1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Понятие равномерной нормы позволит указать примеры бесконечномерных банаховых пространств. Зададим произвольно множество М. Напомним, что функция 1: М вЂ” Л называется ограниченной, если существует число К < оо такое, что для всех х б М выполняется неравенство !Дх)! < К. Совокупность всех ограниченных функций 1: М -+ К обозначается символом Ь (М). Пусть дана функция (': М -+ К. Полагаем !!Лс„1м> = еир !У(х)! *ем Величина !Яь 1м> называется равномерной нормой функции (' на множестве М.
Как уже сказано, равномернал норма характеризует, в некотором смысле, «размеры» функции 1. Определением допускается значение !!Дь 1м1 = со. В обозначении равномерной нормы мы будем опускать символ М, а также и все выражение Ь (М) каждый раз, когда это не может привести к недоразумению. Предположим, что функция 1: М -~ К определена на множестве М и задано некоторое подмножество Е множества М.
Тогда символ !!Дь ек1 означает равномерную норму ограничения функции 1 на множестве Е, т. е. согласно данному здесь определению !Ш!ь 1н1 = зпр !У(~)!. *як Отметим некото ые с в о й с т в а авноме ной но мы. Пусть даны множества Еы Ез С М, причем Ез С Ез. Тогда в силу известных свойств точной верхней границы функции (см. теорему 5.1 главы 2) для всякой функции у: М К выполняется неравенство Гл. '12. Функциональные ряды и интегралы 318 ° Теорема 1.1. Функция 1": М вЂ” ~ К является ограниченной в том и только в том случае, если ее равномерная норма конечна.
Для всякой функции з: М вЂ” К для всех х Е М выполняется неравенство !1(х)! <!!Л1ь„(мр (1.2) Пусть 1': М -+ И и д: М К вЂ” две ограниченные функции. Тогда для любых чисел Л и р имеет место неравенство 11ЛУ+ рд11,„(, < !Л111У11,„(, + !р!11д11,„(м, (1.8) Произведение (д функций 1 и д также является ограниченной функ- цией. При этом 111дЬ„(М1 < 1!11!а (м)1!дЬ„(мр (1.4) Доказательство. Зададим произвольно функцию (: М -+ К. Для всякого х Е М имеем 1У(х)! < аир !1(х)! = !Яь (м1, и нера- хем !Л1(х) + рд(х)! < 1Л!11(х)! + !р1!д(х) ! < 1Л111111,„+ 1р111д11,„, Щх)д(х)! = !У(х)!!д(х)! < !!Дь 11д!!ь Отсюда получаем 1!Л1 +,ид1! = зцр !Л1(х) + рд(х)1 < !Л1!Яь + !р1!!д11ь хам !1й!1ь = ацр!й )д( )11<1!Ль 11дЬ . хам Теорема доказана. ° венство (1.2) доказано.
Из неравенства (1.2), очевидно, следует, что если !1Дь (м1 < оо, то функция У является ограниченной. Обратно, предположим,что функция У: М -+ И является ограниченной. Тогда найдется число К < оо такое, что !1(х)! < К < оо для всех х Е М и, значит, !Яь (м1 = ацр !1"(х)! < К < оо. Первое хам утверждение теоремы доказано. Докажем второе утверждение теоремы. Пусть 1: М вЂ” К и д: М -+ К вЂ” ограниченные функции, определенные на множестве М.
Для всякого х Е М имеем з 1. Понятие равномерной сходнмостн для семейства функций 319 Т Следствие 1, Для любых двух функций 1: М вЂ” К и д: М вЂ” И н любого множества Е С М справедливо неравенство 1!У+ дЬ„(к) < Ы!ь„(н) +!1дЬ„(н). (1.5) Доказательство, Если хотя бы одна из данных функций ) и д не является ограниченной на Ю, то одно из слагаемых в правой части (1.5) равно оо и в этом случае неравенство верно. Если же функции 1 и д на множестве Е ограничены, то неравенство (1.5) есть частный случай (1.3), когда Л = р = 1. Следствие доказано.
Т Следствие 2. Пусть даны функции )ь: М вЂ” И, й = 1,2,...,п. Тогда для всякого множества Е С М имеет место неравенство !1Л + Уз + ' ' '+ Уп!1ь (к) !1У1!1ь (е) +!1»з!1ь (е) + ' ' '+ 11.»»»11ь (е) Доказательство — индукцией по п — очевидно. Т Следствие 3, Для всякого множества М множество функпий Т (М) является векторнымпространством и функция))(: У б й (М)»-» 11 11!ь (м) есть норма в этом пространстве. Доказательство. Для любых двух функций 1',д Е А (М) и любых двух вещественных чисел Л и р в силу теоремы 1.1 функция Лу+рд также принадлежит классу Т (М).
Согласно следствию теоремы 2.1 главы б отсюда вытекает, что множество 1 (М) является векторным пространством. Докажем, что функция 1 Е 1 (М) + !! (11ь (м) есть норма в этом пространстве. Действительно, на основании следствия 1 теоремы 1.1 для любых функций 1,д б Т (М) выполняется неравенство 1!У+дЬ (м) < 1И1ь (м) + 11дЬ (м) Это означает, что условие Х.1 в определении нормы (п. 3.1 главы б; см. также п. 1.2.2 главы 9) для равномерной нормы выполняется. Покажем, что для любой функции У Е Т, (М), каково бы ни было Л Е К, имеет место равенство !1ЛД = 1Л!1Я.
Воспользуемся результатом леммы 3.1 главы 6 (лемма 1.4 главы 9). Для произвольной функции ,)' Е й (Е) положим г(~) = 1!ЛДь (н). Функция Г(1), очевидно, не- отрицательна. Полагая в условии теоремы 1.1 д = О, получим, что для всякого Л б К выполняется неравенство 1!Л(11ь < 1Л11!Л1ь, т. е. Г(Л)") < < !Л1г(1"). В силу леммы 3.1 главы 6 отсюда вытекает, что Г(Л1) = Гл. 12.
Функциональные ряды и интегралы 320 = !Л!Е(1) для любого Л б К, так что условие Х.2 в определении нормы для равномерной нормы выполняется. предположим, что функция 1: м -+ к такова, что !!г!!ь <м1 = О. Тогда в силу неравенства (1,2) !~(х)! = 0 для всех х Н М, следовательно, функция 1 тождественно равна нулю и, стало быть, представляет собой нулевой элемент векторного пространства Ь (М). Следствие доказано. 7 Следствие 4. Для любых двух функций ~: А — К и Йч А -+ К, ограниченных на множестве Е С А, имеет место неравенство !!УЬ„(е) — !!й!!ь„<е) ! < !!У вЂ” р!!ь„<ер (1.6) Доказательство. Данное утверждение верно в силу установленных ранее общих свойств нормы в векторном пространстве (п.
2.1 главы 6; см. также пп. 1.1.1 и 1.2.2 главы 9 — неравенство (1.6) есть следствие неравенства предложениями п. 1.1.1 главы 9, примененного к метрике, порождаемой нормой !! !!ь <м1). 1.2. ОПРЕ ЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ ЕВОЙ ТВА РАВНОМЕРНО СХО Я ЕГОСЯ СЕМЕЙСТВА ФУНК ИЙ Пусть Т есть произвольное множество, на котором задана оценочная функция Л с предельным значением р. Пусть даны непустое множество М.
Предположим, что для всякого 1 б Т определена вещественная функция ~О область определения которой содержит в себе множество М. Будем говорить в этом случае, что дано семейство функций (Л: М К)~ет. Области определения функций ~м соответствующих разным значениям 1, могут быть различными множествами. Требуется только, чтобы они все содержали в себе множество М. В дальнейшем нас будут интересовать, главным образом, случаи, когда Т есть либо множество всех натуральных чисел М, либо некоторый отрезок множества К. Изложение, однако, удобно вести сразу в общем виде. В частности, если Т есть множество всех натуральных чисел М, то мы будем иметь последовательность функций, каждая из которых определена на множестве М.
В этом случае мы полагаем Л(п) = п для всех и Е Х и предельное значение оценочной функции в этом случае считаем равным оо. Наша цель состоит в том, чтобы определить, чтб значит, что семейство функций (Л: М вЂ” К)1ет сходится на множестве М при Л(1) — р к некоторой функции 1, область определения которой содержит з 1. Понятие равномерной схсдимости для семейства функций 321 множество М, Это можно сделать различными способами. Простейший и, на первый взгляд, самый естественный состоит в следующем.
Говорят, что семейство функций (Л М ' К)4ет (1.7) при Л(1) -~ р сходится к функции 1 на множестве М, если для любого х Е М значение 7(х) определено, причем выполняется соотношение 1(х) = Бш ~~(х). Л(0 В этом случае мы будем также говорить, что семейство (1.7) и о т о ч е ч н о сходится к функции 1 на множестве М при Л(г) -+ р. Сходимость семейства функций в смысле приведенного определения является, однако, «плохой» в том отношении, что предельная функция семейства функций может не иметь тех свойств, которые имеют члены этого семейства.
Уточним посл нее тве ж ение и п ив ем соответств ю е Р2~ыы,пР д, * к * Р у х к ы фу ций (~~)~ет при Л(1) -+ р поточечно сходится на множестве М к функции ~. Тогда: 1) если функции ~~ все непрерывны на множестве М, то предельная функция 7" может и не быть таковой; 2) если каждая из функций 1~ интегрируема по промежутку М, то предел данного семейства функций может оказаться функцией, неинтегрируемой на любом отрезке, содержащемся в М. Пример 1. Пусть М = К. Для х б К, и б Х полагаем Если х ф О, то 1„(х) — 1 при и — оо.
В то же время 7"„(0) = 0 при всех и и, значит, йгп 7'„(0) = О. и со Таким образом, при и ~ оо функции 7"„сходятся к функции 7': М -~ К, для которой ~(х) =,1 при х ф О, ДО) = О. Каждая из функций ~„непрерывна во всех точках К. Предельная же функция ~, очевидно, является разрывной в точке О.
Пример 2. Пусть М = [0,1] и функция ~: М -~ К определена 1 следующим образом: 7'(О) = 0 и 7"(х) = — при х ~ О. Функция ~ не является интегрируемой на промежутке [О, Ц. Действительно, она 322. Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы интегрируема на полуинтервале (О, 1] и ее первообразнзя на этом промежутке есть функция вида х ~ 1п х + С, где С Е К постоянная. При х — 0 имеем 1п х + С -+ — оо, откуда ясно, что функция 1 не имеет в промежутке [О, 1] первообразную и, стало быть, она не интегрируема на этом промежутке. 1 1 1 Положим 1„(х) = пх при 0 < х < — и 1„(х) = — при — < х < 1.
и х п Каждая из функций 1„непрерывна на промежутке [0,1] и, следовательно, интегрируема по этому промежутку. Легко проверяется, что У„(х) — Дх) при п — оо для всех х Е [О, 1]. Таким образом, построена последовательность функций, определенных на промежутке [0,1], поточечно сходящаяся на [0,1]. При этом каждая из функций )'„интегрируема по промежутку [О,Ц, а предельная функция не является таковой. Возникает вопрос: можно ли для последовательностей или, в более общем случае, для семейств функций определить понятие сходимости так, чтобы хотя бы некоторые важные свойства функций сохранялись при предельном переходе? Понятие равномерной нормы позволяет ввести тип сходимости, который частично удовлетворяет этому требованию. Пусть даны семейство функций [1т: М вЂ” + К)тат и функция 1: М вЂ” т К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
