1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Будем говорить, что семейство (1т)тет при Л($) -т р равнолтерно сходитося на лтнохсестпее М к функции 1, н писать: 1т ~ 1 на М при Л(1) -+ р, если выполняется соотношение Птп ٠— Дь 1щ1 = О. л(т)- р Пусть ()„: М -т К)„еи есть последовательность функций, каждая из которых определена на множестве М, Тогда, в соответствии с данным здесь общим определением равномерной сходимости семейства функций, будем говорить, что последовательность (1„) равномерно сходится к функции 1 на множестве М при п — оо, и писать: 1„=Х 1 на М при и — оо, если 1тш [! 1„— Дь тм1 = О. Легко проверяется, что в примере 1, приведенном выше, при любом п = 1,2,..., так что величина []Ą— Дь тщ1 = 1 не стремится к нулю при и ~ со и, значит, последовательность функций ()'„)„ен не ЯвлЯетсЯ РавномеРно сходкщейсЯ к фУнкции 1.
В примере 2 предельная функция 1' оказывается неограниченной, откуда нетрудно заключить, что [[1„— Дь тьт1 = оо для всех п Е Х, так что последовательность (1'„)„ен в данном случае не является равномерно сходящейся на множестве М = [О, 1]. З 1. Понятие равномерной сходимости для семейства функций 323 Отметим некото ые с в о й с т в а авноме ной схо умести. 1. Если семейство функций (~» . М -+ К)~ет равномерно сходится к функции 1: М вЂ” К на множестве М при Л(1) — р, то У(х) = 1пп Ях) лП) я для всякого х Е М, т. е.
семейство (1,: М вЂ” К)~ет поточечно сходится к функции ) на множестве М при Л(г) -~ р. Действительно, условие Ях) =3 )'(х) на множестве М при Л(1) -+ р, по определению, означает, что !!л — у!!,„, )-о. Так как при всяком х Е М имеет место неравенство !Л(х) — У(х)! < !!Л вЂ” У!!ь„См), то отсюда следует, что !Ях) — 1(х)! -+ О при Л(М) — р для любого х Е М, т. е. )(х) = 1пп Ях) для любого х Е М. л(~) р П. Пусть даны семейство функций ()1: М вЂ” К)сет и функция )".: М -~ К, причем Л =з г" на М при Л(г) -+ р. Тогда если предельная функция является ограниченной, то найдется окрестность У предельного значения р оценочной функции Л такая, что каждая функция ~м для которой Л(г) Е У, является ограниченной. Обратно, если существует последовательность (~„)„ен такая, что Л(1„) — О при п -+ оо, и каждая из функций ~~„является ограниченной, то предельная функция г" также ограничена на множестве М.
Действительно, пусть ~, ~ ~ на М при Л(г) — р. По определению, это означает, что !!Л вЂ” г!! -~ О при Л(г) — р. Отсюда следует, что найдется окрестность У точки р такая, что для любого 1, для которого Л(г) Е У, выполняется неравенство !!~~ — Г"!!ь <м) < 1. Для всякого такого 1 функция ~~ — )' является ограниченной и, значит, для 1, удовлетворяющих условию Л(1) Е У, функция Л = (~, — )") + г" является ограниченной.
Предположим, что последовательность значений (1„) ен такова, что Л(г„) — ~ р при и - оо, и при каждом п функция 1„ = ~»„ является ограниченной. Для этой последовательности !!)„— Г!!ь ~м) -~ О при п — оо и, значит, найдется номер п такой, что !!,)'„— Дь ~м) < 1. Функция У„, по условию, является ограниченной. Разность )'„— )' есть ограниченная функция, поскольку ее равномерная норма конечна. Следовательно, функция 1 = г"„— (('„— Д ограничена, что и требовалось доказать. 324 Гл. И. Функциональные ряды н интегралы Ш. Если семейство функций (Л: М -+ К)~ет, ограниченных на множестве М, при Л(г) — р равномерно сходится на множестве М к функции Г', то имеет место равенство 11Л!ь 1м1 = 11ш 11ЛЬ 1м1 А(М) р Действительно, в силу следствия 4 теоремы 1.1 при каждом 1 Е Т выполняется неравенство 11!Я вЂ” 1Л1 <! 1Л вЂ” Л1, откуда, очевидно, следует, что 11Яь 1щ1 — 1!Дь 1м1 при Л(г) — р, что и требовалось доказать.
ГК. Пусть даны семейства функций (Л М й1)апет~ (дм ' М й1)$ет Предположим, что при каждом ~ б Т функции Д и д~ являются ограниченными на М и ~~ т г, д~ ~ д на множестве М при Л(г) — р. ТОГда Прн Л(г) — ~ р тахжЕ И ~~д~ ' т Гд И дЛя ЛЮбЫХ ЧИСЕЛ Л,р Е И ЛЛ + рдс ~ ЛУ + нд на множестве М. Действительно, предположим, что семейства функций Я)~ет и (д, )~ет и функции ~ и д удовлетворяют всем указанным условиям. Применяя неравенство (1.5) п.
1.1, получим !1Лд — Я! = !!вудс — Лд+ Лд — 1д11 < 11Л(д~ — д)11+ 1НЛ вЂ” У)д11. (Индекс Ь (М) в обозначении равномерной нормы здесь и далее опускается.) Отсюда, в силу неравенства (1.4) п. 1.1 следует, что 11Бд — УдЬ < 11Л!11!д - д11+!1Ь вЂ” Л11д1! (18) Величины !1Я, 11Я! и !!д!1 конечны, и !1~~1! — !! г'11 при Л(г) -~ р. Правая часть неравенства (1.8) при Л(~) -+ р стремится к нулю, откуда следует первое утверждение. Применяя неравенство (1.3) 'теоремы 1.1, получим, что для любых Л, р Е К имеет место неравенство 1!(ЛУ„+ рд,) — (ЛУ+ рд)Ь„= = 11Л(1 — ~)+р(д -д)!1ь < 1Л!11Х вЂ” УЬ„+!р!1!д -д11ь„.
Так как !ф — г 11 ь — 0 и !!д~ — д11ь — 0 при Л(г) — р, то из полученных неравенств вытекает, что при Л(г) — ~ р 1!(Лл + рд,) — (ЛУ+ рд)11,„о, т. е. ЛД+ рд~ ~ Л~+ рд на множестве М, что и требовалось доказать. з Е Понятие равномерной сходимости для семейства функций 325 1.3. КРИТЕРИЙ КОШИ вЂ” БОЛЬ АНО РАВНОМЕРНОЙ СХОНИМОСТИ Установим здесь необходимое и достаточное условие равномерной сходимости для произвольного семейства функций, аналогичное признаку Коши — Больиано существования предела.
° Теорема 1.2 1критерий Коши — Больцано равномерной сходимости семейства вещественных функций). Пусть (~~)~ет есть семейство вещественных функций, определенных на некотором множестве М, Л— оценочнал функция с предельным значением р Е Й, заданная на множестве индексов Т. Для того чтобы семейство функций (~е)~ет было равномерно сходящимся на множестве М при Л1е) р в случае, если р конечно, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0 существовало число б > 0 такое, что для любых ~з,1з Е Т, удовлетворяющих УсловиЯм !Л(Фз) — Р! < б и !Л(Хз) — Р! < 6, выполнЯетсЯ неРавенство 11.9) Если р = оо, то семейство функций (Я~ет является равномерно сходящимся на множестве М при Л(е) — оо в том и только в том случае, если для всякого е > 0 существует число К < оо такое, что для любых 11,1з Е Т, удовлетворяющих условиям Л1е1) > К и Л(ез) > К, выполняется неравенство (1.9).
Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Рассмотрим случай, когда р = О. Предположим, что семейство функций Ц,)1ет равномерно сходится на множестве М цри Л(е) -+ 0 к некоторой функции ~: М вЂ” К. е Зададим произвольно е > О. Положим е1 — — —. Тогда согласно опре- 2' делению равномерной сходимости относительно параметра 1 при Л(е), стремящемся к нулю, найдется 6 > 0 такое, что если Л(е) < 6, то выполняется неравенство !!~~ — )'!!е 1м1 < е1. Возьмем произвольно 1з,1з Е Т, для которых Л(1~) < 6 и Л(1з) < 6. Тогда имеют место неравенства !!~„, — Д < е1 и !!Д, — Я! ( е1.
13десь и далее символ Б 1М) в обозначении равномерной нормы опускается.) Отсюда получаем В силу произвольности е > 0 необходимость условия теоремы доказана. Теперь докажем д о с т а т о ч н о с т ь условия. Предположим, что для всякого е > 0 можно указать б > 0 такое, что если Л(1з) < 6 и Л1ез) ( 6, то выполнЯетсЯ неРавенство !!~п — Д,!! < е.
Зададим произвольно е > 0 и найдем отвечающее ему 6 > О. Тогда для любых Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 326 1ы1з е М, удовлетворяющих неравенствам Л(г1) < 6 и Л(8з) < б, имеем !Л1(х) — Ля(х)! < !!Л, — Л,!! < я. Так как е > О было выбрано произвольно, то сказанное означает, что для функции $ Е Т + Л1х) выполнено условие кригперия Коии— Больиаио сходимости при Л(1) — р. Отсюда вытекает, что существует конечный предел 1пп Л1х) = Дх).
л(О о Таким образом, мы получаем, что семейство функций (Л)~от сходится поточечно на множестве М к некоторой вещественной функции ~: М- Кири Л(1) -+О. Докажем, что рассматриваемое семейство сходится к функции 1 равномерно при Л(~) . О. Зададим произвольно е > О и положим с — Согласно условию теоремы найдется 6 > О такое что для 2 любых 1ы1з Е М, для которых Л(8з) < 6 и Л(1з) < 6, выполняется неравенство !!Л, — Л, !! < е1. Возьмем произвольно точку х б М и фиксируем произвольно значение $о такое, что Л(8о) < 6. Для всякого 1 б Т, для которого Л(1) < 6, для всех х б М имеем )Л,(х) — Л(х)! < !!Л, — Я < е1.
Переходя в этом неравенстве к пределу при Л(г) — О, получим, что !Ло(х) — 1(х)! < е1 для всякого х б М. Отсюда вытекает, что !!Л. — Л = аир !Л,(х) — У(х)! < е, < ~. Осталось заметить, что 1о б Т такое, что Л(1о) < 6, было выбрано произвольно и, следовательно, для всех 1 е Т, удовлетворяющих условию Л(1) < б, выполняется неравенство !!Л вЂ” Д < е. Так как е > О было задано произвольно, то тем самым доказано, что )!Л вЂ” Д -+ О при Л(8) — О, т. е. семейство функций (Л)~от сходится равномерно к функции г' при Л(1) -+ О. Тем самым достаточность условия теоремы также установлена.
Рассмотрим общий случай. Пусть р б К конечно. Положим р(г) = = !Л(1) — р!. Тогда для всякой функции Г(г) переменной 1 и любого БЕК (Х = 1пп Г(1)) <Ф (Ь = 1пп Г(1)). л(з) р я(з)- о Условие !Л(8) — р! < б равносильно условию р(1) < 6. Отсюда, очевидным образом, следует, что утверждение теоремы верно и в случае произвольного конечного р.
Если р = оо, то полагаем,и(1) = ехр[ — Л(8)]. Справедливость утверждения теоремы в данном случае вытекает из того, что для всякого Б е К 1Х = Ыгп Г(1)) е» 1Ь = 1пп Г(г)), Л(О оо я(з)- о з1. Понятие равномерной сходимости для семейства функций 327 и из соотношений Ь(Ю) <б) = Л(1) > К=1 1Л(~) > К > 0) =~ (р(1) < б = ехр(-К)).
Теорема доказана. ° я Следствие. Нормированное векторное пространство ь (М) является полным. ,цоказательство. Пусть (7„)„ен есть произвольная фундаментальная последовательность элементов пространства Х, (М). По определению, это означает, что для всякого е > 0 можно указать номер б б г1 такой, что для любых п~ > б и пя > и выполняется неравенство !!У, —.7,!!ь (м) < в. Это означает, что для последовательности ()„)„ен выполнено условие равномерной сходимости при и — > оо и, значит, существует функция 7" б Ь, такая, что !!7"„— Дь — О.
Таким образом, мы получаем, что всякая фундаментальная последовательность в пространстве Ь является сходящейся. Тем самым иолногпа пространства Ь установлена. Следствие доказано. 1.4. ТВОРемА О РАВенстВе пОВтОРных ЛРе елОВ )1ш )'(х,1) = <р(х) Л10 р (1.10) и для любого ~ Е Т существует предел 1пп 7(х,1) = ф(г). в(*) а (1.11) Зададим произвольно непустые множества А и Т. Будем предполагать, что на множестве А задана оценочная функция р с предельным значением д, а на Т определена оценочная функция Л и р б Е есть ее предельное значение. Далее, предполагается также, что задано полное метрическое пространство (М, р) и рассматриваются функции со значениями в множестве М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
