мерный, 143 — п-мерный, 24 Иррациональность квадратичная, 307 Класс гладкости Сг, 134 — специальных функций, 405 Компоненты вектор-функции, 126 Контингенция множества в точке, 151 Координата радиальная, 115 — сферическая радиальная, 117 — угловая, 115 Координаты сферические угловые, 117 — точки, 109 — — аффинные, 111 — — естественные, 109 — — полярные, 114 — — сферические, 117 — цилиндрические, 115 Коэффициент сжатия отображения, 97 — стеленного ряда, 354 Кривая координатная, 111, 115 Критерий Бейерштрасса равномерной сходимости на промежутке, 372 — замкнутости множества в метрическом пространстве, 41 — интегрируемости интеграла в точке, 379 — Коши — Больцано равномерной сходимости, 325 — Коши — Больцано существования конечного предела для функций, 378 — Коши — Больцано сходимости интеграла, 382 — равномерной схоцимости интеграла относительно параметра, 401 Критерий суммируемости функции по множеству, 257 — сходимости интеграла, 385 Круг сходимости степенного ряда, 356 Куб, 25 —, длина ребра, 25 — замкнутый, 25 — открытый, 25, 134 Лагранжиан, 173 Лемма Абели, 247 — о канторовской диагональной конструкции, 48 — — локальном диффеоморфизме, 121 Лемниската Бернулли, 204 Мажоранта функциональной последовательности, 402 Матрица Гессе функции в точке, 190 — диагональная, 182, 192 — единичная, 182 — кососимметрическая, 167 — линейного отображения, 26 — невырожденнал, 191 — ортогональнак, 166 — порядка и единичная, 166 — — — симметрическая, 163 — симметрическая, 192 — транспонированная, 166 — треугольная верхняя, 184 — — нижняя, 185 — Якоби, 111, 120, 140 Метод Лапласа построения асимптотических представлений, 412 — множителей Лагранжа, 173 — последовательных приближений, 92 — — —, оценка сходимости, 97 Метрика, 16 —, аксиома точности, 17 —, аксиомы, 16 †, неравенство треугольника, 17 Метрика нормированного векторного пространства естественнал, 36 —, порожденная нормой пространства, 23 †, симметричность метрики, 17 Многообразие класса С', допустимая локальная параметризация, 147 — 1-мерное класса С", 146, 169 — и-мерное с краем, 162 — элементарное, допустимая параметризация, 146 Множество базисноеотносительно оценочной функции, 29 — в метрическом пространстве замкнутое, 41 — — — — открытое, 41 —, дискриминантное для полиномов четвертой степени, 205 — компактное, лемма о непрерывном образе, 43 — кососимметрических матриц порядка и (подпространство щзз) — метрического пространства компактное, 43 — — — предкомпактное, 43 — ортогональных матриц порядка и, 166 —, открытое относительно Е, 146 —, протюкенное относительно оценочной функции, 29 — симметрических квадратных матриц порядка н, 184 — топологического пространства открытое, 66 — уровня функции, 201 Я(и, е)-множество, 268 Мсдуль непрерывности отображения, 44 Мультииндекс п-мерный, 144 Непрерывность отображения в точке, 75 Неравенство Коши — Буняковского, 23 — ломаной, 17 Неравенство четырехугольника, 17 Норма, 22 —, аксиомы, 22 — вектора, 22 — евклидова, 23 — линейного отображения, 26 — матрицы операторная, 27 — функции равномерная, 317 Область й-мерцал стандартная, 143, 152 — и-мерная класса С", 148 — схсдимости степенного ряда, 354 Объединение множеств, 256 Овал Кассини, 200 Окрестность точки в множестве, 146 Отображение аффннное, 102, 111 — —, линейная часть, 102 векторного пространства линейное, 25 класса 1(д), 98 линейное, 26 — ограниченное, 26 †, собственное значение (характеристическое число), 177 —, собственный вектор, 177 метрических пространств непрерывное, 34 невырожденное, 154 произвольного множества в Из класса С", 144 пространства изометрическое, 113 — И" аффинное, 111 сжимающее, 94 Парабола, 206 Перестановка множества Х, 267 — ряда, 267 Плоскость й-мерная, 158 Поверхность второго порядка, 163, 165 — координатная, 115 — л-мерная координатная, 110 Подпоследовательность последовательности, 47 436 Подпространство метрического пространства, 20 — топологического пространства, 67 Покрытие множества, 45 — — открытое, 46 Полипом Тейлора порядка 2, 191 — — — п функции одной переменной, 358 — тригонометрический степени не выше и, 425 Полуинтервал, внутренность, 143 —, краевые точки, 143 —, край, 143 — Й-мерный, 143 Последовательность двойная, 277, 278 — пз-кратная, 279 — точек множества фундаментальная, 59 — фундаментальная, 35 — частичных сумм функционального ряда, 338 — частных сумм ряда, 221 — чисел Фибоначчи, 305 — членов ряда, 221 Правило дифференцирования сложной функции, 393 — интегрирования неравенства, 381 — Лейбницадифференцирования интеграла, зависящего от параметра, 389 Предел, 28 — отображения, 34 — — со значениями в метрическом пространстве, 32 — функции, 28 — — повторный, 328 — Дх) при Л(х) - р, 28 Представление отображения в системе координат, 125 Преобразование аффинное, 111 Признак Вейерштрасса равномерной сходимости, 371 — Даламбера сходимости ряда, 355 — Дирихле сходимости числового ряда, 248 Признак Ермакова сходимости, 309 — Коши — Больцаио существования предела, 36 — Лейбница сходимости ряда, 299 — равномерной сходимости интеграла мажорантный, 402 — сходимости ряда необходимый, 222 — условного экстремума функции, 170 Признаки сравнения интегрируемости функций, 380 Принцип математической индукции, 118 — сжимающих отображений, 95 Прогрессия геометрическая, 227 — —, знаменатель, 227 Произведение бесконечное, 280 — — расходящееся, 281 — — с комплексными сомножителями, 285 — — сходящееся, 281 — †, частичное произведение, 280 — векторов скалярное, 23 Пространства гомеоморфные (топологически эквивалентные), 80 — метрические, декартово произведение, 18 — —, изометрические преобразования, 18 — —, изометрия, 17 Пространство банахово, 36 — векторное, 20 — — нормированное, 22 — — — полное, 36 — — ограниченных функций на множестве, 319 — метрическое, 16 — — полное, 35 со счетной базой, 69 топологическое, 60, 66 †, аксиома отделимости, 78 †, компактное множество, 85 †,непрерывное отображение, 76 †, окрестностьточки, 74 437 Пространство топопогическое отделимое (хаусдорфово), 78 — —, предел отображения, 78 Прямоугольник пространства аь" координатный, 24 — п-мерный, 24 Радиус сходимости степенного ряда, 355 Размерность пространства квадратичных матриц порядка о, 167 Ранг матрицы Якоби, 140 — отображения, 125 — — в точке, 122 — системы векторов, 124 — — функций, 125 — — — в точке, 123 Расстояние между точками, 16 — точки полярное, 114 Расхоцимость интегралов, 382 Ряд абсолютно сходящийся, 230 —, вторая теорема сравнения дпя рядов, 237 — двойной, 277 —, коммутативно сходящийся, 267 — кратный, 277 — пз-кратный, 278 — пз-кратный сходящийся, 279 —, остаток, 223 †,оценки остаточного члена, 244 —, первая теорема сравнения для чисповых рядов, 235 —, признак Коши — Больцано сходимости ряда, 229 —, признак Лейбница сходимости, 249 †,признак Раабе сходимости, 246 — расходящийся, 222 — с неотрицательными членами, условие сходимости, 233 — со значениями в векторном пространстве, 221 — сходящийся, 221 — Тейлора, 358 — функциональный,мажоранта, 340 Ряд функциональный, признак Абеля равномерной сходимости, 344 — †, признак Лирихле равномерной сходимости, 341 — —, сходящийся равномерно на множестве, 339 — числовой вещественный, 221 Свойство локальности цредела, 31 Сегмент о-мерный, 24 Символ Кронекера, 112 Система векторов оргонормальная, 112 — координат аффиннвл, 111 — — —, базисные векторы, 112 — — в К" естественнал, 109 — в п-мерном евклидовом пространстве, декартова ортогональная, 112 — криволинейная, 101 —, область определения, 109 — попярная, 113 — —, область определения, 114 — сферическая, 117 — —, область значений, 117 — —, область опредепения, 117 — цилиндрическая, 115 — —, область значений, 116, 109 уравнений и неравенство, 159 функций, функциональна зависимая в окрестности точки, 136 — —, функционально независимая в окрестности точки, 137 Сомножители бесконечного произведения, 280 Соответствие биективное, 167 Сумма двойного ряда, 277 — ряда, 221 — †,линейность, 225 — †, снойство ассоциативности, 233 — — частная с номером о, 221 — пз-кратного ряда частная, 279 — функции по множеству, 253 438 Суммируемость функции по множеству, 256 Суперпозиция отображений, 126 Сходимооть семейства функций поточечная, 321 — — — равномерная, 322 — у(х,Г) к ~р(х), равномерная при д(я) -~ д, Л(з) р, 328 е-сеть множества в метрическом пространстве, 46 Те орема Абеля для степенных рядов вторая, 366 — первая, 369 Вореля, 45 — об открытом покрытии компактного множества, 56 Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях, 43 — — приближении попиномами дпя функций одной переменной классическая, 424 — — — функций многих переменных, 424 Гейне о равномерной непрерывности, 44 — об определении предела, 400 Лагранжа о среднем значении, 390 Лапласа об асимптотической оценке интеграла, 412 Лебега, 45 — об открытом покрытии компактного множества, 55 Морса, 181 о выпрямлении вторая, 129 — — первая, 127 — дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, 395 — дифференцируемости суперпозиции, 105 — зыкатой переменной, 30 — замене переменной под знаком предела, 368 — локальной обратимости отображения, 103 Теоремао монотонной последовательности интегрируемых функций, 403 — — неявных функциях, 120, 137 — — предельном переходе в неравенстве, 30, ЗЗ вЂ” — произведении рядов, 370 — — равенстве повторных пределов, 401 — — ранге, 139 — — среднем значении вторая, 384 — об алгебраических операциях над пределами, 31 — — ассоциативности суммирования, 375 — — — — или теорема о суммировании пачками, 270 — — интегральном признаке Коши сходимости и расходимости ряда, 242 — — обратной функции абстрактная, 100 — — эквивалентности предела в смысле Коши н в смысле Гейне, 29 — Римана, 269 — сравнения первая, 283 — Стоуна — Вейерштрасса, 424 — Стоуна — Вейерштрасса о приближении функций, 420 — Хаусдорфа, 49 Теоремы о замене переменной под знаком предела, 34 Тождества Моргана, 40 Тождество Абеля, 247 Топология на множестве Х, 66 Точка, 16 — максимума функции, 169 — метрического пространства предельная, 34 — минимума функции, 169 — многообразия краевая, 149 — множества предельная, 80 — отображения неподвижная, 92 — функции критическая невырожценная, 190 Точка функции критическая (стационарная), 190 — экстремума функции, 173 Угол точки полярный, 113, 114 Уравнение матричное, 166 Условие невырожденности отображения, 172 — связности множества, 148 Форма квадратичная, закон инерции, 184 — †,каноническое представление, 184 Формула Валлисе, 288, 411 — Лирихле треугольная, 395, 408, 409 для суммы членов конечной геометрической прогрессии, 227 Коши — Адамара, 355 Стирлинга асимптотнческого поведения функции Г(я) при х -~ со, 412 — для приближенного вычисления Г(я + 1) при больших значениях аргумента, 417 Тейпора, 358 — порядка 2, 191 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, 414 Функция дробно-линейная, 293 — отрезка аддитивная, 403 — оценочная, 28 — — на множестве, 29 — предельная неограниченная, 322 — с предельным значением оценочная, 27 †,суммируемая по множеству, 253, 265 — сходимости к точке оценочная, ЗЗ Число Лебега покрытия множества, 55 Члены двойной последовательности, 277 — пз-кратного ряда, 279 Шар, 19, 41 — замкнутый, 19 — открытый, 19 Эквивалентность норм, 27 Элемент матрицы диагональный, 182 Якобиан отображения, 102, 115, 116, 140 Учебное издание Решетняк 1Орий Григорьевич КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Часть П, книга 1 Ответственный редактор Водопьянов Сергей Константинович Издание подготовлено с использованием макропакета Аф~Б-ТЕХ, разработанного Американским математическим обществом.
ТЬ1в рцЬНсайоп зчвя 1уреве1 цв1п8 Аф~Б-ТЕХ, 4Ье Аглег1сап Ма1Ьетаг1са! Бос1е1у'в ТБХ гпасго зув1ещ. Подписано в печать 31.10.2000. Формат 70х100 1/16. Печать офсетная. Уел. печ, л. 37,75. Уч.-изд. л. 30,7. Попечатка тиража 500 экз. Заказ ге358. Лицензия ЛР М 065614 от 8 января 1998 г. Издательство Института математики пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 Отпечатано в ГУП РПО СО РАСХН пос. Краснообск Новосибирской обл. 630501 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
