1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Пусть выполнены все условия леммы. Зададим произвольное > 0 и найдем по нему)1 Е [а,Ь) такое, что если б < Ь' < Ь, то выполняется неравенство ь | Дх,у)Их < —. (5.12) Так как,д„ - Ь при и — оо, то найдется номер Р Е М такой, что при всяком и > Р выполняется неравенство р" < ~3„. При каждом и имеем ° Лемма 5.1. Предположим, что интеграл (5.10) равномерно сходится в точке 6 при у Е (с, И). Пусть (Д„)„ен есть числовая последовательность такая, что при каждом и выполняются неравенства а < 11„< Ь и Ь = 1пп ~3„. Для д Е (с,И) положим 398 Гл. 12.
Функциональные ряды н интегралы Полагая в неравенстве (5.11) Ь' = б„, где и > й, получим, что для всякого и > й для всех у Е (с, И) выполняется неравенство [Г(у) - Г.(у)! < —. 2 Отсюда следует, что для любого и > й [[à — Г.[[ь И,яЛ = апр [Г(у) — Г.(у)! « — е. яе(~д) Так как для достижения последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы номер и удовлетворял условию и > и, а е > 0 было произвольно, то из доказанного следует, что [[Г Г~![ь при и оо.
Тем самым установлено, что функции Г„равномерно сходятся к функции Г на промежутке (с, И). Лемма доказана. ° ° Теорема 5.5. Пусть функция Дх, у) определена для всех х Е [а, Ь) и у Е (с, Н) и непрерывна на прямоугольнике [а, Ь) х (с, И), причем ин- теграл ь | У(х, у) Нх = Г(у) а (5.13) Г„(у) = 1"(х, у) Ых, а непрерывна на промежутке (с, И). Согласно лемме 5.1 функции Г„равномерно сходятся к функции Г на промежутке (с, Н). В силу теоремы 1.6 отсюда вытекает, что также и функция Г непрерывна на этом промежутке.
Теорема доказана. ° определен н конечен дпя всех у б (с, И). Тогда если этот интеграл сходится равномерно в точке Ь прн у Е (с, И), то функция Г(у), задаваемая равенством (5.10), непрерывна на промежутке (с, Н). Доказательство. Пусть (13„)„ен есть произвольная последовательность такая, что а < 11„ < Ь прй каждом и Е Х и ~3 — Ь при и -~ оо. Для всякого и Е М функция | непрерывна на прямоугольнике [а„д„] х (с, Ы). Отсюда в силу следствия 1 теоремы 5.1 вытекает, что функция Г„, определенная равенством з 5.
Функции, представимые интегралами 399 ° Теорема 5.В. Предположим, что функция з(х,у), заданная на прямоугольнике Р = [а,6) х (с,Н), где а конечно, непрерывна и такова, что хотя бы для одного у Е (с, Н) интеграл ь ((х, у) Нх а (5.14) определен и конечен. Если для всякой точки (х, у) Е Р определена дУ частная произвольная — (х,д), причем эта производная непрерывна ду ь Гд~ на прямоугольнике Р, и для встгого у Е (с, И) интеграл / — (х, у) Их ,/ ду О определен и конечен и сходится равномерно в точке Ь, то интеграл (5.14) определен и конечен для всех у Е (с, И), функция Г, определенная равенством Г(у) = ) 1(х, у) Их, дифференцируема в промежутке (с, и), и для Ф всякого у Е (с, Н) справедливо соотношение Г (у) = /' — (х,.) ~*.
1 дУ ду а Доказательство. Пусть (6„)„ен есть последовательность точек промежутка [а,Ь) такая, что при каждом и выполняются неравенства а < Ь„< Ь и Ь„- 6 при и оо. Для произвольного у Е (с,а) положим Г.(д) = Ях, д) ~1х, Ф,(д) = / †(х, у) 1д. Г дУ дд (5.15) 1пп Г„(у) = Г(у). Применим теорему 5.2, полагая в ней [а, Ц = [а, 6„]. Получим, что при каждом у Е (с, Н) функция Г„(у) дифференцируема в промежутке (с,И), причем Г„'(у) = Ф„(у) для всех у Е (с,Н).
Согласно лемме 5.1 последовательность функций (Ф„)„ен равномерно сходится к функции Ф на промежутке (с, Ы). В силу условия теоремы существует значение уо Е (с, И), для которого интеграл (5.14) конечен. Для этого у = до последовательность (Г„(до))„еи, очевидно, имеет конечный предел. В силу теоремы 2.4 настоящей главы отсюда следует, что для всякого у Е (с, о) существует предел 400 Гл.
12. Функциональные ряды и интегралы Определенная таким образом функция Г согласно теореме 2.4 дифференцируема для всех у б (с, И), причем Г'(у) = Ф(у) всюду на промежутке (с, И). Последовательность (Ь„)„ен точек промежутка (а, Ь), сходящаяся к точке Ь, была выбрана произвольно. Таким образом, мы получаем, что для всякой такой последовательности для любого у Е (с, И) существует конечный предел (5.15).
На основании теоремы Гейне об определении предела через понятие предела последовательности отсюда вытекает, что при каждом у Е (с, Л) существует конечный предел йщ Дх, у) Нх = Р(у) а н, стало быть, при каждом у Е (с, Ы) функция 11х,у) интегрируема относительно х по промежутку [а, Ь]. Теорема доказана. ° ° Теорема 5.Т. Пусть (1„)„ен есть последовательность функций, определенных и непрерывных на замкнутом слева промежутке [а,Ь) и интегрируемых на замкнутом промежутке [а, Ь].
Предположим, что для всякого х Е [а, Ь) сутцествует конечный предел Бт Ях) = 1(х). и со Тогда если ~„=З | на всяком промежутке [а,Я] С [о, Ь) н интеграл ь 1 |„(х) Нх сходится равномерно в точке Ь при и -+ оо, то предельная а функция 1 также интегрируема на промежутке [а, Ь], причем Доказательство. Лля г Е [а, Ь) положим г„(г) = 1 У„(х) Нх.
Из а условия теоремы следует, что функция 1 непрерывна на всяком промежутке [а, г], где а < з < Ь. Отсюда вытекает, что она интегрируема на каждом промежутке [а, з], где а < з < Ь, и, следовательно, для любого з Е (а, Ь) определена величина Г(г) = 1 Дх) Ых. В силу теоремы 2.3 Г„(з) -+ Г(г) при и -+ оо для всех з Е (а,Ь). Лля каждого и Е 1з существует конечный предел 401 з 5. Функция, представимые интегралами При этом согласно условию теоремы для всякого е > 0 можно указать К < оо и 13 Е (а, Ь) такие, что если и > К, то для любого г Е (13,Ь) выполняется неравенство ь ~„(х) Нх Теперь воспользуемся результатом теоремы 1.3 о равенстве повщорных пределов.
Имеем функцию Г„(г) переменных г Е [а, 6) и и Е Я. При всяком г Е [а, 6) существует конечный предел йщ Г„(г) = Г(х), и при всяком и Е г( существует конечный предел йщ Г„(е) = Г„(Ь), причем Г„(х) стремится к Г„(6) равномерно при и — оо и г -+ Ь. На основании теоремы 1.3 отсюда следует, что существуют конечные пределы 1пп Г(я) и 1пп Г„(6), (5.16) м и ОО причем эти пределы совпадают.
Существование и конечность первого из пределов (5.16) означает, что функция 1 интегрируема по промежутку [а, Ь]. (Указанный предел равен интегралу функции 1 по промежутку [а, Ь].) Совпадение пределов (5.16) означает, что ь ь | 1(х)Нх = 1пп Ях)дх. а а Теорема доказана. ° Для применения доказанных теорем 5.5, 5.6 и 5.7 необходимо указать по возможности простые критерии равномерной сходимости интеграла относительно параметра у.
Такие критерии можно получить некоторой модификацией критериев сходимости интеграла, доказанных в З4 этой главы. В Предложение 5.1. Пусть дана функция Дх, у), определенная для всех х Е [а, 6) ну Е (с, Н) и непрерывная на прямоугольнике [а, 6) х (с, Н) на плоскости К~, где а конечно. Предположим, что существует функция у: [11, 6) — Е, где 13 Е [а, 6), интегрируемая ло промежутку [13, 6] и такал, что для всех х Е [8,6] для любого у Е (с, Н) выполняется ь неравенство ]Д(х, у)] < у(х).
Тогда интеграл ) у(х,у) е1х сходится рава номерно в точке Ь лри у е (с,Н), Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 402 3 а м е ч а н и е. Признак равномерной сходимости интеграла, устанавливаемый данным предлежением, будем называть мазкврантиым признаком равномерной сходимости и говорить, что функция у является мажорантой семейства функций Щх, у))„е1, л1 вблизи точки 6.
Доказательство. Предположим, что функции ь'(х, у) и ~р удовлетворяют всем указанным условиям. Тогда функция х ~ Дх,у) интегрируема по промежутку [а, Ь]. Зададим произвольно е > О. По нему найдется '~ б [д, 6) такое, что для всякого 6' Е ('7, 6) выполняется неравенство ь В силу известных свойств интеграла (см.
главу 7) отсюда вытекает, что для любого у Е (с, Н) ь | г(х,у) Их < ф(х) дх < е. ь Так как е > 0 было взято произвольно и для выполнения последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы Ь' принадлежало промежутку (7,6), то тем самым предложение доказано. ь 3 а м е ч а н и е. Признак равномерной сходимости интеграла, который содержится в данном предложении, называется махсорантным признаком равномерной сходимости интеерала. Функция ф называется мажорантой функциональной последовательности (~„)„ен.
Предложение 5.2 доказывается рассуждениями, почти дословно повторяющими доказательство предложения 5.1. Предоставляем читателю доказать его самостоятельно. Ь ь Предложение 5.2, Пусть (|'„)„ен есть произвольная последовательность функций, определенных и непрерывных на промежутке [а, 6), интегрируемых на промежутке [а, 6]. Предположим, что существуют число ь1 Е [а,Ь), функция ~р: [~9,6) — К, интегрируемая на промежутке [11, 6], н число К < оо такое, что для любого и > К для всех х Е [13,6) ь выполняется неравенство [|„(х)[ < р(х).
Тогда интеграл 1' У„(х)дх сходится равномерно в точке 6 прн и — ~ оо. 403 з 5. Функции, представимые интегралами 5.4. ТЕОРЕМА О МОНОТОННОЙ ПОСЛЕ ОВАТЕЛЬНОСТИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНК Ий ° Теорема 6.8 (теорема о монотонной последовательности интегрируемых функций). Пусть (У„) „ен есть произвольная убывающая последовательность функций, определенных на отрезке [а, Ь] С К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
