1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Интегрируя эти равенства почленно, получим Г Й Хз Ха 1.(1+.) =~' =.— +".+(-1).— — +7.„(.), ,/ 1+1 2 о д2 з в Хза-1 агсвбх = /, = х — — + — —. +(-1)а 1 +А„(х), ,/ 1+уз 3 5 2п — 1 о где х х Ь„(х) = ( — 1)а, А„(х) = ( — 1)" . (3.8) 1 — =1 — х+х — + 2 1+х 1 =1 — х +х — ° + „! х2 хз х4 хе — + — — — + 2! 4! 6! 3 В 2 — + — — — + ° ° ° . 3! 5! 7! ха (-1)"-""-'+ (-1)а —, 1+х хз" ( 1)а-1 2а-2 ! ( 1)а 1+ х2' 301 з 3.
Степенные ряды В интегралах, стоящих в равенствах (3.8), произведем замену переменной интегрирования, полагая у = х2. В результате получим 1 1 Я 1и11 Г абзац д ( ) ( 1)а и+1 А ( ) ( 1)а 2и+1 о а Отсюда 1 1 т 2ац 12и ц о о При 0 < х < 1 0 < 2 < 1 имеем 1+х1 > 1, и первое из равенств (3.9) позволяет заключить,что в этом случае 1 )а+1 (Ь„(х)! < )х~"+1 2"й = о и, значит, )Ь„(х)~ — 0 при п — оо для любого х Е [О, 1].
При — 1 < х < О, 0 < 2 < 1 имеем 1 + х1 > 1 — )х~, откуда следует, что если — 1 < х < О, то Отсюда вытекает, что Х„(х) — ~ 0 для всякого х Е ( — 1, 0) при п — оо. Мы получаем, таким образом, что для всех х таких, что — 1 < х < 1, имеет место равенство х г -1Х а 1п(1+ х) = х — — + + (-1)и — + 2 и (3.10) В частности, полагая х = 1, получим равенство 1п 2 = 1 — — + — — + ( — 1)и — + .. п-1 1 2 3 н (3.11) еним интег ал кото ым вы ажается А х . При всяком х Е И для любого 2 Е К имеем 1+х212 > 1.
Применяя второе из равенств (3.9), получим ( .)2и+1 (А„(х)~ < )х(2"+1 12" 112 = —. о Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 362 Отсюда следует, что А„(т) — О равномерно в промежутке ~-1,1) при п -+ оо. Таким образом, мы получаем, что для всех х Е ~ — 1, 1] 3 3 хз" агс1йх = т — — + — — .. +(-1)" 1 + 3 5 2п — 1 (3.12) В частности, полагая здесь т = 1, получим следующее замечательное равенство: а-1 — = 1 — — + — — ..
+ (-1)" +... 4 3 5 2п — 1 (3.13) я 1 1 — = 4 агс1я — — агс$6— 4 5 239 (формула Мечина), из которого получаем следующее представление чи- сла т посредством числовых рядов: я=16 — — — — +... — 4 — — — — +... Это равенство может служить основой для создания эффективных алгоритмов для определения приближенных значений числа я.
В настоящее время известно несколько миллиардов верных знаков в десятичном представлении числа т. При этом используются алгоритмы, отличные от тех, которые можно получить, исходя из равенства (3.12). Ыахождение приближенного значения числа л с такой точностью служит, главным образом, средством иллюстрации эффективности существующих вычислительных машин и программ, используемых для вычислений. Само по себе знание большого числа верных десятичных знаков числа л не имеет какого-либо практического или теоретического значения.
Равенство (3.13) не может быть использовано для вычисления числа х, так как частные суммы ряда, стоящего в его правой части, приближаются к своему пределу слишком медленно, и для того чтобы получить хорошее приближенное значение т с помощью ряда (3.13), необходимо взять очень большое число членов этого ряда.
Равенство (3.12), напротив, может служить эффективным средством для вычисления значений функции агс1я т, во всяком случае для малых значений х. Формула (3.12) может быть средством для построения эффективных алгоритмов для вычисления числа т. Имеет место равенство З 3. Степенные ряды 363 4. Рассмотрим функцию Дх) = (1 + х) . Докажем, что ряд Тейлора этой функции в точке О сходится к ней в промежутке ( — 1, 1). Для всякого и = 1, 2,...
имеем ~00(х) = а(а — 1)... (а — и + 1)(1 + х) и, значит, ~00(0) = о(о — 1)... (а — п+ 1). Отсюда следует, что ряд Тейлора в точке 0 для функции (1+ х) имеет вид а(а 1) 2 а(а 1) (а и+ 1) ) 1+ох+ х +. +, х" +.... 2! и! (о — п) Отношение (п+1)-го члена ряда к п-му равно — х и стремится п+1 к пределу, равному — х. Отсюда в силу признана Даламбера сходилости ряда вытекает, что ряд (3.14) сходится при ~х~ ( 1 и расходится при ~х~ > 1, так что радиус сходимости ряда в данном случае равен 1. Чтобы доказать, что для ~х~ ( 1 сумма ряда (3.14) равна (1+ х) рассмотрим остаточный член ряда с номером и. Применяя представление остаточного члена в виде интеграла, найдем, что г„(х) = —, 1~ "+О(у)(х — у)" ау. о Преобразуем интеграл справа, произведя в нем замену переменной по формуле у = х1.
Получим х"+1 г„(х) = — / ~<"+'1(хг)(1 — е)" й. о Пусть 1(х) = (1+ х) . Тогда ~1 о+11( ),„(,„Ц (,„п)(1 + откуда 1 о(а 1) (~ — и) е+з (( 1 — 1 '1 ~ . (315) о Для х Е ( — 1,1) и 1 Е (0,1) имеем 1 — 8 > 0 и 1+ х8 > 1 — )х(1 > > 1 — )х) > 0 и, далее, 1 — г (х+ 1)Х 1 + хг 1 + х1 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы Следовательно, мы получаем, что если — 1 < х < 1 и 0 < 1 < 1, то выполняются неравенства 1 — 1 1 1 0« 1, < 1+х1 ' 1+х1 1 — (х~' Полученные неравенства позволяют заключить, что 1 !т (х)! < "+1 о Интеграл справа в случае о > 1 не превосходит постоянной С = 2 а в случае о < 1 оценивается сверху величиной (1 — )х!)' Степенной ряд с (о — 1)(о — 2)...(о — п) п.
! я)0 при !х~ < 1 сходится, что, как и в случае ряда (3.14), устанавливается применением признака Даеамбера. (Формально данное утверждение может быть получено из сказанного относительно ряда (3.14) заменой о на (о — 1).) Отсюда следует, что если !х~ < 1, то о(а — 1)... (о — п) и,' при п — ~ со и, значит, т„(х) — 0 при и -+ оо для любого х Е ( — 1, 1). Окончательно получаем,что для всякого х б (-1,1) выполняется равенство а(о — 1)...(о — п + 1) + х" +.... п! (3.16) Если о б г1, то все члены ряда (3.14), имеющие номер и > о, обращаются в нуль, так что в этом случае правая часть доказанного равенства оказывается конечной суммой.
В этом случае равенство (3.16) верно для всех х и совпадает с тпохедесгпеом, известным из курса средней школы под наименованием формулы бинома Ньютона. з 3. Степенные ряды 365 При а > 0 исследуем вопрос о сходимости ряда (3.16) в точках х = Ы. Для этой цели воспользуемся равенством (3.15). Полагая в нем х = 1,получим 1 ]г„(1)] = а(а — 1)...(а — и) / /1 — г~" й и.' / ~ 1+~) (1+1)1-и о Имеем 1 ( —, ( (1 — ) а=в Таким образом, в этом случае имеем следующую оценку: а(а — 1)... (а — и) — (и+ 1)) Положим а(а — 1)...
(а — и+ 1) а„— и! При и > а получим и~ — — 1) =и( — 1) = (1+а)- 1+а при и- оо. ~ а+1 ) 1и — а ) и — а В силу ириэиако Роабе сходимости ряда (теорема 2.8 глава 11) из доказанного вытекает, что ряд (а„] сходится и, значит, а„-+ 0 при и — оо. Отсюда следует, что в случае а > 0 равенство (3.16) верно также и для х = 1. Полагал в равенстве (3.15) х = — 1, получим „,а(а — 1)...(а — и) ( сМ и! / (1 1)1-и о — а(1 — а)...
(и — а) си и! ) где с — постояннал. Несложный анализ показывает, что если а > О, то правая часть этого равенства также стремится к нулю при и -~ оо и, значит, и в этом случае рассматриваемый ряд сходится в точке х = — 1. Предоставляем читателю доказать, что ряд (3.16) сходится в точке х = 1 также и в случае, если а > — 1, а в точке х = — 1 при а < 0 этот ряд расходится.
366 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 3.3. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА АБЕЛЯ ЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯ ОВ Мы будем рассматривать здесь только степенные ряды, коэффициенты которых есть вещественные числа. ° Теорема 3.2 (вторая теорема Абеля для степенных рядов). Предположим, что степенной ряд а„(х — р)" (3.17) 1(х) = ~р ~ — (. Полагая в (3.17 ) х = р+ (с — р)1, получим /х — й ~,с — р( ~р(1) = ~~а„(с-р)"1" = ~1 А„1", (3.18) где А„= а„(с — р)". Ряд (3.18) сходится при ~ = 1. Сумму этого ряда в точке 1 = 1 будем обозначать символом у(1). Докажем, что Бт ~Р(1) = ~~1 А„= ~р(1).
1-О Для 1 б [О, Ц и н > О пусть у„(~) = ~ Аь1", При каждом и > О для любого 1 Е [О, 1) будем иметь имеет радиус сходимости г, причем О < г < оо. Пусть Дх) есть его суммав промежутке(р — т,р+т). Предположим, что с есть однаиз точек р — т и р+ г. Тогда если ряд (3.17) сходится в точке с, то его сумма в этой точке равна пределу 1(х) при х -+ с. При этом ряд сходится равномерно в промежутке, концами которого являются точки р и с. Доказательство. Пусть ряд (3.17) удовлетворяет условиям теоремы и с — тот из концов интервала сходимости, в котором сходится этот ряд.
Положим ~р(1) = 7[р+ (с — р)1[. Тогда, в свою очередь, з 3. Степенные ряды 367 [за, — за,[ < —. Зададим произвольно номер п > й. Для всякого ~ Е [О, 1) будем иметь Л„(1) = ,'~ А 1 = ~~1 А +„+11 +а+'. ~а=а+1 а1=0 (3.19) Для всякого 1 Е [0,1) последовательность (1 +а+1) >О является убыва- ющей и имеет предел, равный нулю. Преобразуем ряд Аа.1. Е а+1а+1 аао используя тождество теоремы 3.1 главы 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
