1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В определенных случаях оказывается возможным приписать интеь гралу 1 Дх) дх некоторое значение также и в случае, если интеграл а является расходящимся в точке а или 6. Предположим, что функция ~ интегрируема по промежутку [а, Ь) и существует предел йп Дь') дь, а равный ~ос. В этом случае мы полагаем ь х Дх) дх = 1пп Дь) аь'. Аналогично, если функция У интегрируема по промежутку (а,Ь), то мы полагаем ь ь ~(х)Нх = 1пп Дь)дь также и в случае, если указанный предел равен ~со. Используя критерий Коши — Больцано существования конечного предела для функций (глава 2), получим следующий критиерий сходи- мости интеграла.
З 4. Критерии интегрируемостн функции 379 1(е) 41 Й~ Доказательство. Предположим, что функция 1 интегрируема по промежутку [а, 6). Пусть Г есть ее первообразная на этом промежутке. Тогдадля любых хыхз Е (а,Ь) имеем ~2 У(1)й . Й~ [Г(хз) — Г(хз)[ = В силу последнего равенства с учетом теоремы 2.4 главы 5 и критерия Коши — Больцано сушествования квнечноео предела непосредственно вытекает критерий интеерируемости интеграла в точке 6.
Критерий интегрируемости интеграла в точке а доказывается аналогично. ° ея Й$ 3 а м е ч а н и е. В силу равенства ] 1(1)й = — 1 1(1)й при е~ ея использовании теоремы 4.2 достаточно рассмотреть только такие пары значений х~ и хз, для которых х~ < хз. П иве ем п име ы. 1 Иример 1. Пусть О < а < оо. Функция 1(х) = — интегрируема в каждом из промежутков (О, а] и [а, оо). Функция Г(х) = 1п х является ее первообразной на этих промежутках. Имеем 1п х -+ -оо при х -+ О, 1п х -+ оо, когда х -+ оо. Отсюда, очевидно, следует, что а ОΠ— = оо) —.
— — 00. о а 1 Пример 2. Пусть 1(х) = —, где а ~ О, х Е (О, оо). Функция х 1 Г(х) =— ° Теорема 4.2 (критерий Коши — Больцано сходимости интеграла). Пусть функция 1": (а, 6) — яь интегрируема по промежутку [а, б) (по промежутку (а, 6]). Тогда для того, чтобы она была иптегрируема по замкнутому промежутку [а, 6], необходимо н достаточно, чтобы для всякого е ) О существовало б' Е (а, Ь) (а' Е (а, Ь)) такое, что для любых хы хз, лежащих в интервале (Ь', 6) (соответственно в интервале (а, а')), выполняется неравенство 380 Гл.
12. Функциональные ряды и интегралы является первообразной данной функции 1(х) на промежутке (О,оо), 1 и, значит, функция Дх) = — интегрируема в интервале (О, оо). х'* 1 Рассмотрим вопрос об интег и емости нк ии Г"(х) = — на ха замкнутых промежутках [О, о] и [а, оо], где О < а < оо. Имеем 1 О 1цп Г(х) = ~ 1' О йш Г(х) = ~ при а>1, при а<1; при а<1, при а>1. ~дх Отсюда вытекает, что, каково бы ни было число а е Е, интеграл (— а конечен, если а > 1, и равен оо в случае, когда а < 1. а дх В то же время интеграл ] — равен оо при а > 1 и является ко- 0 печным, если а < 1 Ых Окончательно получаем, что интеграл ] —, где О < а < оо, схоа ' дх дится при а > 1 и расходится про а < 1, а интеграл ] — является 0 сходящимся при а < 1 и расходящимся при а > 1 4.2.
ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ СХО ИМОСТИ И РАСХО И МОСТИ ИНТЕГРАЛА Следуюшая теорема может служить средством для получения большого числа конкретных признаков сходимости или расходимости интегралов. ° Теорема 4.3 (признаки сравнения интегрируемости функций). Пусть Г:(а,Ь) — ~ С есть комплексная функция, определенная в основном в промежутке (а, Ь) и интегрируемая по полуннтервалу [о, Ь).
Предположим, что суШествует неотрицательная функция у, интегрируемая по промежутку [а, Ь] и такая, что Дх) = 0[<р(х)] при х — Ь. Тогда функция 1 интегрируема также и в точке Ь. Аналогично, если функция Дх) определена в основном в промежутке (а, Ь) и интегрируема по полуинт .рвалу (а, Ь], причем сушествует неотрицательная функция у, интегрируемая по промежутку [а, Ь], такал, что Дх) = 0[~р(х)] при х — а, то функция Дх) интегрируема также и в точке а. З 4.
Критерии интегрируемости функции 381 (4.1) Пусть а есть левый конец промежутка У. Пусть также а' = шах(ам а). Тогда если х Е (а',Ь), то х Е (а,Ь) П У и, значит, выполняется неравенство Щх)] < Лф(х). Для всех х е (а',Ь) имеем — Хф(х) < Веу(х) < Ь~р(х) и -Аф(х) < 1ш ((х) < Е~р(х). В силу правила интегрирования неравенства (см. следствие 1 теоремы 2.2 главы 5) для любых хы хз Е (а', Ь) таких, что х1 < хз, выполняются неравенства хг ~2 < Ке((х) Нх < Ь ф(х) Их, Й1 й1 < 1ш((х)Нх < Ь ф(х)сЬ. Й1 г1 -Х ~р(х) Нх Х1 ~2 -Х, ф(х) Их Отсюда получаем, что НеДх) Их Х1 < Тг1 < г.
Доказательство. Теорема содержит два утверждениьч одно касается условия интегрируемости в точке Ь, в другом речь идет об условии интегрируемости в точке а. Рассуждения в обоих случаях проводятся совершенно аналогично. Поэтому мы ограничимся доказательством первого утверждения. Пусть функция ~: (а,Ь) - С определена в (а,Ь) в основном и интегрируема по промежутку ~п,Ь), функция ф определена в основном, неотрицательна в интервале (а, Ь) и интегрируема по промежутку (а, Ь]. Предположим, что выполняется соотношение ((х) = 0]ф(х)] при х -+ Ь. Согласно определению это означает, что существуют числа Ь < со и окрестность Уз точки Ь такие, что если х Е (а,Ь) П У, то й )] < Т р(х).
Зададим произвольно г > О. Так как функция ~р интегрируема по промежутку (а, Ь], то согласно теореме 4.2 найдется аз Е (а, Ь) такое, что для любых х1, хз Е (ам 6), где х1 < хз, выполняется неравенство, Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 382 Аналогично, ~2 Ие у(х) йх Й1 Функции Ке ~ и 1т ь" интегрируемы в промежутке [а, 6).
Из доказанного следует, что для этих функций выполняется критерий Коши— Больцано сходильости интеграла [а,б] (теорема 4.2). Значит, также и функция г' интегрируема в этом промежутке. Теорема доказана. ° Выбирал в теореме 4.3 в качестве ~р ту или иную конкретную функцию, можно получить большое число тн х к ита иев интег и емости нк ии. Не ото ые из них засл живают быть отмеченными особо.
Следствие. Пусть 1: (а, оо) -+ С есть непрерывная в основном функция, интегрируемая в полуинтервале [а,оо). Тогда если суще- (11 ствует а > 1 такое, что Дх) = О ~ — ~ при х — оо, то интеграл хФ ] у(х) йх является сходящимся. а Доказательство. Данное утверждение очевидно в силу того, что 4х при любом а > 0 для а > 1 интеграл ] — конечен. Т а ха Полезно иметь с е с т в а ля становления а с х о и м о с т и интег алов.
П иве ем з есь один з льтат кото ый может сл жить ° Теорема 4.4. Пусть ~ есть вещественная функция, интегрируемая па промежутке [о, Ь). Предположим, что существуют число 6' Е Е [а,б) н вещественная функция у, определенная и интегрируемая на ь промежутке [Ь', Ь) и такая, что / ~р(х) Ых = оо. Тогда если Дх) > д(х) ь ь для всех х Е [б',Ь), то также [ Дх) йх = оо. а Аналогично, если для вещественной функции ь', интегрируемой на промежутке (а, Ь], существуют число а' Е (а, 6] и вещественпал функция ~р, которая определена я интегрируема па промежутке (а, а ], прил ь чем ] р(х) ах = оо и 1 (х) > у(х) для всех х Е (а, а'], то ] Х(х) ах = оо.
а а 383 ~ 4. Критерии ннтегрнруемости функции Доказательство. Теорема содержит два утверждения: первое касается расходимости интеграла в точке 6, второе относится к точке а. Так как рассуждения в обоих случаях проводятся одинаково, то мы ограничимся доказательством первого утверждения. Предположим, что функция ~ интегрируема на открытом справа промежутке [а, Ь) и выполнены все условия теоремы, относящиеся к этому случаю. Для всякого х Е [6',6) имеем г" (х) > ~р(х). Отсюда вытекает, что для всякого х Е [Ь', Ь) выполняется неравенство х й Дг) й > ~р(ь) й. ь ь Правая часть этого неравенства стремится к пределу, равному оо при х, стремящемся к 6. Отсюда следует, что его левая часть также стремится к пределу, равному оо при х — 6.
Для всякого х Е [о, 6) имеем Д1) й = ((ь) й+ Г'(ь) й. Первое слагаемое справа конечно, так как, по условию, функция г' интегрируема на промежутке [а, Ь). Второе слагаемое при х — Ь стремится к оо. Отсюда следует, что ь Бт ДМ)й= Дй)й = оо. а а Теорема доказана. ° ч Следствие. Пусть ~ есть вещественная функция, интегрируемая на промежутке [а,Ь).
Предположим, что существуют число Ь' Е [а, Ь) и функция ~р, определенная и интегрируемая на промежутке [Ь', Ь) и таь кая, что ] у(х)пх = оо. Тогда если у(х) > О для всех х Е [Ь',Ь) ь и Бгп — = Л > О, то также ['Дх)ах = оо. Аналогично, если для Лх) ь у(х) вещественной функции г, интегрируемой на промежутке (а, 6], существуют число аь Е (а, Ь] и вещественная функция у, которая определена а и ннтегрируема на промежутке (а,а'], причем ] у(х) ох = оо, у(х) > О для всех х Е (а, а'] и Пщ — = Л > О, то [ Дх) Нх = оо. г(х) *- а у(х) Гл.
12. Функциональные ряды н интегралы Доказательство. Докажем утверждение, относящееся к случаю, когда функция ~ интегрируема на открытом справа промежутке [а, 6). Л Положим Л1 — — —. В силу известных нам свойств предела (см. главу 2) 2 найдется окрестность У точки Ь такая, что для всех х е. У П [Ь',6) У(х) выполняется неравенство > Лз. Возьмем произвольно Ь1 б [Ь',Ь), ~р(х) принадлежащее данной окрестности У. Для всех х б [Ьы Ь) выполняется неравенство Дх) > Л1у(х). Функция уз(х) = Лзу(х) интегрируема по промежутку [ЬМЬ).
Но она не является интегрируемой на замкнутом 1 промежутке [ЬМ6], ибо в противном случае функция у(х) = — р1(х) л, была бы интегрируемой по этому промежутку. Доказываемое утверждение непосредственно вытекает из теоре- мы 4.4, если в ее условиях заменить р на 1вы а Ь' на Ьз. Следствие доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
