1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 67
Текст из файла (страница 67)
При ~„(1) о11 = Г„(6) — Го(Ь) = ~о(1) й. ь ь ~1:ьма= Т; 1'х.ом*. о х=о1 х=о1 а Локаэательство. Положим в(х) = у 1„(х). п вх(х) = ~ Ях), я=хо Тем самым установлена справедливость также равенства (2.8). Теорема доказана. ° х Следствие 1. Пусть даны промежуток [а, 6] С К и последовательность ограниченных вегцественных функций (~„)„>, определенных на этом промежутке и интегрируемых по нему. Тогда если ряд [Я„> сходится равномерно на [а, 6], то его сумма есть функция, интегрируемая по промежутку [а, Ь].
При этом выполняется равенство з 2. Равномерно сходил»неся функциональные ряды о — а оо з =Ф э на промежутке [о, Ь]. Каждая из функции з„ кает, что функция з интегрируема по промежутку ьа, Ьг ри этом ь ь | за(х) лх -~ з(х) лх а а при»» — оо. При каждом»» имеем ь а | .»*»»* = ~ / ».»*»».. а» а а Отсюда следует, что ь ь ь и аа | »*»»*= - е|».»»» = у'.
»».»»»' Ь=»а ™а а Следствие 1 доказано. Следствие . ус С 2. Пусть дано непустое множество Т с оценочной фуннк ия что для всякого» Е Т определена фу ц [а Ь]. П и этом выполняется равенство тегрируемой по промежутку [а, ]. ри ь ь | ,го(х) лх = Бпз ь',»»(х) Нх. л(») о у а а Доказательство. Пусть выполнены у все словия следствия. Зал овательность значений (1„)„е»» такую, что дадим произвольно последо п и »ь -а оо. Согласно тео- Л(» ) — О при и -+ оо. Тогда ~»„ ' Ф,»о при »ь -а оо. о реме 2.3 отсюда вытекает, что функция,го р р интег и уема по промежутку [а, Ь], причем ь ь Ях) Йх = Йп |»„(х) Йх. а-~ОО а а (» ) есть произвольная последовательность элементов множества Т такая, что Л(»„) О » — а О п.
и о -~ оо, установлено, что ь ь | |о(х) Ых = 1пп Ях) Их. л»») о а а Следствие 2 доказано. 1' 350 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 2.4. О ИФФЕРЕН ИРУЕМОСТИ ПРЕ ЕЛ ФУНК ИОНАЛЪНОЙ ПОСЛЕ ОВАТЕЛЬНОСТИ И СУММЫ ФУНК ИОНАЛЪНОГО РЯ А Докажем одно общее утверждение о дифференцируемости предела последовательности функций. ° Теорема 2.4. Пусть (|' )„ен есть произвольная последовательность функций, определенных и непрерывных на промежутке ( а, 6) множества К. Предположим, что каждая из функций 1„дифференцируема в промежутке (а,6), причем последовательность производных (Д) н является равномерно сходяШейся на всяком промежутке [и, е] С (о,о) к некоторой функции у.
Тогда если хотя бы для одного значения р е (а,6) сушествует конечный предел 1пп |„(р), то последователь- У ОО ность функций ( 1у)„ен лоточечно сходится на (а, 6) к некоторой функции 1, которая является первообразной функции р на промежутке (а, Ь). Функция ~ дифференцируема и удовлетворяет равенству ~'(х) = д(х) для всех х е (а,Ь). яяоказательстно. Пусть выполнены все условия теоремы.
Для всякого х Е (а,Ь) имеем У.(х) = 1.(р) + У.'(у) ур Функции Д интегрируемы по промежутку (о, 6) и сходятся к функции у равномерно на всяком промежутке [и, и] С (а,Ь). В силу теоремы 2.3 функция у интегрируема на всяком таком промежутке [и, е] С (а, 6) и Зададим произвольно точку х е (а, Ь), отличную от р. Пусть [и, и] есть отрезок с концами в точках х и р. Из равенства (2.12), очевидно, следует, что ~о(у) йу = Бт [г„(х) — Яр)].
р Так как, по условию, су|цествует конечный предел Бт 1„(р) = 6, то из последнего равенства вытекает, что существует такйе и конечный предел Бш г"„(х) = г(х). При этом мы получаем, что Дх) = 6+ ~р(у) бу. 351 З 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды Поскольку х Е (о, Ь) было взято произвольно, то тем самым установлено, что функция ~ является первообразной для функции у.
Докажем, что 1'(х) = у(х) для всех х Е (а,Ь). Возьмем произвольно точку хо Е (а, Ь). Пусть 6 ) О таково, что а < хе — 6, хо+ 6 < Ь. Положим хо — 6 = и, хе + 6 = о. Последовательность производных Д сходится к функции у на данном пРомежУтке [и,е] РавномеРно. ПУсть Л„= ]] [„' — Р][ь [[ [Р Л„-+ О при и -+ оо. Возьмем произвольно х ~ хо такое, что [х — хо] < 6. Промежуток с концами в точках х и хо содержится в отрезке [и, е]. Имеем Для всех у б [о, е] имеет место неравенство ]]Д(д) — у(у)]] < Л„.
Отсюда следует, что < ]х — хо[Л„. Мы получаем, таким образом, что для любого х Е [и, о], отличного от хо, выполняется неравенство Ях) — У„(хо) ['(х) — ['(хо) и ° х — хо х — хо Следовательно, мы получаем, что ~„(х) — ~ (хо) Дх) — Дхо) х — хе х — хо на множестве [и, и] '1 хе. При всяком ц б Х существует конечный предел ~.(х) ~.(хо) й йО х хе Значит, согласно теореме 1.4 существует конечный предел Бт = йщ У„'(хо) = <р(хо). Дх) — ["(хо) 352 Гл.
12. Функциональные ряды и интегралы Точка хо Е (а, 6) была выбрана произвольно. Следовательно, мы получаем, что функция ~ дифференцируема в каждой точке т промежутка (а, Ь) и ~'(х) = ~р(т) для всех х Е (а, Ь). Теорема доказана. ° 3 а м е ч а н и е. В условиях теоремы 5.3 можно утверждать, что последовательность функций (~„)„ен сходится к предельной функции ~ равномерно на всяком промежутке [и, ю] С (а,6). Из теоремы 2.4 вытекает некоторое утверждение об условиях, при которых производная суммы функционального ряда является суммой производных членов ряда.
Следствие. Пусть дан ряд [~„: (а, 6) К]„еи, члены которого есть функции, определенные и дифференцируемые в промежутке (а, 6) множества К. Тогда если функциональный ряд [Д] ен, образован" пеп ный производными функций ~„, равномерно сходится в интервале (а, 6) и найдется точка р Е (а, Ь) такая, что числовой ряд [У„(р)] ен является сходящимся, то ряд [У„(т)]„ен сходится для всех т Е (а, 6). При этом если Г(х) = ~ ~„(х), я=нее то функция Г дифференцируема в каждой точке промежутка (а, Ь), при- чем имеет место равенство Г'(х) = ~~~ у„'(х).
Доказательство. Для п ) т положим Г„(т) = ,') Л(х). Функция Г„при каждом и дифференцируема в промежутке (а,6). При этом имеет место равенство я ГГ(х) = ~> фх). Положим 353 з 3. Степенные ряды Имеем: Ф„(х) = Г„'(х) для всех х Е (а,6). В силу условия следствия последовательность функций (Ф„)„ен равномерно сходится в промежутке (а,Ь) к некоторой функции Ф. Пля некоторой точки р, как вытекает из условий следствия, существует конечный предел 1пп г'„(р). е со В силу теоремы 2.4 отсюда следует, что для всех х Е (а, 6) существует конечный предел Нгп Г„(х) = Г(х).
Получаемая таким образом функция согласно теореме 2.4 дифференцируема для всех х б (а,Ь). При этом Следствие доказано. 7 3 а м е ч а н и е. Как и в случае, рассмотренном в теореме 2.4, в условиях следствия можно утверждать, что функциональный ряд [~„]„ен„сходится равномерно на всяком замкнутом промежутке [а, В], содержащемся в интервале (а, 6). 3 3. Степенные ряды В этом параграфе рассматривается частный случай функциональных рядов — степенные ряды. Наглядно степенной ряд можно представить себе ках полинам бесконечной степени.
Функции, представимые ках суммы степенных рядов, играют важную роль в математике — это так называемые аналитические функции. В эпоху становления дифференциального н интегрального исчисления функции, которые могут быть представлены ках суммы степенных рядов, считались основным объектом изучения. Изучение свойств аналитических функций в полном объеме есть задача курса теории функций комплексной переменной. Здесь же устанавливаются лишь некоторые простейшие свойства аналитических функций. 3.1. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА АБЕЛЯ ЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯ ОВ ТЕОРЕМА АБЕЛЯ О РА ИУСЕ СХО ИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯ А 3.1.1. Зададим произвольно банахово пространство Х над полем комплексных чисел С.
Норму произвольного вектора х Е Х будем обозначать символом ]х]. Степенным рядом со значениями е Х мы будем называть всякий ряд вида [а„(г — с)"]„еле = во+аз(г — с)+аз(» — с) + ° ° ° +а„(г — с)" +..., (3.1) Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 354 ° Теорема З.Х (первая теорема Абеля для степенных рядов). Для всякого степенного ряда [а„(» — с)"] ЕН, можно указать такое число г Е [О,оо], что ряд сходится, и притом абсолютно, если ]» — с] < т, и является расходящимся, если ]» — с] > г. Это число т может быть найдено следующим образом.
Пусть у = Бпъ ~у]а„[. (3.2) Тогда при у=О, лрн 0 < у < оо, при у = оо. (3.3) т = 1/'у 0 Локазательстно. Пусть числа т и у определены, как указано в формулировке теоремы. Если» = с, то все члены ряда [а(» — с)" ]„ен,, для которых и > О, равны нулю и ряд, очевидно, сходится. Будем далее считать, что» ф с. Тогда ]» — с[ > О. Предположим, что ]» — с[ < т. В этом случае г > О. 1 ]» — с] Если т < оо, то у = — и, значит, [» — с]у = < 1. т т Если т = оо, то у = 0 и в этом случае неравенство [» — с[у < 1 также выполняется. Зададим произвольно число о такое, что ]» — с]у < о < 1. Тогда у < . Таким образом, мы получаем неравенство ]» — с[ у = 1пп ~/[а„] < В силу известных свойств верхнего предела (глава 2) найдется номер по такой, что при всяком и > ио имеет место неравенство ф[а„[ < где а„, п = О, 1, 2,..., — векторы пространства Х, » и с — комплексные числа. Векторы а„, и = О, 1,..., называются ноэффициентаами данного степенного ряда.
Множество яУ тех», для которых ряд (3.1) сходится, называется областью с»одимосгаи степенного р»да. Очевидно, точка с принадлежит .й'. Для всякого» ~ .л» определен еентпор Г(») е Х вЂ” сумма ряда (3.1), и тем самым определена функция со' значениями в векторном пространстве Х, область определения которой есть множество гК. Рассмотрим вопрос о строении множества лй' тех», для которых ряд (3.1) является сходящимся.
з 3. Степенные ряды 355 При и > по, очевидно, с/]а„] [х — с] < а и, значит, [а„]]х — с]" < а" для всех таких п. Геометрическая прогрессия [а" ]„>о представляет собой сходящийся ряд. Отсюда в силу признака сравнения для рядов (теорема 2.3 главы 10) вытекает сходимость ряда []а„[]г — с] "]„е~„а значит, и ряда [а„(х — с)"]„ен,.
При этом мы получаем, что для данного значения г б С ряд сходится абсолютно. Предположим теперь, что [х — с] > т. Согласно определению верхнего предела (глава 2) найдется последовательность номеров пу < пз < < пь < ... такая, что ',/~ащ,] — ~ у при ус -~ оо. Имеет место неравенство ]х — с]у > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
