1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 74
Текст из файла (страница 74)
12. Функциональные ряды н интегралы Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Зададим произвольно значение го Е (с, И). Введем вспомогательную функцию д(х, ь), полагая г(х, ь) — г"(х, Хо) при 1~1о, д(х, ь) = (5.5) †(х,ьо) д~ дь при ь' = го. Докажем, что функция д непрерывна на множестве Р = (а, Ь! х (с, Н). Если 1 ф ьо, то непрерывность функции д в точке (х, ь') очевидным образом следует из того, что, по условию, функция ~ непрерывна на прямоугольнике Р.
По тпеореме Лаеранжа о среднем значении (глава 4) имеем д(х ь) = = — (х "о+д(ь — ьо)! У(х 1) — У(х,8о) дУ ь — ьо дь где О < д < 1. Пусть (х„)„еи и (1„)„еи есть произвольные последовательности точек такие, что х„Е (а,Ь), г Е (с,И) для всех и и х„- -+ хо Е (а, Ь), а ̄— ' ьо Е (с, д) при и -~ оо. При любом и имеем д(х~>ьч) = †(ха,го + да(ьа — ьо)!. дУ При и — оо имеем 1„— 1о О и, следовательно, ьо+д„(1„-1о) -~ 1о.
Так дУ как, по условию, функция — непрерывна, то из доказанного вытекает, [х ьо + д (1ч ьо)! + (хо Го! при и -+ оо, т. е. д(х„,ь„) — д(хо, Хо) при и — + оо. Тем самым непрерывность функции д в точке (хо,ьо) установлена, каково бы ни было хо Е (а,Ь!. В силу теоремы 5.1 из доказанного вытекает, что функция 0($) = ь = ! д(х, ь) Их непрерывна в точке Мо и, значит, 0(Мо) = 1пп 0(М).
а ьо При1~1о имеем ь ь 6(1) = — / 1'(х, 1) Их — / Ях, го) Их 1 г Г Р(г) — Г(го) а е С(ьо) = / — (х,го). Г д,)' / д~ а $ 5. Функции, представимые интегралами Сопоставляя полученные результаты, получаем, что 391 ь | — (х>ьо) = йпь дг Г(ь) — Г(го) = Г (ьо). дь Г(и) = Г(х, и) дх. а дГ Тогда функция Г имеет в У частную производную —. При этом имеет ди место равенство ь — (и) = / — (х,и) Их. дГ г дГ ди; ь' ди; а (5.0) дГ Производная — непрерывна на множестве У. ди; Доказательство.
Зададим произвольно точку ио Е У. Так как У есть открытое множество, то найдется 6 > 0 такое, что шар В(ио,6) С У. Зля произвольного х Е [а,Ь] и ь Е ( — 6,6) положим у(х, ь) = Г(х, ио + ье;). Функция <р, очевидно, непрерывна на множестве [а, Ь] х (-6,6) и ар аг имеет частную производную — (х,Ь) = — (х,ио+ Ье;). Эта произдь ' ди; водная, как очевидно, непрерывна на множестве [а, Ь] х (-6, 6). В силу ь теоремы 5.2 отсюда следует, что функция Ф(г) = | ~р(х, ь) Их имеет проа изводную для всех ь Е ( — 6,6). В частности, существует производная Ф'(0). При этом Ф'(0) = / — (х,О)Их.
гач дь' а Так как точка ьо Е (с, И) была выбрана произвольно, то тем самым,установлено, что функция Г дифференцируема в интервале (с, а), причем для всякого Ь Е (с,Ы) выполняется равенство (5.4). Теорема доказана. ° я Следствие 1, Пусть даны промежуток [а, Ь] множества К и открытое множество У пространства К". Предположим, что функция Г: (х, и) Е [а, Ь] х У ~ Г(х, и) имеет в У непрерывную частную произ- дГ водную — для некоторого ь' такого, что 1 < ь < п. Пусть Г(и) есть ди; функция в области У, определенная равенством 392 Гл. 12.
Функциональные ряды и интегралы Заметим, что Ф(Г) = Г(ио+1е'), Ф'(О) = — (ио), — (т,О) = — (т,ио). дГ ду д~ ди; ' д1 ' ди; В силу доказанного мы получаем, что искомая частная производная функции Г существует. При этом выполняется равенство (5.4). дГ Следствие теоремы 5.1 позволяет заключить, что производная — неди; прерывна на множестве У.
Следствие 1 доказано. %' Следствие 2. Пусть ~ есть функция переменных т ЕИ и 1 ЕК, определенны н непрерывная на прямоугольнике Р = [а, Ь] х (с, а). Предположим, что для всякого т Е [а, Ь] и любого Г Е (с, а) определена частд,г' ная производная — (т, Г), причем эта производны непрерывна на множестве Р. Для и Е [а, 6], и Е [а, 6] и 1 Е (с, а) положим Ф(и, и, 1) = г"(т,1) ат. в Определенны так функция Ф на множестве К = [а, б] х [а, Ь] х (с,а) имеет частные производные по каждой из переменных 1, и и о в каждой точке множества Л. При этом дФ дФ дФ (дУ вЂ” = — г"(и,Г), — = г"(о,г), и — = / — (х,г) ах. ди ' ' до ' ' д~ ./ д1 в Доказательство.
Для произвольного ~ Е [а, Ь] положим Г(~, Г) = 1'(т, 1) г*. а Согласно определению интеграла функция Г~. с ~ Г(~,г) дифференцируема в основном в промежутке [а, Ь]. При этом ГЯ) = Я,г). Так как функция Г(С,1) — как функция переменной ~ — непрерывна на промежутке [а, 6], то функция Г дифференцируема в каждой точке промежутка [а, Ь]. При этом ГЯ) = г'(~, г) для всякого С Е [а, Ь] и любого й Е (с,И). Имеем Ф(г, и, е) = Г(о, г) — Г(и, ~). Отсюда вытекает существование частных производных функции Ф по переменным и и о, так же как з 5. Функции, представимые интегралами 393 и указанные в формулировке следствия выражения для этих частных производных. Выражение для частной производной Ф по переменной 1 получается непосредственным применением формулы (5.4) теоремы 5.2.
Следствие 2 доказано. Следствие 3. Пусть в условиях теоремы 5.2 заданы функции и: (с,а) — ~ К и о: (с,а) — К, дифференцируемые в каждой точке ! Е (с,а) и такие, что а < и(!) < 6 и а < о(!) < Ь для всех !' Е (с, а). Положим е(!) Н(!) = г'(х, ~) с~х. Определенная так функция Н дифференцируема в каждой точке ! Е (с, а) и ее производная выражается равенством е(!) Н'Я = о'(м)~[о(х), й] — и'(й)~[и(Х), г] — — (х, Х) йх. а(!) Доказательство.
Имеем Н(й) = Ф[Х, и(М), о(8)]. В силу следствия 2 теоремы 5.2 функция Ф имеет частные производные по переменными, ни о в каждой точке(1,и,о) Е (с,а) х(а,Ь) х(а,Ь). Из выражений для этих производных, установленных следствием 2, следует, что они непрерывны на открытом параллелепипеде Ъ' = (с,а) х (а,6) х (а,Ь).
Это позволяет заключить, что функция Ф дифференцируема в каждой точке (1,и,о) Е $~. В силу известного правила дифференцирования сложной функции (см. главу 7) имеет место равенство Н'(!) = — [г, и(!), и(!)] + — [1, и(!), о(!)]и'(!) + — [г, и(!), и(!)]о'(!). дФ дФ дФ Подставляя в это равенство выражения для частных производных функции Ф, установленные следствием 2 теоремы 5.2, получим требуемый результат. Следствие 3 доказано.
° Теорема 3.3, Пусть ): [а, 6] х [с, а] — К есть непрерывная функция. Для х Е [а, 6] и 1 Е [с, а] положим р(х) = ЯхДаг, !ЬЯ = ЯхДйх. 394 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы ф(ь) й = у(х) Их. Яоказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Непрерывность функций у и ф следует из теоремы 5.1. Положим Г(х,1) = Дх,и) ь1и. с Из теоремы 5.1, очевидно, следует, что функция Г непрерывна на множестве [а, Ь] х [с, И]. Отметим, что Г(х,с) = 0 и Г(х,д) = ~р(х). (5.7) Положим ф(Ь) = Г(х, 1) ~Ь. а В каждой точке (х,1) е [а,Ь] х (с, Ы) функция Г имеет частную дГ производную — = 1(х, 1). Согласно условию теоремы эта производная д1 непрерывна на множестве [а,Ь] х (с,Н). В силу теоремы 5.2 отсюда вытекает, что функция Ф дифференцируема в каждой точке интервала (с, И). При'этом Ф'(1) = / — (х,1) Их = Дх,1) Нх = ф(1).
Г дГ д1 (5.8) В силу теоремы 5.1 функция й непрерывна на промежутке [с,Ы]. Из равенства (5.8) следует, что Ф'(1) = ф(1) в каждой точке 1 Е (с, И). Функция й, таким образом, является первообразной функции ф на промежутке[с,И],и, следовательно, Определенные так функции ~р и ф непрерывны. При этом имеют место равенства я ь 395 з 5. Функции, представимые интегралами П инимая во внимание равенства (5.7), отсюда заключаем, что рини И ь | ф(ь) а' ь= у(х) ах.
Теорема доказана. ° В ве ем некото ое полезное п авила п еоб азования интег алов ы (применения которого даются ниже в п. 5.5). ° Теорема 5.4 (о треугольной формуле Дирихле). Пусть |': [а, Ь] х х [а, б) — К есть непрерывнал функция. Тогда функции ь У х ь" (х,у) ау, у ~ г(х у) ах непрерывны в промежутке [а, Ь). При этом имеет место равенство ь ь | ь з Х(х, у) Иу Йх = ~(х, у) 6х Ну. (5.9) е а а (Равенство (5.9) часто именуют треуеольной 4орльулой Дирихле.) Доказательство.
Для х,г Е [а,б] положим Х д(х,з) = 7'(х,у)ау. х Функция д, определенная этим равенством, непрерывна и имеет частную производную — (х, г) = Дх, г). од дх Положим х г Х г'(г) = 7(х,у)ау ах = д(х,г)ах. В й Применяя теорему о ди4Яеренцировании интегр ла, зависяиьеео от параметра (см. выше теорему 5.1), все условия которой здесь, очевидно, выполняются, получим л я .г'(г) = д(г,я)+ / — (х,г)ах = 7"(х,г)ах. Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 390 (Мы воспользовались здесь тем, что д(я,г) = 0.) Заменяя в последнем равенстве з на у, получим 3 г' (у) = Дх,у) Ыв. а Так как, очевидно, г'(а) = О, то из доказанного следует, что Ь Ь з ЦЬ) = Р(6) — Р(а) = Р'(у) Ну = ~(х,у) Нх Ну.
а а а Принимая во внимание выражение для г'(6), отсюда заключаем, что равенство (5.9) верно. Теорема доказана. ° 5.3. 1 ЕОРЕМЫ О ИФФЕРЕН ИРОВАНИИ И ИНТЕГРИРОВАНИИ ФУНК Ий НРЕ СТАВИ ЫХ НЕСОБСТВЕННЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ Пусть Дх, у) есть функция, определенная для всех х Е [а, Ь) и р Е е (с, Н) и непрерывная на прямоугольнике Р = [о, 6) х (с, Н) на плоскости Кз. Будем считать, что — оо < а < оо. Область изменения переменной х есть замкнутый слева промежуток [а,6), где а конечно. В то же время область изменения у есть открытый промежуток (с, ьь). Предположим, что при каждом у е (с, ьь) функция т + Дх, д) интегрируема на замкнутом промежутке [а, 61.
Говорят, что интеграл Ь | Дт,у) ьь а (5.10) Ь | Дт,у)Нт < е. Пусть (~„)„ен есть последовательность функций, определенных и непрерывных на промежутке [а, 6) множества К. Предположим, что сходится равномерно в точке Ь для у Е (с, Н), если выполнено следующее условие: каково бы ни было е ) О, по нему найдется р е [а, Ь) такое, что для любого Ь' Е ( 9, Ь) выполняется неравенство з 5.
Функции, представимые интегралами 397 при каждом и Е М функция |„интегрируема по промежутку [а, Ь]. Бу- дем говорить, что интеграл ь | У„(х) Ых а (5. 11) равномерно сходится в точке 6 при и — оо, если для всякого е > 0 можно найти К < оо и р Е [а, 6) такие, что для любого и > К и любого Ь' Е (,9, 6) выполняется неравенство ь | 1„(х) Их < е. Г(у) = |(х, у) Йх, Г„(у) = Дх, у) Йх. а а Тогда при и — ~ со функции Г„равномерно сходятся к функции Г на промежутке (с, Н). Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
