1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Тогда если каждая из функций („интегрируема на промежутке [а, Ь] и Г„(х) — 0 при и — оо в [и, Ь] в основном, то Ь | ~„(х) юг — 0 при р -+ оо. ,Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Обозначим через Г„аддитивную функцию отрезка, определенную в [а, Ь] равенством Г„(Ь) = |'„(х) ~Ь а для Ь = [а, Я С [а, Ь].
Из условий теоремы следует, что функции у„все неотрицательны. Это позволяет заключить, что Г„(Ь) > 0 для любого отрезка Ь С [а, Ь] при всех Р б ьз. Так как последовательность функций У„)„ен убывающая, то для ~~~~~~~ сь ~~~л~д~~~~~~~~~~~~ (Г„(Ь))„ен также является убывающей и, следовательно, для всякого отрезка Ь существует предел 1пп Г„(ьз) = Г(Ь). Так как Г,(гь) > 0 при всех Р— ~ СО и Е Х, то также и Г(Ь) > О. В промежутке [а,Ь], таким образом, определена некоторая функция отрезка Г. Теорема будет доказана, если мы установим, что эта функция отрезка тождественно равна нулю. Для этой цели последовательно исследуем свойства функции Г. Сначала покажем, что Г есть аддитивнал функция отрезка.
Пусть Ьь и йьз — Два пРоизвольных отРезка, соДеРжаЩихсЯ в [а, Ь] и имеющих только одну общую точку. Это означает, что либо Ь1 есть отрезок [а,~9], а Ь| — отрезок [~3, у], либо наоборот: Ьь = [А7], Ьз — — [а,Д]. Пусть Ь = Ьь 0 Ьз. Множество Ь есть отрезок, и при каждом и е Х имеем Г„(Аь) = Г„(ЬЬ) + Г„(Ьз). Переходя в этом равенстве к пределу, полУчим Г(Ь) = Г(Ьь)+Г(Ьз).
Так как отРезки Ьь и ььз в остальном были взяты произвольно, то тем самым доказано, что Г есть аддитивная функция отрезка. При каждом и для любого отрезка Ь С [а, Ь] выполняются неравенства 0 < Г(Ь) < Г„(Ь). Аддитивная функция отрезка Г„непрерывна. Гл. 12. Функциональные ряды н интегралы Отсюда в силу критерия непрерывности аддитивной функции отрезка вытекает, что построенная функция отрезка Г также является таковой.
Докажем, что плотность аддитивной функции отрезка Г в основном равна нулю. Пусть Мо есть не более чем счетное множество, состоящее из всех точек х Е [а, Ь], для которых соотношение 1пп Ях) = О не имеет места. Далее, пусть М„есть множество всех точек х б (а, Ь), для которых плотность аддитивной функции отрезка Г„либо не существует, либо существует, но отлична от Ях). Множество М„не более чем счетно. Положим Е=ЦМ„. =о Множество Е не более чем счетно.
Возьмем произвольно точку х б (а, Ь) ~ Е. Тогда х ~ Мо и, значит, Ях) — О при и -+ оо. Зададим е произвольно е > О. По нему найдется номер ио такой, что г„(х) < —. Точка х не принадлежит множеству М„„и, следовательно, аддитивная е функция отрезка Г„, имеет в точке х плотность, равную г„,(х) < —. 2 Значит, найдется 6 > О такое, что для всякого отрезка Ь, содержащего точку х и такого, что длина его 1(Ь) < 6, выполняется неравенство < био(х)+ — <' Так как для любого отрезка ьз С [а, Ь] верны неравенства Г(б,) < < Г„,(ьз), то отсюда следует, что для всякого отрезка, содержащего точку х и такого, что 1(Ь) < 6, выполняются неравенства Π— « е. Г(Ь) Цгз) В силу произвольности е > О этим доказано, что плотность аддитивной функции отрезка Г в точке х равна нулю.
Точка х ф Е была выбрана произвольно. Мы, следовательно, получаем, что 1Щх) = О в основном. Отсюда, как было показано ранее, вытекает, что функция отрезка Г тождественно равна нулю. В частности, мы получаем, что Г([а, Ь]) = Вт Ях) Нх = О. Я Теорема доказана. ° 405 з 5.
Функции, лредставимые интегралами 5.5. ЭйЛЕРОНЫ ИНТЕГРАЛЫ Пусть даны числа х > 0 и д > О. Полагаем В(х,д) = 1* '(1 — ~)" 'й. о (5.17) Для произвольного х > 0 положим Г(х) = 1* 1е 'а1. о (5.18) 1. Для любых х > 0 и у > 0 имеет место равенство (5.19) В(х,у) = В(у,х). Справедливость данного равенства легко устанавливается заменой переменной в интеграле (5.17) по формуле 1 — $ = и. 2. Для любых х > 0 и у > 0 имеют место равенства В(х+ 1,у) = — В(х, у), В(х, у+ 1) = В(с, у). (5.20) х+у ' х+у Действительно, имеем В(х+ 1,у) = 1*(1 — ~)" Ж1.
о Интегралы (5.17) и (5.18) называют эйлеровыми интегралами. Функция В(х, д) переменных х > 0 и у > 0 называется бета-функцией. Функция Г(х) переменной х называется гамма-функцией. Все эти интегралы определены и конечны для любых х и у, удовлетворяющих указанным выше условиям.
Бета- и гамма-функции являются представителями весьма обширного класса функций, называемых специальными. Этот класс получен в результате асши ения множества элемента ных нк ий обавлением к нем новых нк ий к вычислению которых сводится решение тех или иных задач математического анализа. Заметим, что в отличие от совокупности элементарных функций класс специальных фуикций не является четко определенным. Включение той или иной конкретной функции в этот класс определяется традицией и практикой математических исследований. Отметим некото ые с в о й с т в а бета- и гамма- нк ий 400 Гл.
12. Функциональные ряды и интегралы Преобразуем это равенство по формуле интегрирования по частям. По- лучим В(*+1,У) = --~ 1*к(1-1)' = --1*(1-1)'~ +-~ 1* (1-1)" а= у У ~~=о у,/ о о 1 1 = — (~* ~(1 — ~)" ~ й — — / ~*(1 — ~)" ~ сМ у,l У ./ и, стало быть, В(х+ 1,у) = — В(х,у) — — В(х+ 1,у).
У У Отсюда получаем первое из равенств (5.20). Второе выводится из пер- вого применением равенства (5.19). 3. Для всякого п Е Х выполняется равенство 1 2...п — 1 В(х,п) = х(х+ 1)... (х+ и — 1) (5.21) Действительно, имеем 1 В(х,1) = ~* ~ сМ = —, х' о 4. Для всякого х > 0 имеет место равенство Г(х + 1) = хГ(х). (5.22) Действительно, применяя правило интегрирования по частям, полу- чаем 14=оо Г(х+ 1) = 1*с 'о1 = — 1*4(е 1 = 1*с "~ +х 1 е 'й. ~=о о о о так что для п = 1 равенство (5.21) верно. В общем случае его справед- ливость устанавливается индукцией по и с помощью равенств (5.20). З 5.
Функции, представимые интегралами 407 Внеинтегральные члены в последнем выражении, очевидно, равны ну- лю, и мы получаем Г(х+ 1) = х 1* ~е 'й = хГ(х). о Равенство (5.22), таким образом, доказано. 5. Для всякого п е М имеет место равенство Г(п) = (и — 1)!. (5.23) Действительно, имеем Г(1)= е 'й=1, о так что для п = 1 равенство (5.23) верно.
В общем случае его справед- ливость устанавливается по индукции с помощью равенства (5.22). б. Установим основное соотношение, связывающее бета- и гамма- функции. Для любых х > 0 и у > 0 имеет место равенство Г(х)Г(у) Г(х + у) (5.24) Достаточно установить справедливость равенства (5.24) для случая х > 1 и у > 1. Отсюда с помощью равенств (5.20) и (5.22) выводится, что равенства (5.24) верны в общем случае.
При условии х > 1 и у > 1 подынтегральное выражение в формуле (5.17), посредством которой определена Бета-функция, есть функция, непрерывная на замкнутом промежутке [О, 1]. Для Л > 0 положим 7(х,Л) = 1* ~е 'о1. о Если х > 1, то подынтегральное выражение в последнем интеграле определено и непрерывно на замкнутом промежутке (О, Я]. При В -+ оо имеем 7(х, Л) — ~ Г(х) для всякого х > О. Гл. 12. Функциональные ряды н интегралы 408 Рассмотрим произведение у(х,В)у(у,Л). (В дальнейших рассуждениях предполагается, что х > 1 и у > 1.) Получим 7(х,В)у(у,Л) = 1* е ' из е "т7и Ж.
о о Ввиду неотрицательности подынтегрзльной функции внутренний ин- теграл не увеличится, если в качестве области интегрирования в нем взять промежуток [О,  — г]. В результате получим 7(х,В)7(у,Л) > ~* 'е ' и" 'е "ои т1т = о(х,у,Л). (5.25) а о (Символ О(х,у,Л) введен для обозначения интеграла, стоящего в правой части равенства (5.25).) Интеграл, определяющий величину н(х, у, В), преобразуем с помощью треугольной формулы Дирихле (теорема 5.4, п.
5.2). Для этого интеграла предварительно установим некоторую оценку снизу, которая позволит заключить, что у(х,у, Л) т Г(х)Г(у) при В -~ оо. В силу неотрицательности подынтегральной функции интеграл в правой части соотношения (5.25) не увеличится, если уменьшить промежуток интегрирования. Следовательно, мы получим, что будет иметь место неравенство нуг и-т т~(х,у,Л) > г* е из е "Йи й. о о Ксли 0 < е < Л/2, то  — ~ > Л/2, откуда получим н7г нуг О(х,у,В) > г* е Таким образом, мы получаем следующие неравенства: 7(х, В)7(у, Л) > п(х, у, Л) > 7(х, В/2)7(у, В/2). (5.26) Из неравенств (5.26), очевидно, вытекает, что Бш о(х,у, В) = Г(х)Г(у).
(5.27) з 5. Функции, представимые интегралами 409 Имеем и Н-1 0(х,у,В) = 1* е ~ иу 1е "йи 111. о о Во внутреннем интеграле произведем замену переменной интегрирова- ния, полагая» = и+ ~. Получим 0(х,у,Я) = 1* 1е ' (» — 1)У 1е '+ 11» й. о Применяя к последнему интегралу треугольную формулу Дирихле (см, п.
5.2), получим равенство 0(х,У,Я) = е ' 1* ~(» — 1)У ~й о». о о Во внутреннем интеграле здесь произведем замену переменной интегрирования, полагая 1 = »С. Получим Таким образом, имеет место равенство 0(х,у,Я) = В(х,у) е '»*+У сЬ = В(х,у)у(х+ у,хь). о Переходя в этом равенстве к пределу при В -+ оо, в силу (5.27) получаем Г(х)Г(у) = В(х,у)Г(х + у). Тем самым справедливость равенства (5.24) установлена в предположении, что х > 1 и у > 1. Общий случай следует отсюда ввиду равенств (5.20) и (5.22). 7. Значение гамма-функции для произвольного х > 0 может. быть представлено также как некоторый предел.
Положим 1 — — ( для 0<1<п, е„(1) = 1 и) 0 при 1> п. Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 410 о сходятся равномерно в точках 0 и оо при и Е М. Это позволяет заключить, что имеет место равенство Г(Х) = 1х 1Е 'й = 1ИП 1х 1ви(1)й. о о При каждом и Е Г1 имеем ОО и и | гх-1е (1) 112 г~- 1 щ и ,/ 1 п,1 о о Произведя в этом последнем интеграле замену переменнои интегрирования по формуле — = и, получим и ОО 1 | 1* ЕиЯЖ = Пх их (1 — и)и11и = ПхВ(Х,П+ 1) о о Применяя формулу (5.21), отсюда получаем 15.281 Г(х) = БП1 пх В(х, и+ 1) = Б1п пх 8. Функция у з1п у является строго возрастающеи в промежутке 0 — ~ и отображает его на отрезок [О, 1].
Производя в интеграле, 2 3 которым выражается бета-функция, замену переменнои интегрирования по формуле 2 = ип у, получим равенство 2 и/2 В(х,у) = 2 з1пз* 1~рсоз2" 1 уэйр. о (5.29) Для всех й > 0 имеем е ' > е„(1) > О. При и -~ оо имеем еи(1) - е " длЯ всех Х > О. ПРи каждом й > 0 последовательность (1* 'еи(1))„ен является возрастающей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
